Una introducción a la estimación de estados en sistemas de potencia

RESUMEN

El presente artículo describe un método
bastante conocido para la estimación de estados en
sistemas de potencia como es el de los mínimos cuadrados
ponderados. El artículo es producto de una revisión
y recopilación de la literatura citada e intenta mostrar
de una forma sencilla, el significado de la estimación de
estados.

Palabras clave: Estimación de
estados, Sistemas de Potencia, Mínimos Cuadrados
Ponderados, SCADA.

LA ESTIMACION DE
ESTADOS

Tradicionalmente la estimación de estados
está relacionada con la teoría de control /2/ donde
el diseño de estimadores de estado está basado en
un modelo en el espacio de estados que describe el proceso
físico de la aplicación. El diseño de un
estimador de estado está también basado en un
modelo de medidas que describe como los datos obtenidos a partir
de un sistema de medida o de un sistema de sensores dependen de
las variables de estado.

Usualmente, el problema de estimación está
enfocado a tres áreas:

• Estimación en línea o filtrado
  óptimo.

• Predicción.

• Retrodicción o Estimación fuera de
  línea.

La estimación en línea significa la
estimación del estado presente utilizando todas las
medidas que están disponibles. La predicción
significa estimar estados futuros. La retrodicción es la
estimación de estados pasados o bien es un proceso que
explica un hecho que ha sucedido en el pasado.

Los estimadores de estados ejecutan un análisis
estadístico empleando un conjunto de m datos redundantes e
imperfectos que son medidos del sistema de potencia para
determinar el estado del sistema /3/. El estado del sistema es
una función de n variables de estado: voltajes de bus,
ángulos de fase relativos, posiciones de tap en
transformadores. La solución obtenida de una
estimación de estado, no es la verdadera
representación del sistema, es la mejor
representación posible basada en medidas. Para el proceso
de estimación, es necesario tener un número de
medidas m mayor que el número de estados (m > n) esto
de modo a tener una representación completa del estado en
el sistema.

Como concepto introductorio acerca de la
estimación de estados en sistemas de potencia, adoptaremos
el concepto señalado en /4/, el cual dice que la
estimación de estados es el proceso de asignar un valor a
una variable de estado de un sistema desconocido basado en
medidas a partir del sistema y de acuerdo a un criterio.
Usualmente el proceso involucra mediciones imperfectas que son
redundantes y el proceso de estimar los estados del sistema
está basado en un criterio estadístico que estima
el verdadero valor de las variables de estado de modo a minimizar
o maximizar el criterio elegido. Un criterio común y
familiar empleado es aquel de minimizar la suma de los cuadrados
de las diferencias entre los valores estimados y "verdaderos" de
una función. En sistemas de potencia, las variables de
estado son las magnitudes de tensión y los ángulos
de fase relativos en los nodos del sistema.

UN BOSQUEJO DE
CÓMO OPERA LA ESTIMACION DE ESTADOS

De acuerdo con /3/, la estimación de estados es
ejecutada en forma periódica (por ejemplo cada 5 minutos),
sobre demanda, o debido a un cambio en la configuración
del sistema tal como el aislamiento de una sección de
línea.

En sistemas grandes, la administración de la
energía se produce en centros de control o EMS conformadas
por sistemas computarizados denominados Sistemas de
Administración de Energía (EMS: Energy Management
Systems). La adquisición y el control remoto es ejecutada
por otros sistemas de computadoras denominados Control
Supervisorio y Adquisición de Datos SCADA (SCADA:
Supervisory Control and Data Acquisition) /5/. Estos
últimos sistemas pueden ser instalados en una variedad de
sitios incluyendo centros de control. Un sistema de
administración de energía típicamente
incluye un SCADA atreves del cual se comunica con plantas de
generación, subestaciones y otros dispositivos
remotos.

Un sistema SCADA consiste de una estación maestra
que se comunica con unidades remotas o RTU"s (RTU: Remote
Terminal Unit) con el propósito de permitir a los
operadores observar y controlar plantas físicas. Los RTU"s
transmiten el estado del dispositivo, envían y reciben
señales de control y datos desde los puntos de
operación hacia y desde la estación maestra. Las
comunicaciones se realizan generalmente vía circuitos
dedicados con la RTU respondiendo a requisiciones
periódicas desde la estación maestra (mediante
polling o consulta) aproximadamente cada 2 a 10 segundos
dependiendo la criticidad del dato.

Algunas de las funciones tradicionales de un sistema
SCADA son:

• Adquisición de datos: proporciona datos
  medidos remotamente e información del estado al
  operador.

• Control supervisorio: Permite al operador controlar
  remotamente dispositivos de control, por ejemplo abrir y
  cerrar interruptores.

• Marcado: Identifica un dispositivo para
  restricciones de operación específicas y
  previene operación no autorizada.

• Alarmas: informa al operador eventos no planeados y
  condiciones de operación no deseables.

• Proporciona al operador la posibilidad de disparos
  automáticos o iniciados en respuesta a emergencias del
  sistema.

• Tendencias: Grafica mediciones sobre escalas de
  tiempo elegidas.

MODELO DE MEDIDAS
Y EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS

Considere el conjunto de medidas dadas por el vector
/1/:

Donde:

es una
función vectorial de variable vectorial, no lineal que
relaciona las medidas con el vector de estados

Como en la mayoría de los sistemas de
medición, los datos medidos están contaminados con
ruido aleatorio el cual distorsiona los valores reales /3/.
Afortunadamente las propiedades estadísticas asociadas con
las medidas permiten ciertas presunciones para estimar el valor
medido. Primero se asume que el ruido medido tiene un valor
esperado o promedio de cero; ello implica que el error en cada
medida tiene igual probabilidad de tomar un valor positivo o
negativo. También se asume que el valor esperado para el
cuadrado de la medida de error es normal y tiene una
desviación estándar s además de una
correlación entre medidas cero. Una variable se dice que
es normal si su función de densidad de probabilidad tiene
la forma:

El gráfico de esta distribución es
conocida como la campana de Gauss. La desviación
estándar s es una medida de la dispersión de la
distribución normal alrededor de la media y proporciona un
indicador de cómo muchas muestras caen dentro de un
intervalo dado alrededor de la media. Una gran desviación
estándar implica que existe una alta probabilidad de que
el ruido medido tomará valores grandes. Contrariamente,
una desviación estándar pequeña implica que
existe una alta probabilidad de que el ruido medido tome
pequeños valores.

En consecuencia, en atención a las propiedades
estadísticas de las medidas de error, comúnmente se
asume lo siguiente:

• E[ei]=0, i=1, 2, å ¬ m.

• Las mediciones de error son independientes, E[ei ,
  ej] = 0. Por lo tanto,

La desviación estándar si de cada medida
es calculada para reflejar la precisión expectada de la
medida correspondiente empleada.

El estimador de mínimos cuadrados ponderados
asume la siguiente función objetivo:

Para que esta función tenga un mínimo, se
deben satisfacer las condiciones de optimabilidad de primer
orden, lo cual puede ser expresado de la siguiente
forma:

Expandiendo la función no lineal en serie de Taylor alrededor
del vector de estado tendremos:

Despreciando los términos de orden elevado, se
obtendrá una solución iterativa conocida con el
nombre de Gauss-Newton.

Donde k es el índice de iteración y
es el vector
solución para la iteración k.
Además,

G(x) se denomina matriz Ganancia, la cual es dispersa
positiva definida y simétrica.

Como resumen, la (k+1)esima solución puede ser
obtenida a partir de la kesima con la ecuación:

Para conocer si la solución converge, se puede
recurrir a una ecuación de la forma:

Aunque otro criterio de convergencia válido
también podría ser:

Donde e es un factor de convergencia
predefinido.

EL ALGORITMO DE
LOS MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS

La estimación de estados por mínimos
cuadrados ponderados involucra resolver iterativamente la
ecuación (5), con lo que se requiere de una
estimación inicial Luego la solución iterativa directa es
bastante sencilla y será:

• 1) Iniciar las iteraciones haciendo
  k=0.

• 2) Inizializar el vector de estados

• 3) Calcular la matriz de ganancias G(), con la
  ecuación (3) y obtener su inversa.

• 4) Calcular la funcional g(), con la
  ecuación (4).

• 5) Calcular – [G()]-1g(), o bien emplear la
  ecuación (5).

• 6) Efectuar la prueba de convergencia mediante
  (6) o (7).

• 7) Si no cumple la prueba de convergencia,
  incrementar k en una unidad e ir al paso (3); caso contrario
  detener las iteraciones.

OBSERVABILIDAD

Recordemos que en teoría de control, la
observabilidad es una propiedad importante que define la
existencia de una solución de control óptimo. Un
sistema es observable en un tiempo t0 si con el sistema en un
estado inicial x(t0) es posible determinar este estado a partir
de observaciones de la salida y(t) durante un intervalo finito de
tiempo.

El estimador de estados para sistemas de potencia emplea
un conjunto de mediciones efectuadas en el sistema de modo a
estimar su estado. Dado ese conjunto de mediciones junto a sus
ubicaciones, el análisis de observabilidad de la red
determinará si se puede encontrar una única
estimación para el estado del sistema. Este
análisis puede ser ejecutado fuera de línea,
durante la fase inicial de la instalación del estimador de
estados de modo a ver si la configuración de medidas
existentes es la adecuada. Si el sistema es no observable
entonces se deberá ubicar mediciones adicionales en
lugares particulares. El análisis de observabilidad
también se lo puede hacer en línea, antes de
ejecutar el estimador de estados. Ello asegura que el estado
estimado pueda ser obtenido mediante las medidas recibidas del
último escaneo. Fallos en las comunicaciones, los cambios
de topología, o fallas en las mediciones podrían
causar que el estado del sistema entero, no sea
estimado.

En /1/ se puede encontrar la teoría necesaria
para efectuar éste análisis; sin embargo, por el
carácter introductorio del presente artículo nos
conformaremos con la idea general planteada en /3/ que dice que
una variable de estado es inobservable si no puede ser estimada.
La inobservabilidad ocurre cuando el criterio de observabilidad
es violado (m<n o bien mediciones menor que el numero de
estados) por lo que hay insuficientes datos redundantes de las
mediciones para determinar el estado del sistema. Ello implica
que la matriz:

es singular y por lo tanto no tiene inversa.

EJEMPLO DE
APLICACIÓN

En /1/, /3/, /4/ y /6/, se pueden encontrar buenos
ejemplos aclaratorios respecto al tema; sin embargo en /3/ existe
un ejemplo básico para entender el significado de lo que
significa la estimación de estados en sistemas de
potencia. La figura 1 muestra el sistema de ejemplo, cuyos datos
son los que se muestran en la tabla 1.

Figura 1. Sistema de ejemplo
/3/

Siendo la barra 1 de referencia, el primer paso en el
proceso de estimación es identificar los estados
desconocidos los cuales son:

El siguiente paso es determinar las funciones que corresponde a cada una
de las mediciones:

La matriz de derivadas parciales es:

La matriz de covarianzas es:

De modo a tener una idea de la influencia de asumir un
estado inicial en la estimación final, en la tabla 2 se
resume los resultados obtenidos para tres estados iniciales
diferentes, mostrándose también el número de
iteración y la norma del error obtenido en cada
itreración.

El anexo posee un programa básico en MATLAB con
el cual se elaboró la tabla 2.

CONCLUSIONES

El presente artículo mostró de forma
introductoria, el problema de estimación de estados en
sistemas de potencia. Se describió el método
tradicional de los mínimos cuadrados ponderados mediante
el cual, básicamente se pudo ver que el estado de un
sistema de potencia es una función de las variables de
estado (ángulos y tensiones) y las mediciones realizadas.
El método presentado es básico y de fácil
implementación para sistemas de pequeño
orden.

ANEXO

Programa en MATLAB para la obtención de
resultados.

BIBLIOGRAFIA

/1/ Power System State Estimation, Ali
Abur, Marcel Dekker Inc., 2004, ISBN: 0-8247-5570-7

/2/ Classification, Parameter Estimation and State
Estimation, F. Van der Heijden, R.P.W. Duin, D. de Ridder, D.M.J
Tax, John Wiley and Sons Inc., 2004, ISBN
0-470-09013-8.

/3/ Power System Stability and Control, Leonard Grigsby,
CRC Press, 2007, ISBN 13: 978-0-8493-9291-7.

/4/ Power Generation, Operation, and Control, Allen J.
Wood, Bruce F. Wollenberg, John Wiley and Sons Inc. 1996, ISBN:
0-471-58699-4.

/5/ The Electrical Engineering Handbook, Richard C.
Dorf, CRC PRESS, 1993, ISBN 0 – 8493 – 0185 –
8.

/6/ Power systems, Leonard Grigsby, CRC PRESS, 2007 ISBN
– 0-8493-9288-8.

xx/ Estimacion de estado en sistemas
eléctricos de potencia: parte 1 detección de
errores grandes, Mauricio Granada, Scientia et Technica
Año IX, No 22, Octubre 2003. UTP. ISSN
0122-1701.

Autor:

Rogelio José Choque Castro

Rogelio José Choque Castro, Nacido
en La Paz Bolivia, es Ingeniero Electricista titulado en la
Universidad Mayor de San Andrés (UMSA). Trabajó
durante diez años en la Industria Textil (área de
mantenimiento), Supervisor Proyecto de Electrificación
Rural Illimani Sud, Residente de Obra Proyecto Porvenir Chive,
docente de la Universidad de Aquino Bolivia (UDABOL) y
Universidad Los Andes. Sus áreas de interés:
Simulación de Transitorios en Sistemas de Potencia,
Electrónica de Potencia, Procesamiento Digital de
Señales, Sistemas de Control.