La mediana para datos no agrupados y agrupados

La mediana, llamada algunas veces media posicional, es
el valor del término medio que divide una
distribución de datos ordenados en dos partes iguales, es
decir, el 50% de los datos se ubican sobre la mediana o hacia los
puntajes altos y el 50% restante hacia los puntajes
bajos.

La Mediana no tiene propiedades que le permite
intervenir en desarrollos algebraicos como la media
aritmética, sin embargo, posee propiedades que ponen en
evidencia ciertas cualidades de un conjunto de datos, lo cual no
ocurre con la media aritmética que promedia todos los
valores y suprime sus individualidades. En cambio, la mediana
destaca los valores individuales.

Tiene la ventaja de no estar afectada por las
observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma
la variable, sino del orden de las mismas.

Para el cálculo de la mediana interesa que los
valores estén ordenados de menor a mayor.

Su aplicación se ve limitada, ya que solo
considera el orden jerárquico de los datos y no alguna
propiedad propia de los datos, como en el caso de la media
aritmética.

1) PARA DATOS NO
AGRUPADOS

1.1) PARA UN NÚMERO DE DATOS
IMPAR

La mediana es el dato que se encuentra a la mitad de la
lista. Para calcular su posición se aplica la siguiente
ecuación:

Ejemplo ilustrativo:

Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del
curso de Estadística evaluadas sobre diez: 10, 8, 6, 4, 9,
7, 10, 9 y 6

Solución:

1) Se ordena los datos de menor a mayor:

2) Se aplica la ecuación:

La mediana es el valor de x5 (quinto dato), es decir,
Md=8

En Excel se calcula así:

Insertar la función MEDIANA(A1:I1) y luego en
Aceptar

1.2) PARA UN NÚMERO DE DATOS
PAR

La mediana es la media aritmética de los dos
datos que se encuentran a la mitad de la lista. Para calcular su
posición se aplica la siguiente
ecuación:

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de las
siguientes calificaciones del curso de Matemática
evaluadas sobre diez: 10, 8, 9, 6, 4, 8, 9, 7, 10 y 9

Solución:

1) Se ordena los datos de menor a mayor:

2) Se aplica la ecuación

Los cálculos en Excel se muestra en
la siguiente figura:

2) CÁLCULO DE
LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

La mediana, llamada algunas veces media posicional, es
el valor del término medio que divide una
distribución de datos ordenados en dos partes iguales, es
decir, el 50% de los datos se ubican sobre la mediana o hacia los
puntajes altos y el 50% restante hacia los puntajes
bajos.

2.1) PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLAS DE
FRECUENCIA

Para calcular la posición de la mediana se aplica
la siguiente ecuación:

Ejemplo ilustrativo: Dados los siguientes 20
números:

1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 6, 6, 4, 4, 4 ,4, 5, 5, 5
y 5

1) Agrupar los datos en tabla de
frecuencia.

Solución:

2) Calcular la mediana.

Solución:

Calculando la posición de la mediana se
obtiene:

Como la posición de la mediana es 10,5, su valor
es el promedio de los datos décimo y undécimo. Para
observar con claridad cuáles son los datos décimo y
undécimo se aconseja calcular la frecuencia
acumulada.

Se observa que el décimo dato es 4 y el
undécimo es 5, por lo tanto:

2.2) PARA DATOS AGRUPADOS EN
INTERVALOS

a) POR INTERPOLACIÓN

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de los
pesos de un grupo de 50 personas que se distribuyen de la
siguiente manera:

Solución:

Primero se calcula n/2 y después se averigua el
intervalo en el que está la mediana, este intervalo recibe
el nombre de intervalo o clase de la mediana. Para averiguar el
intervalo en el que está la mediana se aconseja calcular
la frecuencia acumulada.

En este ejemplo el intervalo de la media es [65,75).Se
observa que 16 valores están por debajo del valor 65. Los
9 que faltan para llegar a 25 se interpolan en el ancho del
intervalo de la mediana que en este ejemplo es 10.

Aplicando regla de tres:

19 corresponde a 10

9 corresponde a x

Por lo tanto la Mediana es igual a 65 + 4,737 =
69,737

b) EMPLEANDO LA ECUACIÓN

En donde:

n = número total de datos

Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que
antecede al intervalo de la Mediana

c = ancho del intervalo de clase de la
Mediana

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana del
ejemplo anterior y representarla mediante un histograma de
frecuencias acumuladas.

Se calcula la frecuencia acumulada como se muestra en la
siguiente tabla:

Solución:

Se calcula la posición de la mediana de la
siguiente manera:

Por lo tanto el intervalo o clase de la mediana es
[65,75).

Al aplicar la ecuación respectiva se
obtiene:

c) RESOLVIENDO DE MANERA
GRÁFICA

A continuación se presenta un histograma para la
frecuencia acumulada.

Observando el gráfico se determina que Md =
65+AE

Los triángulos ABC y AED son semejantes, por lo
que se cumple:

Entonces, Md = 65+AE = 65+4,737= 69,757

3) TAREA

1) Calcule la mediana de los números 6, 6, 5, 2,
3, 4, 4, 5, 5, de manera manual y empleando Excel.

Md= 5

2) Calcule la mediana de los números 11, 12, 9,
10, 7, 8, de manera manual y empleando Excel.

Md= 9,5

3) Dados los siguientes 35 números:

2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 8,
8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10, 8, 8, 8, 10, 10 y 10

3.1) Calcule la mediana sin agrupar los datos de manera
manual y empleando Excel.

Md=6

3.2) Calcule la mediana agrupando los datos en una tabla
de frecuencias.

Md=6

4) Calcule la mediana de las siguientes edades de
personas

Md= 67,93

5) Dados los siguientes
números:

50, 55, 59, 60, 69, 65, 66, 69, 63, 64, 70, 72, 77, 78,
79, 79, 77, 78, 71, 72, 73, 75, 77, 74, 73, 73, 74, 77, 80, 82,
85, 88, 89, 89, 85, 81, 82, 83, 82, 81, 90, 91, 92, 93, 94, 95,
96, 99, 100 y 109

5.1) Agrupe los datos en intervalos de
ancho 10.

5.2) Calcule la mediana por interpolación,
empleando la ecuación y empleando un histograma para la
frecuencia acumulada.

78,33

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con
Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte, Lima,

Perú.

SPIEGEL, Murray, (2000),
Estadística, Serie de Compendios Schaum, Ed. McGraw-Hill,
México.

SUÁREZ, Mario, (2011), Interaprendizaje de
Estadística Básica,

TAPIA , Fausto Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje
Holístico de Matemática, Ed. Gráficas
Planeta, Ibarra,

Ecuador.

Autor:

Mario Suarez