Medidas de Posición

Son similares a la mediana en que también
subdividen una distribución de mediciones de acuerdo con
la proporción de frecuencias observadas. Mientas que la
mediana divide a una distribución en mitades, los
cuartiles (Q) la dividen en cuartos, los deciles (D) la dividen
en décimos y los puntos percentiles (P) la dividen en
centésimos.

Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se
denominan cuantiles. Puesto que sirven para ubicar datos
particulares dentro de ciertas porciones de una
distribución de datos, toman el nombre de medidas de
posición.

Cuartiles

Son cada uno de los 3 valores Q1, Q2, Q3 que dividen a
la distribución de los datos en 4 partes
iguales.

1.1) Propiedades

Los cuartiles son un caso particular de los
percentiles. Hay 3 cuartiles:

Primer cuartil: Q1=P25, segundo cuartil:
Q2=D5 =P50=Mediana, tercer cuartil: Q3=P75

1.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los cuartiles
se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Qk=Xn·k4+12=Xn·k+24

Donde:

n = número total de datos

k = número del cuartil

Ejemplo ilustrativo:

Encuentre los cuartiles dada la siguiente
distribución, y represéntelos gráficamente
mediante un diagrama de caja y bigotes: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y
17

Solución:

Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor
a mayor

Aplicando la ecuación para el cuartil uno se
obtiene:

Qk=Xn·k+24

Q1=Xn+24=X8+24=X104=X2,5

Como la posición del cuartil 1 es 2,5, su valor
es el promedio de los datos segundo y tercero

Q1=X2,5=x2+x32=9+92=9

O también la posición 2,5 dice que el
cuartil 1 está ubicado al 50% del trayecto comprendido
entre el segundo dato, que es 9 y el tercer dato que es 9, es
decir, Q1= 9+0,5(9-9) = 9

Interpretación: Este resultado indica que el 25%
de los datos es inferior a 9

En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Se inserta la función CUARTIL.INC y se pulsa
en Aceptar. En Matriz, seleccionar las celdas (rango A1:A8). En
Cuartil, escribir 1

b) Pulsar en Aceptar.

Aplicando la ecuación para el cuartil dos se
obtiene:

Qk=Xn·k+24

Q2=Xn·2+24=X2n+24=X2·8+24=X16+24=X4,5=x4+x52=12+122=12

O también la posición 4,5 dice que el
cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido
entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que
también es 12, es decir,

Q2= 12+0,5(12-12) = 12

Interpretación: Este resultado indica que el 50%
de los datos es inferior a 12

En Excel se calcula de la siguiente manera:

Repetir los pasos para el cuartil 1, y en la
opción de cuartil escribir 2

Aplicando la ecuación para el cuartil tres se
obtiene:

Qk=Xn·k+24

Q3=X3n+24=X3·8+24=X24+24=x264=X6,5=x6+x72=12+152=13,5

O también la posición 6,5 dice que el
cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido
entre el doceavo dato, que es 12 y el quinceavo dato que 15, es
decir, Q3= 12+0,5(15-12)

Q3= 12+0,5(3)=12+1,5=13,5

Interpretación: Este resultado indica que el 75%
de los datos es inferior a 13,5

En Excel se calcula de la siguiente manera:

Repetir los pasos para el cuartil 1, y en la
opción de cuartil escribir 3. Pulsar en
Aceptar.

Nota: Para elaborar un diagrama de caja y bigotes es
necesario saber:

Un diagrama de caja y bigotes es una
representación gráfica que ayuda a visualizar una
distribución de datos: caja desde Q1 a Q3 (50% de los
datos), y bigotes el recorrido (distancia desde valor
mínimo hasta el valor máximo).

Para elaborar un diagrama de caja se procede de la
siguiente manera:

a) Se marca los valores de la serie de datos sobre el
eje horizontal o vertical.

b) Se ubica sobre el eje el valor mínimo, primer
cuartil, mediana o segundo cuartil, tercer cuartil y el valor
máximo.

c) Se construye un rectángulo (caja) paralelo al
eje, de longitud desde Q1 a Q3 y anchura arbitraria.

