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Interpretar la solución optima




Enviado por Saada Almeida



  1. Introducción
  2. Programación lineal
  3. Método Simplex
  4. Interpretar la solución
    óptima
  5. Variable
  6. Conclusión

INTRODUCCION

En lo estudiado anteriormente hemos podido
aprender cómo a partir de la gran cantidad de datos que
describen una muestra mediante una variable, X, se
representan gráficamente los mismos de modo que resulta
más intuitivo hacerse una idea de como se distribuyen las
observaciones.

Otros conceptos que según hemos
visto, también nos ayudan en el análisis, son los
estadísticos de tendencia central, que nos indican hacia
donde tienden a agruparse los datos (en el caso en que lo hagan),
y los estadísticos de dispersión, que nos indican
si las diferentes modalidades que presenta la variable
están muy agrupadas alrededor de cierto valor central, o
si por el contrario las variaciones que presentan las modalidades
con respecto al valor central son grandes.

También sabemos determinar ya si los
datos se distribuyen de forma simétrica a un lado y a otro
de un valor central.

En este capítulo pretendemos
interpretar la solución óptima que se obtiene
después de haber aplicado el método simplex una
situación muy usual y por tanto de gran interés en
la práctica:

Si Y representa una variable
definida sobre la misma población que X,
¿será posible determinar si existe alguna
relación entre las modalidades de X y de
Y?

El valor de la variable original es aquel
que se representa por medio de números obtenido de una
población o muestra original.

CAPITULO I

PROGRAMACIÓN
LINEAL

Procedimiento o algoritmo matemático
mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado
a través de ecuaciones lineales, optimizando la
función objetivo, también lineal.

La programación lineal consiste en
optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que
denominaremos función objetivo, de tal forma que las
variables de dicha función estén sujetas a una
serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de
inecuaciones lineales.

MÉTODO
SIMPLEX

Este método, es un algoritmo que
parte de una solución básica posible y encuentra
otra que mejora el valor de la función objetivo. Este
procedimiento se repite hasta que se alcanza el óptimo, si
éste existe, o se arriba a una condición de final
anormal. El método realiza una búsqueda eficiente
pero no necesariamente recorriendo la ruta más
corta.

El método hace uso de una tabla de
coeficientes de m + 1 filas, correspondiendo a las m
restricciones y a la función objetivo y n + m + 2 columnas
donde n primeras corresponden a las variables originales, las m
siguientes a las flojas, la penúltima a la variable
asociada a la función objetivo y la restante contiene los
términos independientes de las restricciones.

La función objetivo Z = C0 + ( Cj Xj
se incorpora a la tabla bajo la forma Z - ( Cj
Xj = C0 y es posible considerar a Z como una variable
más.

En la tabla 5.1 se muestra el cuadro
inicial para el problema planteado.

Tabla 5.1: Tabla Inicial

Tabla 5.1: Tabla Inicial

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El origen de coordenadas es una
solución básica posible que se usa para iniciar el
cálculo. Corresponde a la solución obvia de no
hacer nada, por lo cual el beneficio es nulo. Corresponde ahora
ver si es posible mejorar el valor de la función objetivo.
Para ello se debe analizar las consecuencias de un posible
incremento sobre alguna de aquellas variables que son cero, X1 o
X2, por ser las variables independientes o de
decisión.

Obviamente, para que la nueva
solución no abandone la zona admisible, no pueden
considerarse valores negativos para tales variables.

Como las variaciones permitidas son
positivas, la función objetivo aumentará más
rápidamente con aquella variable que tenga el mayor
coeficiente cj positivo, esto es, en la tabla, el más
negativo de la fila de la FO.

Esta variable dejará de ser nula y,
en consecuencia, entrará en base. La columna que
corresponde a esta variable se denominará columna pivote,
ya que ella determinará las transformaciones que sufra la
tabla. Para el ejemplo que se está analizando se elige
X2.

Ahora resta determinar cuánto puede
aumentarse X2.sin violar la no negatividad de las demás
variables. Dejando X1.nula, de la tabla 5.1 se ve que
deberá cumplirse:

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De acuerdo a estos valores, en un caso el
movimiento sería hasta el punto I (X2= 60000), o hasta el
punto H (X2 = 20000) o finalmente hasta el punto G (X2 = 15000).
Como puede observarse, la condición 3 es la más
restrictiva. Esta fila se denominará fila pivote por la
misma razón que la apuntada, en su momento, para la
columna. La intersección de fila y columna determina el
elemento pivote.

Si la variable X2 entrará en base
otra variable que está en base debe salir para mantener
constante el número de variables no básicas. Para
asegurar que la nueva solución básica sea posible,
esa variable debe ser S3., que pasará a valer cero –
la distancia a la restricción 3 será nula – y la
solución se ubicará sobre la frontera de dicha
restricción. Para elegir la fila pivote se realiza, en
cada fila, el cociente entre el término independiente y el
coeficiente de la columna pivote, por ejemplo, en la fila 1,
24000/0,40 = 60000.

Si hubiese aparecido, en la columna pivote,
algún coeficiente negativo, es fácil comprobar que,
para esa restricción, la variable seleccionada
podría aumentar indefinidamente sin violar la no
negatividad de la respectiva variable en base, esto es, aquella
cuya relación con las variables independientes está
expresada por la fila en cuestión.

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De lo anterior surge que, si en la columna
pivote no existe, al menos, un coeficiente positivo, la
solución del problema se encuentra en el
infinito.

Una vez establecidas la columna (l), la
fila (k) y el elemento pivote (akl) se está en condiciones
de realizar las modificaciones para llegar a otra solución
básica posible.

Las transformaciones concluyen con el
elemento pivote igual a 1 y los demás coeficientes de la
columna pivote igual a cero

Las transformaciones se realizan de la
siguiente manera:

Fila Pivote ( i= k ): para lograr que el
nuevo coeficiente en la ubicación del pivote sea igual a
uno, se divide toda la fila por el elemento pivote.

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Filas restantes ( i = 1,… , m , i ( k ):
para lograr que, en la columna del pivote todos los elementos
sean nulos, se resta, a cada fila, la obtenida en el paso
anterior, multiplicada por el elemento que se desea hacer
cero.

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Función Objetivo: se procede igual
que en el paso anterior para lograr que el coeficiente de la
variable que está entrando en base sea nulo:

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Los cambios realizados sobre la Tabla 5.1
conducen a la Tabla 5.2, en la cual se puede ver que si las
variables no básicas (X1 y S3) son nulas, X2 es igual a
15000, S1 es 180000 y S2 es 500 bbl/día, dando un
beneficio de 153000 $/día.

Esta solución básica posible
se halla sobre la frontera de la restricción 3, en el
punto G de la figura 5.2.

Si se mira la fila de la función
objetivo se puede ver que aún es posible aumentar su valor
ya que el coeficiente de la variable X1 es negativo. Como hay un
único coeficiente con esa característica,
ésta es la columna pivote. La restricción 2 es la
elegida como fila pivote por lo cual la variable S2 saldrá
de base. Las modificaciones llevan a la Tabla 5.3

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Continuando con el procedimiento se obtiene
la Tabla 5.4 que corresponde a la solución óptima
(punto D de la figura 3.2). La optimalidad de esta
solución se deduce del hecho que, en la fila de la
función objetivo, no existe ningún coeficiente
negativo y, en consecuencia, cualquier apartamiento de esta
solución redundará en una disminución del
beneficio obtenido.

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En el plan de producción
óptimo se produce el máximo permitido de nafta y
kerosene y faltan 666,67 bbl/día (= S3) para llegar al
máximo de fuel oil.

En este problema, los coeficientes de las
variables no básicas en la fila de la función
objetivo son positivos. Puede ocurrir que en el cuadro
correspondiente a la solución óptima, alguno de
esos coeficientes sea nulo. Esto significa que la correspondiente
variable puede entrar en base sin que cambie el valor de la
función objetivo. Hay, por lo tanto, más de un
vértice igualmente óptimo en la zona de soluciones
posibles y debido a su convexidad puede decirse que todos los
puntos que son combinación lineal de dichos
vértices son también óptimos. En
consecuencia, puede decirse que el problema tiene infinitas
soluciones.

CAPITULO II

INTERPRETAR LA
SOLUCIÓN ÓPTIMA

El conjunto de vértices del recinto
(formados por las restricciones) se denomina conjunto de
soluciones factibles básicas y el vértice donde se
presenta la solución óptima se llama
solución máxima(o mínima según el
caso).

Soluciones complementarias óptimas.-
Con la solución óptima, al final del simplex se
tiene, la solución primal X* y una óptima
complementaria dual Y*, en el renglón Z, como coeficientes
de las variables de holgura y/o artificiales que forman la
primera solución básica, ("Precios Sombra" o
"Variables Duales" o "Multiplicadores del Simplex").

