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Evolución del Concepto Función hasta el Siglo XX




Partes: 1, 2

  1. Introducción
  2. Nacimiento del concepto función
  3. El concepto función en el siglo XVII y siglo XVIII
  4. El concepto función en el siglo XIX y siglo XX
  5. Conclusiones
  6. Bibliografía

Introducción

Las primeras referencias que se tienen sobre la noción de función aparecen en el mundo antiguo unidas a problemas astronómicos y vienen dadas en forma de tablas. En algunos escritos de los astrónomos babilonios aparecen funciones tabuladas con las que pretendían, por métodos cuantitativos, buscar regularidades para predecir fenómenos que se repetían periódicamente, como los movimientos lunares y planetarios.

A través de la historia el concepto función, nació ligado a la idea de dependencia de cantidades variables, en unión al estudio del movimiento, en época de Galileo Galilei, y con la caracterización dada por Nicolás de Oresme: "Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento". Esta concepción de carácter físico y geométrico antecedió a la noción cartesiana de dependencia numérica.

Este concepto resultó demasiado restrictivo para las necesidades de la física matemática, por lo que la idea de función debió pasar por un largo proceso de generalización y clarificación.

El presente trabajo monográfico titulado: Evolución del Concepto Función hasta el Siglo XX, tiene como finalidad resaltar la noción del concepto función desde la prehistoria y la antigüedad; así como también dar a conocer las ideas o definiciones que tenían diferentes matemáticos de este concepto, con el transcurrir del tiempo hasta inicios del siglo XX.

El mismo se desarrollo en tres capitulo. El Primer Capitulo: Noción del Concepto Función trata sobre el nacimiento del concepto función. Se da la noción de función tanto en la prehistoria, como también en la antigüedad y por ultimo se destacan las nociones preliminares dadas por Thomas Bradwardine y Nicole Oresme.

En el Segundo Capítulo: El Concepto Función en el Siglo XVII y Siglo XVIII, se describe la evolución del concepto en el siglo XVII y siglo XVIII. En el siglo XVII se hace referencia a las concepciones de René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz; en el siglo XVIII se presentan las definiciones dadas por .Jean Bernoulli, Leonhard Euler, Nicolás de Condorcet y Joseph Louis Lagrange.

El Tercer Capítulo, presenta la evolución del concepto función durante los siglos siglo XIX y siglo XX. En el siglo XIX se analizan las definiciones dadas por Gustave Lejeume Dirichlet y Karl Weierstrass. De igual manera, en el siglo XIX se consideran las definiciones dadas por: Édouard Goursat, Henri Lesbegue, Murice Frechet y el grupo Nicolás Bourbaki el cual da una definición del concepto función en base a la teoría de conjuntos.

A través de estas notas históricas el Concepto Función estuvo siempre unido al estudio de los fenómenos sujetos al cambio. Hay una variable natural que es el tiempo que esta continuamente cambiando y a medida que éste pasa cambian todas las cosas.

El presente trabajo se describe de forma sencilla y clara para que sirva de ayuda y cumpla con los propósitos en la enseñanza de la historias de las matemáticas.

CAPITULO I:

Nacimiento del concepto función

  • Nacimiento del Concepto Función

El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin duda, el de función: en casi todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones.

Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están orgánicamente relacionados unos con otros; son interdependientes. El género humano conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de esta clase, y este conocimiento se halla expresado en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan un fenómeno dado están tan íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas por los valores de las demás... Fueron correspondencias de esta clase las que sirvieron de origen al concepto de función.

Así, tenemos que, las concepciones matemáticas iniciales surgieron a partir de la relación que, el hombre estableció en su mundo circundante, a través de la realización de sus actividades como son: creación de trampas para cazar animales, construcción de casas y tumbas, la conservación del fuego, cálculo de distancias con su cuerpo y sus pasos, grabados de escenas en sus cavernas, observación del movimiento de los astros y las direcciones espaciales. En estas actividades están prefigurados los conceptos básicos de la matemática: número, medida, orden. Por ejemplo, el trueque que fue la base del comercio durante un largo período, es una actividad que se basa en la idea de correspondencia o función, uno de los conceptos más básicos de la matemática.

1.1.1 La Prehistoria

Se puede encontrar una noción vaga de función bajo la forma de tablas de correspondencia que provienen de la observación de fenómenos naturales, ya que la idea de función está ligada históricamente a la percepción desarrollada de correlaciones entre los fenómenos de la naturaleza.

En esta etapa se llevan a cabo estudios sobre diversos casos de dependencias entre cantidades de diferentes magnitudes, sin embargo, no se llegaron a aislar las nociones generales de cantidad variable y de función.

