Conjetura 2n + 2 y las Variantes de Collatz

Aunque estos resultados no demuestran la conjetura de Collatz, esperamos que los mismos sirvan para acercarnos un poco más a la solución definitiva de la conjetura.

Conjetura 2n + 2

La conjetura 2n + 2, no es más que una variante de la muy conocida conjetura matemática de Collatz ó 3n + 1, como también es conocida. Para comprender la primera, debemos conocer el enunciado de la segunda.

Enunciado de la conjetura 3n + 1

Tomemos un número natural (n), y procedamos de la siguiente manera:

• a) Si n es impar, multipliquémoslo por 3 y le sumamos 1 al resultado.

• b) Si n es par, dividámoslo por 2.

Repetiremos este proceso con el guarismo obtenido, y así repetidamente.

Ej.:

n = 9

Como n es impar multiplicamos 9 por 3 y le sumamos 1.

3(9) + 1 = 28, este es el segundo término de la sucesión.

9, 28

Como 28 es par, lo dividimos entre 2 para generar el tercer término, y así sucesivamente repetimos el proceso hasta acabar en 1.

9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

No importa el número natural que elijamos, siempre y cuando sigamos estas simples reglas la serie terminará en uno, esto significa que a partir de dicho término se vuelve periódica.

Por medio de ordenadores, se ha comprobado que la conjetura es cierta para números menores o iguales a 258, pero eso no le da el estatus de teorema a la conjetura.

Como ya se habrán podido imaginar, la conjetura 2n + 2, cumple el mismo enunciado que la conjetura de Collatz (3n + 1), variando sólo en la función generadora que ahora es 2n + 2 (para n impares).

Ejemplo:

n = 9

Como n es impar, lo multiplicamos por 2 y le sumamos 2.

9, 20, 10, 5, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1.

Como podemos notar, el número de iteraciones es menor que en el ejemplo anterior.

Para n = 3721, tenemos:

3721, 7444, 3722, 1861, 3724, 1862, 931, 1864, 932, 466, 233, 468, 234,117, 236, 118, 59, 120, 60, 30, 15, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Para n = 10, tenemos:

10, 5, 12, 6, 3, 8, 4, 2,1

Para n = 28, tenemos:

28, 14, 7, 16, 8, 4, 2, 1

A partir de las funciones f(n) = 3n + 1 o f(n) = 2n + 2, podemos obtener otras funciones que satisfacen las normas establecidas por Collatz, las que se cumplirán siempre y cuando la f(n) se multiplique por una potencia de dos, esto es:

2m f(n) / m > -2

Ejemplos:

Sea m = 1 y n = 3, con f(n) = 3n + 1

21 f(n) = 2(3n + 1) = 6n + 2

Aplicando las reglas de Collatz tenemos:

3, 20, 10, 5, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Sea m = 1 y n = 3, con f(n) = 2n + 2

21 f(n) = 2(2n + 2) = 4n + 4

Aplicando las reglas de Collatz tenemos:

3, 16, 8, 4, 2, 1

Sea m = 2 y n = 3, con f(n) = 2n + 2

22 f(n) = 4(2n + 2) = 8n + 8

Aplicando las reglas de Collatz tenemos:

3, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Sea m = 2 y n = 3, con f(n) = 3n + 1

22 f(n) = 4(3n + 1) = 12n + 4

Aplicando las reglas de Collatz tenemos:

3, 40, 20, 10, 5, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Aplicando las reglas de Collatz a otras funciones se pueden obtener otros resultados interesantes, como la conjetura de tipo: 2n * k, tal que k es un elemento de los enteros positivos impares y n un número entero mayor que 0.

Siguiendo las mismas reglas que en las conjeturas anteriores, y sustituyendo únicamente la función generadora, por la funcione: 2n k, observamos que:

Si tomamos n = 1 y k = 5,

2k

5, 10, 5

Si tomamos n = 2, k = 5,

4k

5, 20, 10, 5

Si tomamos n = 3, k = 5,

8k

5, 40, 20, 10, 5

Si tomamos n = 4, k = 5,

16k

5, 80, 40, 20, 10, 5

Como podemos notar en este tipo de variante, siguiendo las reglas de collatz, el último término de la sucesión es igual al primero, lo que significa que a partir de este término la sucesión se hace cíclica. Otra cosa que se puede observar es que el número de términos aumenta conforme aumenta n en (n + 2), antes de que se haga cíclica.

Ejemplos:

Para n (1- 3), k = 576345

21 = 2

576345 - 1152620 - 576345

22 = 4

576345 - 2305380 - 1152690 - 576345

23 = 8

576345 - 4610760 - 2305380 - 1152620 - 576345

Nota:

El término conjetura está mal empleado para la variante de tipo 2n * k, ya que se puede demostrar de manera sencilla que lo dicho anteriormente se cumple para dicha función.

Coeficientes Intercambiados de Collatz ó 2m(n + 3)

El origen que da nombre a esta conjetura es muy fácil de comprender, sea 2m(3n + 1) una función que cumple con las normas establecidas por la conjetura de Collatz, si hacemos un intercambio entre el coeficiente numérico que acompaña a la variable n y el término independiente (1), la función se convierte en: 2m(n + 3), sus propiedades son las siguientes:

• 1) Sea n un número natural divisible por 3 y m un entero mayor que -1.

Si n es impar, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado por 2m/ m > -1.

Si n es par, lo dividimos por 2.

No importa cuál sea el número (n), siempre que sea múltiplo de 3, la serie terminará en 3.

Ej.:

n = 3, m = 0

3 + 3 = 6

6/2 = 3

S{ 3, 6, 3}

n = 9, m = 0

9 + 1 = 10

10/2 = 5

5 + 1 = 6

6/2 = 3

S{ 9, 10, 5, 6, 3}

• 2) Sea n un número natural que no es divisible por 3 y m un entero mayor que -1.

Si n es impar, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado por 2m/ m > -1.

Si n es par, lo dividimos por 2.

Siempre y cuando el número (n) no sea múltiplo de 3, la serie terminará en 1.

Ej.:

n = 5, m = 0

5

5 + 3 = 8

8/2 = 4

4/2 = 2

2/2 =1

S{5, 8, 4, 2,1}

n = 22, m = 0

22/2 = 11

11 + 3 = 14

14/2 = 7

7 + 3 = 10

10/2 = 5

5 + 3 = 8

8/2 = 4

4/2 = 2

2/2 = 1

S{22, 11, 14, 7, 10, 5, 8, 4, 2, 1}

 

 

Autor:

José Acevedo J.