INTERVALO PERMITIDO PARA PERMANECER
ÓPTIMA

Se acaba de describir e ilustrar la forma
de analizar cambios simultáneos en los coeficientes de una
variable no básica xj. Es una práctica común
en el análisis de sensibilidad poner atención
también en el efecto de cambiar sólo un
parámetro, cj. Esto incluye simplificar el enfoque
anterior para encontrar el intervalo de valores permitidos para
permanecer óptima para cj.

Para cualquier cj, su intervalo permitido
para permanecer óptima es el intervalo de valores para el
que la solución óptima actual (obtenida por el
método símplex para el modelo actual antes de
cambiar cj) permanece óptima. (Se supone que el cambio en
esta única cj, es el único cambio al modelo
actual.) Cuando xj, es una variable no básica para esta
solución, la solución permanece óptima
mientras z*j -cj " 0, donde z*j = y*Aj es una constante a la que
no afecta el cambio en el valor de cj. Entonces, el intervalo
permitido para permanecer óptima para cj, se puede
calcular como cj " y*Aj .

Por ejemplo, considere el modelo actual
para el problema de la Wyndor Glass Co. que se resume en el lado
izquierdo de la tabla 1.3, donde la solución óptima
actual (con C1 = 3) está dada en el lado derecho. Cuando
sólo se cambia C1, esta solución permanece
óptima siempre que 1

c1 " y*A1 = (0, 0, 5/2) 0 = 7 ½, 3
de manera que C1 " 7 ½ es el intervalo permitido para
permanecer óptima.

Una alternativa para realizar esta
multiplicación de vectores es observar en la tabla 1.3 que
z*1 – c1 = 9/2 ( el coeficiente de x1 en el reglón 0)
cuando c1 = 3, de manera que z*1 = 3 + 9/2 = 7 ½. Como z1
= y*A1, de inmediato se llega al mismo intervalo
permitido.

Para cualquier variable de decisión
no básica cj, en ocasiones se hace referencia al valor z*j
– cj como el costo reducido para xj, porque es la cantidad
mínima en la que tendría que reducirse el costo
unitario de la actividad j para hacer que valga la pena realizar
esa actividad j (aumentar el valor de xj a más de cero).
Al interpretar cj como la ganancia unitaria de la actividad j (lo
que reduce el incremento en el costo unitario cj por la misma
cantidad), el valor de z*j – cj es entonces el incremento
máximo permitido en cj para conservar óptima la
solución BF actual.

En la interpretación de la
solución óptima, se debe ver si el problema tiene
"variables discretas" o "variables continuas". Si se tienen
variables discretas, al hacer la interpretación de la
solución óptima del problema, se tendrá que
dar en valores "enteros" haciendo los ajustes requeridos en la
solución matemática obtenida. Si son variables
continuas, la interpretación se hará directamente
con los valores obtenidos sin hacer ningún
ajuste.

VARIABLE

Una variable es una característica
que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de
adoptar diferentes valores, se representa por un símbolo
tal como X, Y, H que puede tomar un
valor cualquiera de un conjunto determinado de ellos, llamado
dominio
de la variable.

Variable se define también como los
elementos o propiedades que se estudian:
Sexo, ingresos,
educación,

clase social, etc. Variables

Las variables son números reales
mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el
valor resultante de las variables sea un número
entero, el procedimiento de resolución se denomina
Programación entera.

RESTRICCIONES

Las restricciones pueden ser de la
forma:

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Donde:

  • A = valor conocido a ser respetado
    estrictamente;

  • B = valor conocido que debe ser
    respetado o puede ser superado;

  • C = valor conocido que no debe ser
    superado;

  • j = número de la
    ecuación, variable de 1 a M (número total de
    restricciones);

  • a; b; y, c = coeficientes
    técnicos conocidos;

  • X = Incógnitas, de 1 a
    N;

  • i = número de la
    incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a

los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N
< M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1
son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener
sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden
darse simultáneamente en el mismo problema

VALOR DE LA VARIABLE

Todos los elementos de la población
poseen los mismos tipos de caracteres, pero como estos en general
no suelen representarse con la misma intensidad, es obvio que las
variables toman distintos valores. Por lo tanto estos distintos
números o medidas que toman los caracteres son los
"valores de la variable". Todos ellos juntos constituyen una
variable.

LAS VARIABLES PUEDEN CLASIFICARSE EN DOS
TIPOS CUALITATIVAS O CUANTITATIVAS

  • Variable cualitativa: Son las variables
    que expresan distintas cualidades, características o
    modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina
    atributo o categoría y la medición consiste en
    una clasificación de dichos atributos. Las variables
    cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo
    pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre
    y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres
    o más valores

  • Variable cualitativa no ordenable:
    Cuando los sucesos elementales se reagrupan en
    categorías, pero no requieren un orden determinado,
    pero si tiene un límite definido excluyentes unas de
    otras. Ejemplo:

Variable Categoría

Estado civil Soltero, casado, viudo,
unión libre

Religiosidad Católico, protestante,
budista, etc

Sexo Femenino, masculino

Nacionalidad Colombiano, peruano,
etc.