En las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales.

Las matemáticas griegas con los trabajo de Ptolomeo, en los cuales computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas.

Para algunos investigadores, cualesquiera que hayan sido las causas y circunstancias que condujeron a las características de la ciencia antigua, el pensamiento matemático de la antigüedad no creó una noción general de cantidad variable o de una función.

E. T. Bell (un escritor y matemático escocés) escribió en 1945:

"Puede no ser demasiado generoso dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función; ya que una función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una correspondencia". Sin embargo esto seguramente viene de ver a los antiguos matemáticos a través de ojos modernos. Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones específicas".

1.1.2 Época Antigua

Período en el que el estudio de casos particulares de dependencia entre dos cantidades aún no había aislado las nociones generales de cantidades variables y funciones. Es decir, en este período no existía la idea general de relación funcional. A pesar de esto, es posible encontrar ideas que pueden vincularse con la misma y que, sin duda, estuvieron ligadas con su aparición. Tal es el caso de las tablas babilónicas, utilizadas para realizar cálculos y para la astronomía, la trigonometría de las cuerdas de la época alejandrina y el estudio de las cónicas realizado por los griegos.

En la Grecia antigua los matemáticos y filósofos utilizaban gran variedad de correspondencia funcionales como la tabla, descripción verbal, grafica, regla cinemática, ampliamente desarrollados y utilizados por ellos.

En este periodo histórico también sobresalen los textos de la "Era Seleucial" en las que se pueden apreciar la idea de relación al establecerse una correspondencia entre números y sus cuadrados, números y sus raíces cuadradas.

1.2 Nociones Preliminares

Si bien está claro que el concepto función matemática no se establece de manera definitiva hasta el siglo XVII, no se puede ignorar que ya de antiguo, pero sobre todo en la escolástica del siglo XIV se manejaba el concepto de relación variable entre cantidades diversas mediante la confección de tablas. Hacia el siglo XIV, los diferentes sabios, retomando las ideas de Aristóteles sobre el movimiento, desarrollaron considerablemente la cinemática; como rama de la mecánica, ella está evidentemente ligada a la Geometría, de manera que su desarrollo no puede ser considerado aislado y separado de la discusión general de relaciones funcionales en el mundo natural. De especial relevancia en la formación del concepto están los trabajos de los mertonianos, nombre dado a un grupo de académicos medievales de la Universidad de Oxford. Entre estos sabios Thomas Bradwardine y Nicolás de Oresme.

1. 2.1 Thomas Bradwardine (1290-1349)

Fue Economista, matemático, procurador de la Universidad de Oxford y precursor de la investigación científica y de la introducción de las matemáticas.

Thomas Bradwardine, en su obra el "Tractatu de proportionibus velocitatum", en relación con la regla que determina la dependencia entre la fuerza de resistencia y la velocidad de un cuerpo cuando la fuerza varía en relación con la resistencia; aborda el concepto de función potencia.

En esta obra dice: "cuando la fuerza es mayor que la resistencia, la velocidad depende de los cocientes de ambas magnitudes, y cuando es igual o menor no se produce movimiento". Para esta conclusión, Bradwardine, utilizaba la idea de proporción, dejando de lado el término tradicional escolástico de "comparación".

De esta forma consideraba que elevando al cuadrado el cociente de la fuerza y la resistencia, se produce una duplicación de la velocidad, y a la inversa.

Estas ideas fueron seguidas e investigadas por Nicolás de Oresme y otros autores medievales, aunque no fueron realmente elaboradas en su sentido pleno matemático y de cálculo hasta el siglo XVII. No obstante sí desarrollaron una casuística lógica en la física.

Hay que tener en cuenta las posibilidades de cálculo que tenían en su época, pues aun cuando fueron pioneros sus métodos eran todavía muy limitados antes del desarrollo del álgebra en el siglo XVI.

1.2.2 Nicole de Oresme (1323-1382)

No se precisa el día que nació, pero se sabe que nació en el año 1323 y fallece el 11 de julio de 1382. Fue economista, matemático, Obispo de Normandía (una antigua provincia del noroeste de Francia). En su obra "Algorismus Proportium", explora las reglas para manipular las funciones potencias y es el primero que concibió la noción de potencias fraccionarias, enunciando las reglas para multiplicar y dividir proporciones en las que se encuentran exponentes enteros o fraccionarios. Establece en primer lugar las reglas para multiplicar o dividir expresiones racionales, y después analiza las expresiones en las que se encuentran exponentes fraccionarios. Estudia cómo formular de modo más apropiado las expresiones irracionales, a continuación enuncia las reglas para multiplicar o dividir una expresión racional y una irracional, y luego estudia las reglas generales para realizar esas operaciones con dos expresiones irracionales. Se trata del primer intento conocido de estudiar sistemáticamente reglas operacionales para ese tipo de expresiones matemáticas. La terminología de Oresme se refiere a adición y substracción, probablemente porque piensa en las operaciones que deben realizarse con los exponentes para multiplicar y dividir expresiones elevadas a una potencia cualquiera. También proporcionó una regla para determinar la convergencia de una serie y hallar su suma, como también resolvió el problema de la suma de las series infinitas.

