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Aprende a sumar, restar, multiplicar y dividir

Enviado por cesar gamboa



  1. Adición de números naturales
  2. Sustracción de números naturales
  3. Multiplicación de números naturales
  4. La división en los naturales

ADICION DE NUMEROS NATURALES

La adición o suma es una operación fundamental utilizada para resolver problemas que implican situaciones de cambio en donde se dé un incremento o aumento, una igualación, o una combinación.

Por ejemplo:

¿Cuánto, gana mensualmente un profesor si recibe de sueldo base Q 1 236.00 y de prestaciones Q 568.00?

Manuel mide 132 cm pero si tuviera 47 cm más tendría la estatura de su papá. ¿Cuál es la estatura del papá de Manuel?

En el colegio Americano hay 250 alumnos y 235 alumnas. ¿Cuál es su población escolar en total?

Cada uno de estos problemas se resuelve con una adición, motivo por el cual se recordarán sus términos y la forma en que se efectúa.

Obsérvense los términos y el signo operacional de las siguientes adiciones:

Los sumandos son los números que se van a reunir en uno solo llamado suma.

• La suma o total es el resultado de la adición.

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El signo + es el signo operacional de la adición.

La adición puede registrarse en forma vertical o en forma horizontal, como pudo observarse en las operaciones anteriores. A continuación se explicará el algoritmo o procedimiento para efectuar la adición:

  • 1. Para mayor comprensión se efectúa en forma vertical se alinean las unidades de cada sumando y automáticamente todas las cifras quedarán alineadas por órdenes: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etcétera.

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2. Se inicia con la suma de las unidades de cada sumando, su suma o total se registra abajo de la línea. Si la suma es igual o mayor que 10 se descompone el número en decenas y unidades y sólo se registran las unidades, y las decenas resultantes se colocan en la columna de las decenas, como ocurre en la segunda adición.

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3. Se suman las decenas. Si la suma es igual o mayor que 10 se descompone nuevamente el número, ahora en centenas y decenas. Obsérvese la segunda adición.

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4. Se suman las centenas y se procede en forma análoga si el resultado es 10 o mayor que él.

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5. Se suman las unidades de millar en forma semejante.

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6. Si existen más órdenes se continúa el mismo procedimiento.

Conforme se vaya adquiriendo habilidad, las estimaciones se harán con mayor precisión y en forma mental. La estimación del resultado permitirá pronosticarlo y detectar errores de procedimiento.

Para ir adquiriendo práctica es fundamental que practique en casa usted mismo efectuando diferentes problemas matemáticos de sumas. Ejercicio no. 1

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  • 1. Los tomos de una enciclopedia tienen el siguiente número de páginas: el primero 485, el segundo 520 y el tercero 397, calcula el número de páginas que tiene la obra, en total.

  • 2. ¿Cuánto, gana mensualmente un profesor si recibe de sueldo base Q 1 236.00 y de prestaciones Q 568.00?

  • 3. Manuel mide 132 cm pero si tuviera 47 cm más tendría la estatura de su papá. ¿Cuál es la estatura del papá de Manuel?

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La sustracción o resta es otra operación fundamental, y al igual que la adición, se utiliza para resolver problemas de cambio, combinación, igualación o comparación.

Ejemplos:

– En un tinaco de 500 litros de capacidad se han depositado 186 litros de agua, ¿cuántos litros necesita para llenarse?

– En un zoológico existen 1 238 animales diferentes, de los cuales 105 son felinos. ¿Cuántos animales existen en el zoológico que no son felinos?

– Alfredo mide 169 cm y su sobrino Gerardo 87 cm, ¿cuántos centímetros le faltan a Gerardo para tener la misma estatura de su tío Alfredo?

Cada uno de estos problemas se resuelve con una sustracción. Obsérvense los términos y el signo operacional de las sustracciones siguientes:

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En la sustracción de números naturales, el minuendo siempre debe ser mayor o igual al sustraendo, en caso contrario, la resta no tendría solución dentro de los números naturales.

El algoritmo de la sustracción es similar al de la adición, pues deben restarse sólo las cifras del mismo orden, iniciando con las unidades, sigue con las decenas, después con las centenas, etcétera.

Cuando en la sustracción todas las cifras del minuendo son mayores a las del sustraendo, no existe dificultad, pues se efectúa como si fueran varias sustracciones de una sola cifra.

Ejemplo:

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La dificultad se presenta cuando el minuendo tiene cifras menores a las cifras del sustraendo, (excepto la cifra del orden mayor). Por ejemplo:

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En este caso es necesario reagrupar, porque se necesitan más unidades. Para esto, se considera la cifra del orden inmediato superior: o dicho de otra manera se presta uno al número de la izquierda y el 2 se transforma en 12. Y de esta manera ya se puede realizar la operación de la resta. Observe.

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Obsérvese la siguiente sustracción dónde hay más reagrupamientos:

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Con práctica, los reagrupamientos se hacen mentalmente sin necesidad de registrarlos.

La sustracción se verifica cuando el minuendo es igual a la suma del sustraendo con la resta o diferencia. Ejemplo:

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Para ir adquiriendo práctica es fundamental que practique en casa usted mismo efectuando diferentes problemas matemáticos de restas.

Ejercicio no. 2

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La solución de una adición donde los sumandos son iguales, es decir, que se repiten, se puede obtener de una forma directa y sencilla.

Por ejemplo:

Al calcular la cantidad de frascos de café que hay en 9 docenas, se obtiene mediante la siguiente adición:

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En esta operación se repite 9 veces el doce como sumando, lo cual se puede representar con la siguiente expresión:

9 veces 12 = 9 x 12

9 x 12 = 108; 108 frascos de café hay en 9 docenas.

Esta operación recibe el nombre de multiplicación y se define así: La multiplicación es la suma abreviada con la cual se tiene el resultado de dos o más sumandos iguales.

Los elementos que forman una multiplicación son:

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Para indicar esta operación se utiliza entre otros el signo x que se lee "por", el cual se coloca entre los números a multiplicar.

Ejemplo:

9 x 12 que se lee: nueve por doce.

También es correcto utilizar paréntesis, por ejemplo:

(9) (12) que se lee: nueve por doce

Pero como realizar la multiplicación de números naturales en aritmética. Veamos a continuación. Debemos recordar que para una mejor aplicación es fundamental ordenar a la multiplicación de forma vertical.

Si queremos multiplicar la misma multiplicación que fue citada anteriormente la representaremos así:

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Vamos paso por paso:

Cuando se efectúa en forma vertical se alinean las unidades de cada factor y automáticamente todas las cifras quedarán alineadas por órdenes: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etcétera. Veamos este ejemplo:

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Se inicia con la multiplicación de las unidades de cada factor, el producto o total se registra abajo de la línea. Si el producto o resultante es igual o mayor que 10 se descompone el número en decenas y unidades y sólo se registran las unidades, y las decenas resultantes se colocan en la columna de las decenas, como ocurre en la suma de adición.

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Se multiplican las decenas. Si el producto es igual o mayor que 10 se descompone nuevamente el número, ahora en centenas y decenas. Solo se registran las decenas y las centenas resultantes se colocan en la columna de las centenas o dicho de otra forma se escribe el 8 (tomando en cuenta que 27 y 1 que llevamos nos da 28) entonces se anota el 8 y se coloca el 2 en la parte de arriba de las centenas.

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Se multiplica las centenas y se procede en este caso a sumar al producto o resultante la cantidad que se encuentra en la parte superior de la casilla de las centenas, así:

9 X 1= 9 + 2= 11 y esa es la cantidad que debemos colar como resultado final. Veamos.

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Si existen más órdenes se continúa el mismo procedimiento.

Pero que hacer cuando la multiplicación es un poco mayor que esta.

Ejemplo:

132 X 99= ?

Se realiza los mismos pasos anteriores:

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Solo que en este caso se corre una casilla al lado izquierdo del primer resultado de la operación. Y luego se realiza la sumatoria. (Como ya aprendimos a sumar no es necesario explicar como se realiza la sumatoria). Debe quedar detallada así.

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Cuando se usan literales conviene utilizar paréntesis o un punto en medio de los factores que indique la multiplicación, de este modo se evita que el signo "x" se confunda con la literal "x"; en ocasiones el punto se puede omitir.

Ejemplo:

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Para ir adquiriendo práctica es fundamental que practique en casa usted mismo efectuando diferentes problemas matemáticos de multiplicaciones. (Ejercicio 3).

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MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR 10, 100, 1 000, ETCÉTERA

La comprensión de este tema permitirá calcular el producto de un número natural por 10, 100, 1 000, etcétera, de una forma rápida y simple, sin necesidad de efectuar el algoritmo ya conocido de la multiplicación.

Obsérvense los siguientes productos, donde uno de los factores es un número natural y el otro 10, 100, 1 000, etcétera.

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Nótese que cada uno de los productos está formado por las mismas cifras del factor de la columna A, a las cuales se le agregan tantos ceros como los haya en los factores correspondientes de la columna B.

En los productos a) y d) se agregó un cero a la derecha del factor multiplicado por 10, así:

a) 27 x 10 = 270 y d) 311 x 10 = 3110

En los productos b) y e) se agregaron dos ceros a la derecha del factor multiplicado por 100, así:

b) 27 x 100 = 2 700 y e) 311 x 100 = 31 100

Nota:

El producto de un número natural por 10, 100, 1 000, etcétera, es igual al número natural seguido de tantos ceros como tenga el número por el que se multiplica.

Ejemplos:

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Practica y aprende: (ejercicio No. 3)

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LA DIVISIÓN EN LOS NATURALES

Existe una operación que está relacionada con la multiplicación: la división. Para apreciar lo anterior, considera la siguiente situación.

Un alumno que cursa la secundaria requiere apoyos económicos para continuar sus estudios. Por tal motivo, consigue trabajo como empleado en una ferretería. Después de trabajar siete días recibe Q 98.00. ¿Cuál es su sueldo diario?

Al analizar esta situación se nota que si se multiplica el número de días trabajados 7, por el sueldo de un día ( ? ), Se obtiene la cantidad ganada 98 durante el lapso citado. Lo cual se puede representar así:

7 x ( ? ) = 98

Es decir, se trata de una multiplicación en la que se conoce el producto 98 y uno de los factores 7, mientras que se desconoce el otro factor, o sea:

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Al analizar una multiplicación en la que no haya ninguna cantidad desconocida, se observa lo siguiente:

8 x 5 = 40 y como consecuencia:

40 entre 8 = 5 y 40 entre 5 = 8

En matemáticas esto se representa como:

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Dividir 98 ÷ 7, significa repartir equitativamente las unidades del primer número entre cada una de las unidades del segundo.

Como son 9 decenas y 8 unidades, se deben repartir primero las decenas, que son de mayor valor, para que cualquier sobrante (si lo hay) de las decenas, se aumente a las unidades y se vuelva a realizar el reparto.

Así:

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9 decenas entre 7, toca a 1 decena, porque 7 x 1 = 7 y hay un sobrante de 2 decenas.

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Como las 2 decenas sobrantes equivalen a 20 unidades y había 8 unidades, se tiene un total de 28 unidades entre 7 y toca a 4 unidades. Dado que 4 x 7 = 28, ya no hay ningún sobrante.

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La división se puede definir así:

La división es la operación en la cual, dado un producto de dos factores y conociendo uno de ellos, se busca el otro factor.

Desde ese punto de vista, la división es la operación inversa de la multiplicación. Si se considera que la mayoría de las divisiones se realizan con números de 2 o más cifras (tanto en el dividendo como en el divisor), lo más común es presentarlas de la siguiete forma:

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Cuando el residuo es 0, se trata, de una división exacta.

Si el residuo es distinto de 0, como en el siguiente ejemplo, la operación se llama división entera o euclidiana.

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El divisor no puede ser nunca 0, porque entonces no hay solución.

Ejemplo:

4 ÷ 0 no tiene solución, porque no existe ningún número natural que multiplicado por 0, dé como resultado 4.

 

 

Autor:

Cesar Gamboa


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