Rendimiento académico Excelente,
Bueno, Regular, Deficiente

Nivel Socio-económico Alto, Medio,
Bajo

El orden de las categorías no
implica para su ubicación.

  • Variable cualitativa ordinal: Cuando
    los datos se reagrupan en rangos y están definidos por
    cualidades o atributos. Ejemplo. En una evaluación
    de
    lectura (variable) sus rangos son: Eficiente, bueno,
    aceptable, deficiente (orden decreciente)

EXISTEN DIVERSAS CLASIFICACIONES DE
VARIABLES.

POR SU GRADO DE ABSTRACCIÓN O
CONCRECIÓN
.

  • Variables Teóricas: Son aquellas
    que son abstractas que no se entienden porque no son
    observables o medibles sino se definen. Ejemplos: estatus
    socioeconómico, rendimiento académico,
    imperialismo, dependencia, dominación,
    infraestructura, etc.

  • Variables Intermedias: Son aquellas que
    permiten comprender a las variables teóricas. Ejemplo
    El rendimiento académico no se entiende sino
    está referida a los calificativos, a la asistencia, a
    la dedicación al estudio, puntualidad del
    estudiante.

  • Variables empíricas:
    Indicadores, son aquellas que permiten entender mejor a
    las variables intermedias y por tanto a las variables
    teóricas. No necesitan definirse por cuanto son
    fácilmente entendibles, medibles u observables.
    Ejemplos: la variable calificativa puede ser muy buena,
    buena, regular, mala y pésima. Las variables
    empíricas pueden expresarse
    cuantitativamente.

POR SU POSICIÓN EN LA INVESTIGACIÓN

  • Variable Dependiente: Es aquella que
    dentro de una
    hipótesis representa la consecuencia, el
    efecto,  el fenómeno que se estudia. Se simboliza
    con la letra Y. Ejemplo: entre las variables rendimiento
    académico y aplicación de métodos, la
    variable dependiente es rendimiento académico. En una
    función
    matemática como la típica: Y= (f) X (Se lee
    Y está en función de X; ó Y depende de
    X)

  • Variable Independiente: Es aquella que
    influye en la variable dependiente y no depende de otra
    variable, dentro de una
    hipótesis. Se simboliza con la letra X. Ejemplo:
    entre las variables hiperactividad y falta de
    autoestima, la variable autoestima es independiente, ya
    que explica o influye en la hiperactividad del
    niño.

  • Variable Extrañas: Externas son
    aquellas que provienen del exterior al campo de
    investigación y por ello se denominan también
    intervinientes. Son de varias clases.

POR SU
NATURALEZA

  • Variables Cualitativas: son aquellas
    que nominan o señalan cualidades. Ejemplo: La variable
    talla puede expresarse: muy alto, alto, mediano, bajo, muy
    bajo.

  • Variables Ordinales: son las que
    expresan una clasificación jerarquizada, en orden de
    importancia. Ejemplo: la variable nivel de instrucción
    comprende: iletrado, primaria, secundaria,
    superior.

  • Variables Cuantitativas: pueden ser
    discretas y continuas Variable

  • Variables Discretas: son las que
    expresan números enteros, por tanto pueden ser
    contados. Ejemplo
    población escolar,
    producción de
    petróleo,  nacimientos,  muerto,
    etc.

  • c. Variables Continuas: son las que
    expresan en números decimales, por tanto pueden ser
    medidos con mayor exactitud. Ejemplo: el peso, edad ó
    talla de una persona.

PRESENTACIÓN GRÁFICA DE
UNA VARIABLE

Un modo simple de presentar una
distribución de valores es mostrar cada valor como un
punto en una escala. Si hay un gran número de valores,
puede ser mejor clasificarlos primero y entonces presentar la
frecuencia de cada clase como un histograma.

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VALOR

Los valores son una cualidad de un
objeto.
Los valores son agregados a las características
físicas, tangibles del objeto; es decir, son atribuidos al
objeto por un individuo o un grupo social,
modificando -a partir de esa atribución- su comportamiento
y actitudes hacia el objeto en cuestión.

INTERPRETACIÓN DE LAS
RESTRICCIONES

Restricciones Estructurales. Diferentes
requisitos que debe cumplir cualquier solución para que
pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de
capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de
materiales, etc.

Son las restricciones que forman parte del
problema, se tienen dos restricciones (C1 y C2) la
restricción de la madera y la de horas hombre.

Valor al lado izquierdo: esto nos indica el
consumo de recurso, de 30.000 m2 de madera se consumieron 24.000
m2.

Dirección: es la dirección de
la restricción (<=,>= o =)

Valor lado derecho: es el recurso
disponible actualmente 30 m2

Holguras: nos indican un faltante o bien un
sobrante

Precio sombra: nos indica la
solución Dual, esto es que el 2.6667 indica que cada
hra-hombre se debe ofrecer como mínimo en $/hr
2.6667.

Rango mínimo del bj: esta es la
mínima cantidad de recurso que se debe de mantener 
sin que la base actual cambie. (0 hrs-hombre)

Rango mínimo del bj: esta es la
máxima cantidad de recurso que se debe de mantener 
sin que la base actual cambie (60.0000 hrs-hombre).

MÉTODO
GRÁFICO

El método gráfico se utiliza
para la solución de problemas de PL, representando
geométricamente a las restricciones, condiciones
técnicas y el objetivo.

El modelo se puede resolver en forma
gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos
con tres o más variables, el método gráfico
es impráctico o imposible.

Cuando los ejes son relacionados con las
variables del problema, el método es llamado método
gráfico en actividad. Cuando se relacionan las
restricciones tecnológicas se denomina método
gráfico en recursos.

Los pasos necesarios para realizar el
método son nueve:

  • graficar las soluciones factibles, o el
    espacio de  soluciones (factible), que satisfagan todas
    las restricciones en forma simultánea.

  • Las restricciones de no
    negatividad  Xi>= 0 confían todos los valores
    posibles.

  • El espacio encerrado por las
    restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer
    término <= por (=) para cada restricción,
    con lo cual se produce la ecuación de una línea
    recta.

  • trazar cada línea recta en el
    plano y la región en cual se encuentra cada
    restricción cuando se considera la desigualdad lo
    indica la dirección de la flecha situada sobre la
    línea recta asociada.

  • Cada punto contenido o situado en la
    frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las
    restricciones y por consiguiente, representa un punto
    factible.

  • Aunque hay un número infinito de
    puntos factibles en el espacio de soluciones, la
    solución óptima puede determinarse al observar
    la dirección en la cual aumenta la función
    objetivo.

  • Las líneas paralelas que
    representan la función objetivo se trazan mediante la
    asignación de valores arbitrarios a fin de determinar
    la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece
    el valor de la función objetivo.

  • Interpretación de los
    resultados: Veamos la salida de un modelo que involucra la
    planeación de la producción, en donde se desean
    construir mesas y sillas el recurso disponible es 30 m2 de
    madera por semana, 48 horas por semana; la demanda de las
    sillas es de 5 unidades y la de mesas de 10 unidades, la
    utilidad que se obtiene por las mesas es de $10 y por las
    sillas de $8, además para construir la mesa se ocupa
    lo siguiente: 4.5 m2 de madera  por unidad, 6 horas por
    unidad. Para la silla se ocupan: 1.5 m2 de madera por unidad
    y 3 horas por cada unidad fabricada.

Con esta información se desarrolla
el modelo siguiente:

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CONCLUSION

Los resultados concretos que se obtuvieron
en el desarrollo de la investigación y que fueron
presentados ampliamente en el desarrollo del cuerpo del trabajo,
prácticamente es un resumen sintético de los puntos
más importantes y significativos para los autores. Estas
van acorde al número de objetivos planteados en la
investigación, esto no quiere decir que no se
presentará otra información importante obtenida
durante el estudio.

Las variables se pueden clasificar
según su naturaleza, según su posición en la
investigación y por su grado de abstracción. Cada
una especifica el objeto que se desea estudiar.

Las variables se pueden representar con las
letras x, h, y. de las variables originales se pueden obtener
variables nuevas

El método simplex es un
procedimiento iterativo que permite ir mejorando la
solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es
posible seguir mejorando más dicha
solución.

Partiendo del valor de la función
objetivo en un vértice cualquiera, el método
consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore
al anterior.

 

 

Autor:

Almeida Saada

Facilitador (A): Roldan Roger

Santa Elena de Uairén, mayo del
2011.

Universidad Nacional Experimental de
Guayana

Vice-Rectorado Académico

Coordinación de
Post-Grado

Aldea Universitaria Bolivariana de
Venezuela

Asignatura: Investigación de
Operaciones.

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