Este sabio matemático tubo la brillante idea de trazar graficas de las variaciones observadas tales como la velocidad, la variación de la temperatura, la variación de la intensidad luminosa y otros fenómenos de diversa índoles. Utilizaba las expresiones de "longitud" y "latitud", netamente para la representación de las trayectorias de los astros, llevándolo a la representación gráfica.

Oresme, realiza innovaciones en la representación grafica de una función, pero se interesa más por el área bajo la curva trazada que por el estudio analítico de esta.

Muchos historiadores de la Matemática consideran que Oresme con las palabras "latitudo formarum" introdujo el germen de la idea de función.

Presentaron las Primeras Nociones sobre el Concepto Función en el Siglo XIV

CAPÍTULO II:

El concepto función en el siglo XVII y siglo XVIII

El análisis matemático es la rama de la matemática que proporciona métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. Surge así, de manera natural, en un período en el que el desarrollo de la mecánica y la astronomía nacida de los problemas de la tecnología y la navegación, habían proporcionado ya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de movimiento.

Los matemáticos del siglo XVII se fueron percatando gradualmente de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento (con la consiguiente dependencia de unas variables respecto a otras), así como de problemas geométricos que no se habían podido abordar con los métodos usuales, podían reducirse a dos tipos. Ejemplos sencillos de problemas del primer tipo son: hallar la velocidad en cualquier instante de un movimiento no uniforme (o, en general, encontrar la velocidad de variación de una magnitud dada), y trazar una tangente a una curva dada. Estos problemas condujeron a una rama del análisis que recibió el nombre de 'cálculo diferencial'. Ejemplos muy sencillos del segundo tipo de problemas son: encontrar el área de una figura curvilínea (el problema de la cuadratura), o la distancia recorrida en un movimiento no uniforme, o, en general, el efecto total de la acción de una magnitud continuamente variable. Este grupo de problemas condujo a otra rama del análisis, el 'cálculo integral'. El problema del análisis es el estudio de las funciones, esto es, de la dependencia de una variable respecto de otra.

2.1 Inicio del Desarrollo del Concepto Función en el siglo XVII

Se inicia con la creación de la Geometría Analítica a través del sistema de coordenadas cartesianas, hecha por René Descartes y Pierre de Fermat; lo cual abrió el camino al desarrollo del cálculo diferencial e integral por Newton y Leibniz. Aparece el concepto función, que tiene en adelante un importante papel como antes lo jugaban el concepto de número o de figura geométrica.

Descartes y Fermat habían estudiado con profundidad las curvas y sus ecuaciones, pero las habían tratado como casos individualizados. A partir de ellos, muchos matemáticos a lo largo del XVII se esforzaron en el estudio de las curvas, pero ninguno dio con los elementos que permitían establecer un método general. Newton y Leibniz, lo proporcionaron e introdujeron un tipo de técnicas que permitían estudiar con las mismas herramientas los problemas de física y geometría. Sus avances en el cálculo diferencial e integral posibilitaron un desarrollo de las matemáticas espectacular, cuyo resultado se apreció posteriormente durante los siglos XVIII y XIX. El concepto función se convirtió en el eje central de la matemática, sobre todo en el análisis. Su estudio, a través del cálculo y de las ecuaciones diferenciales, se hace totalmente indispensable para llevar adelante el desarrollo científico y tecnológico, primero alrededor de la física y luego en muchos otros campos.

2.1.1 René Descartes (1596-1650)

Nació en La Haye, Turena, Francia; el 31 de marzo de 1596 y fallece en Estocolmo el 11 de febrero de 1650. Fue un filósofo, matemático.

Hasta el siglo XXII, las curvas eran bien definidas por sus propiedades geométricas y el concepto de función era una noción que faltaba al estudio de las curvas.

Descartes, con sus aplicaciones de métodos algebraicos en geometría, mostró el camino para la introducción de la noción de función. La nueva geometría no se asemejaba necesariamente a la de los griegos. Descartes y Fermat la hicieron analítica: búsqueda de tangentes a las curvas, cálculos de áreas y muchas otras cuestiones caracterizaba esta nueva creación matemática.