De acuerdo al ejemplo ilustrativo se tiene:

Valor mínimo = 6

Q1 = 9

Q2 = 12

Q3 = 13,5

Valor máximo = 17

b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencias

Se aplica la misma ecuación empleada para el
cálculo en los datos no agrupados

Ejemplo ilustrativo: Calcular el cuartil 2 dada
la siguiente tabla:

Solución:

1) Cálculo del cuartil 2

Aplicando la primera ecuación para el cuartil dos
se obtiene:

Qk=Xn·k+24

Q2=Xn·2+24=X2(n+1)4=Xn+12=X8+12=X92=X4,5

Como la posición del cuartil 2 es 4,5, su valor
es el promedio de los datos cuarto y quinto

Para observar con claridad cuáles son los datos
cuarto y quinto se aconseja calcular la frecuencia
acumulada

Se observa que el cuarto dato es 12 y el quinto dato es
12, por lo tanto

Q2=X4,5=x4+x52=12+122=12

Calculando la fra(%) se obtiene:

c) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la siguiente ecuación:

Qk=LiQ+nk4-FafQ·c

Donde

Lip= Límite inferior del intervalo de clase del
cuartil

n = número total de datos

Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que
antecede al intervalo de clase del cuartil

fQ = Frecuencia absoluta del intervalo de clase del
cuartil

c = Ancho del intervalo de clase del cuartil

Ejemplo ilustrativo: Dado los siguientes datos
sobre pesos de un grupo de 50 personas:

1) Calcular los cuartiles empleando la
ecuación

2) Calcular los cuartiles empleando un histograma para
fra(%) (Frecuencia relativa acumulada mediada en
porcentajes)

Solución:

1) Cálculo de los cuartiles empleando la
ecuación

1.1) Cálculo del primer cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se averigua el
intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe
el nombre de intervalo o clase del primer cuartil. Para averiguar
el intervalo en el que están los cuartiles se aconseja
calcular la frecuencia acumulada

Por lo tanto en este ejemplo:

El intervalo del segundo cuartil es 55-65.

El número total de datos es n=10

Se observa que 6 valores están por debajo del
valor 55, es decir Fa=6.

La frecuencia absoluta (fQ) del intervalo del cuartil es
10

El ancho del intervalo del cuartil es
c=65-55=10.

Al aplicar la ecuación se obtiene:

Qk=LiQ+nk4-FafQ·c

Q1=55+50·14-610·10=55+504-610·10=55+1320·10=55+6,5

Q1=61,5

1.2) Cálculo del segundo cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se averigua el
intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe
el nombre de intervalo o clase del cuartil.

Por lo tanto para el segundo cuartil se
tiene:

Intervalo: 65-75

n=10

Fa=16

fQ =19

c =75-65 =10

Al aplicar la ecuación se obtiene:

Qk=LiQ+nk4-FafQ·c

Q2=65+50·24-1619·10=65+1004-1619·10=65+919·10=65+4,737

Q2=69,737

1.3) Cálculo del tercer cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se averigua el
intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe
el nombre de intervalo o clase del cuartil.

Por lo tanto para el segundo cuartil se
tiene:

Intervalo: 75-85

n=10

Fa=35

fQ =11

c=85-75=10

Al aplicar la ecuación se obtiene:

Qk=LiQ+nk4-FafQ·c

Q3=75+50·34-3511·10=75+1504-3511·10=75+522·10=75+2,273

Q3=77,273

2) Cálculo de los cuartiles empleando un
histograma para fra(%)

2.1) Calculando la fra(%) se obtiene:

2.2) Elaborando el histograma en Excel y en Paint se
obtiene la siguiente figura:

Histograma para la fra(%)

2.3) Cálculo del primer cuartil

Observando en gráfico tenemos que el Q1 = 55 +
AE

Los triángulos ABC y AED son semejantes, por lo
que se cumple:

ABCB=AEDE

65-5532-12=AE25-12?1020=AE13

Despejando AE se obtiene:

1020·13=AE?AE=6,5

Entonces, Q1 = 55 + 6,5 = 61,5

2.3) Cálculo del segundo cuartil

Observando en gráfico tenemos que el Q2 = 65 +
CI

Los triángulos CFG y CIH son semejantes, por lo
que se cumple:

CFFG=CIHI

75-6570-32=CI50-32?1038=CI18

Despejando CI se obtiene:

1038·18=AE?AE=4,737

Entonces, Q2 = 65 + 4,737 = 69,737

2.3) Cálculo del tercer cuartil

Observando en gráfico tenemos que el Q3 = 75 +
GM

Los triángulos GJK y GML son semejantes, por lo
que se cumple:

GJJK=GMML

85-7592-70=CI75-70?1022=CI5

Despejando CI se obtiene:

1022·5=CI?CI=2,273

Entonces, Q3 = 75 + 2,273 = 77,273

Deciles

2.1) Definición

Son cada uno de los 9 valores D1, D2, D3, D4, D5, D6,
D7, D8, D9 que dividen a la atribución de los datos 10
partes iguales.

El primer decil es igual al décimo percentil
(D1=P1), el segundo decil es igual a veinteavo percentil
(D2=P20), y así sucesivamente.

2.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los deciles se
encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Dk=Xn·k10+12=Xn·k+510

Donde:

n = número total de datos.

k = número del decil.

Ejemplo ilustrativo:

Calcular el quinto decil de la siguiente
distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Para calcular los deciles se ordena los datos de menor a
mayor.

Aplicando la ecuación para el quinto decil se
obtiene:

Dk=Xn·k+510

D5=Xn·5+510=X5n+510=X5·8+1010=X40+510=X4,5=x4+x52=12+122=12

O también la posición 4,5 dice que el
decil 5 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre
el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es
12, es decir,

D5= 12+0,5(12-12) = 12

En Excel se calcula de la siguiente
manera:

Como D5 es igual a P50 se introduce la función
PERCENTIL.INC(A1:A8;0,5) como se muestra en la siguiente
figura:

b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencia

Se emplea la misma ecuación utilizada en el
cálculo de los deciles para datos sin agrupar.

c) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la siguiente ecuación:

Dk=LiD+nk10-FafD·c

Donde:

LiD = Límite inferior del intervalo de clase del
decil.

n = número total de datos.

Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que
antecede al intervalo de clase del decil.

fD = Frecuencia absoluta del intervalo de clase del
decil.

c = Ancho del intervalo de clase del decil.

Percentiles o
centiles

3.1) Definición

Son cada uno de los 99 valores P1, P2,
P3,……..P99 que dividen atribución de los
datos en 100 partes iguales.

3.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los percentiles
se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Pk=Xn·k100+12=Xn·k+50100

Donde:

n = número total de datos

k = número del percentil

Ejemplo ilustrativo:

Calcular los percentiles de orden 20 y 33 del peso de
diez personas que pesan (en kg)

80, 78, 65, 73, 65, 67, 72, 68, 70 y
72

Solución:

Se ordena los datos de menor a mayor se
tiene:

1) Cálculo del percentil de orden 20 se
obtiene:

Pk=Xn·k+50100

P20=Xn·20+50100=X10·20+50100=X250100=X2,5=x2+x32=65+672=66

En Excel se obtiene un valor aproximado insertando
la función PERCENTIL(A1:A10:0,2)

2) Cálculo del percentil de orden 33 se
obtiene:

Pk=Xn·k+50100

P33=Xn·33+50100=X10·33+50100=X380100=X3,8=x3+x42=67+682=67,5

En Excel se obtiene un valor aproximado insertando
la función PERCENTIL.INC(A1:A10:0,33)

b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencia

Se emplea la misma ecuación utilizada en el
cálculo de los percentiles para datos sin
agrupar.

c) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la ecuación:

Pk=LiP+nk100-FafP·c

Donde:

Lip= Límite inferior del intervalo de clase del
percentil.

n = número total de datos.

Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que
antecede al intervalo de clase del percentil.

fp = Frecuencia absoluta del intervalo de clase del
percentil.

c = Ancho del intervalo de clase del
percentil.

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Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes