Geometria Analitica-Vectorial (curso basico)

Índice

Vectores

Definición

Características

Notación

Cómo expresar un vector dados sus puntos extremos

Igualdad de vectores

Vector nulo

Módulo de un vector

Distancia entre dos puntos

Suma de vectores

Vector opuesto

Resta de vectores

Producto de un vector por un número

Producto escalar de vectores

Ángulo entre dos vectores

Condición de paralelismo entre dos vectores

Condición de perpendicularidad entre dos vectores

Ecuación vectorial de la recta

Ecuación paramétrica de la recta

Ecuación continua de la recta

Ecuación cartesiana de la recta

Ángulo formado por dos rectas

Rectas paralelas y perpendiculares

Posición relativa de dos rectas en el plano

Ecuación canónica de la recta

Ecuación del plano

Ángulo formado por dos planos

Ángulo formado por una recta y un plano

Distancia entre un punto y un plano

Planos paralelos y perpendiculares

Posición relativa de dos planos en el espacio

Práctico

VECTORES

Definición: Un vector es una matriz línea, es decir que es una matriz de tipo fila o columna. Usualmente se tiene la noción de que un vector es una "flecha" debido a su frecuente uso gráfico en Física en el plano y en el espacio. Pero se debe tener en cuenta, analizando la definición dada, que el vector es un ente matemático más general que eso.

Aquí se trabajará con vectores reales, es decir con matrices de tipo línea cuyos elementos son números reales. Esto permitirá representarlos mediante coordenadas y dibujarlos como un segmento dirigido (flecha).

Características

Un vector posee 3 características:

Módulo o Norma: la longitud del vector

Dirección: la recta a la que pertenece el vector

Sentido (tener en cuenta que la recta posee dos sentidos)

Los vectores pueden situarse en el plano (2 dimensiones), en el espacio (3 dimensiones), hasta infinitas dimensiones.

Notación

Una forma de nombrar un vector es escribiendo en forma ordenada las letras que representan a sus puntos extremos con una flecha encima: AB (vector que comienza en el punto A y termina en B).

Otra forma de nombrarlo es mediante una letra minúscula con una flecha encima: v

También, cuando se sobreentiende que se trata de un vector, se puede escribir la letra sin la flecha: v

Cómo expresar un vector dados sus puntos extremos

Veamos los vectores en el plano (las mismas propiedades pueden ser aplicadas en más dimensiones). Es así que podemos escribir su origen y su extremo como puntos (x, y). La ubicación de estos puntos le dará el sentido al vector. Si el origen del vector es, por ejemplo, A = (1, 1) y el extremo B = (4, 5), el vector será AB (de A hasta B).

Es así que al hacer (4 – 1 , 5 1) = (3 , 4) vemos que la resta de las componentes horizontales y verticales nos determinan al vector:

vector = AB = B A = (4 , 5) (1 , 1) = (4 – 1 , 5 1) = (3 , 4)

3 y 4 son las coordenadas del vector

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