Descartes, se interesó de manera más general, por los fenómenos naturales que se estimaban regidos por leyes matemáticas: la mecánica constituía el modelo de esa "matematización" de las ciencias que había comenzado con los trabajos de sabios del Siglo XIV. En pleno siglo XVII, la última parte de la famosa obra de René Descartes (1596-1650) "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones. Prácticamente la totalidad de "Géometrie" está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría. Sin duda, la principal contribución de Descartes para con la ciencia matemática fue su visión de que un punto cualquiera del plano geométrico podía representarse por medio de un par ordenado (x, y) llamadas luego, en honor a él, "coordenadas cartesianas", que en definitiva representaban la distancia perpendicular desde los ejes del sistema hasta dicho punto. Esto fue el principal conector entre el lenguaje geométrico, casi experimental, y el lenguaje algebraico, ya que permitió relacionar una ecuación con una curva (en el plano geométrico) formada por todos los puntos cuyas coordenadas (x, y) fueran soluciones de la ecuación. Fue el origen de la geometría analítica. El nuevo método analiza la geometría utilizando ecuaciones algebraicas. Se cambia la regla y compás clásicos por expresiones numéricas que se pueden representar mediante coordenadas cartesianas. Utilizando notación actual, dicho método se expresa así:

Ejes Coordenados

Lo novedoso de la Geometría Analítica, es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1, como por ejemplo: 2x + 6y = 0 y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2, la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola x2 - y2 = 1. Esto convertía toda la geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2.

Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría Analítica", apéndice al "Discurso del Método" de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.

2.1.2 Isaac Newton (1643-1727)

Nació el 4 de enero de 1643 y murió el 31 de marzo de 1727. Fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés.

A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Es aquí precisamente donde descubrió que tanto la integración como la derivación eran operaciones recíprocas constituyendo así una aproximación al concepto de función. Se cree que con la introducción del concepto de fluxión, Newton, le da un sentido cinemático al el concepto función.

Newton, en el método de las fluxiones estudiaba las magnitudes variables, introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo que se denominaban fluentes. Todos los fluentes son variables dependientes que tienen un argumento común: el tiempo.

Después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, esto es, las derivadas con relación al tiempo, denominadas fluxiones.

En sus primeras investigaciones, Newton, lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes.

Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.

Newton, aunque deseaba describir el concepto de función en lenguaje de geometría y mecánica, en verdad trabajó con funciones como expresiones analíticas compuestas de varias constantes.

2.1.3 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Nace en Leipzig, 1 de julio de 1646 y fallece en Hannover, 14 de noviembre de 1716. Fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

El nombre de "función" proviene de este gran matemático, término que usó por primera vez en su obra "Methodus Tangentium Inversa Sen de fontionibus" el cual fue utilizado para designar las cantidades cuyas variaciones están ligadas por una ley. Aunque este concepto no es como el que se define en la actualidad. Sin embargo, en la correspondencia entre Leibniz y Johann Bernoulli, en repetidas ocasiones, se discutía el concepto función y los símbolos (o caracteres) utilizados para representarlas. Leibniz, al igual que Newton, contribuyó decisivamente al desarrollo del concepto de función.

El estudio más profundo de Leibniz sobre funciones fue estimulado por su interés geométrico de analizar, matemáticamente, los puntos de las curvas donde éstas alcanzan su máximo y su mínimo valor y dar un método general para determinar las rectas tangentes en estos puntos. Estos cálculos se realizan mediante el cálculo de las funciones derivadas, y forman parte importante del cálculo diferencial.

La idea original de Leibniz era considerar las curvas como una unión de infinidad de segmentos indivisibles de longitud infinitesimal de forma que la prolongación de estos segmentos daba las rectas tangentes a la curva en los distintos puntos.

CONTRIBUYERON A LA EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO FUNCIÓN SIGLO XVII

2.2 Concepto Función según Matemáticos del Siglo XVIII

El concepto función tal y como hoy en día es conocido y desarrollado en los cursos básicos de matemática, surgió hasta el siglo XVIII, a diferencia del cálculo diferencial e integral que encontró su génesis un siglo antes, lo cual difiere de la forma clásica en como se presenta actualmente el cálculo, donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas e integrales.

2.2.1 Jean Bernoulli (1667-1748)

Nace en Basilea, Suiza el 27 de julio de 1667 y fallece en Basilea, Suiza el 11 de enero de 1748. Fue un matemático, médico y filólogo suizo

En el año 1718, el gran matemático Johann Bernoulli, define por primera vez lo que es una función: "Se llama función de una variable a una cantidad compuesta, de manera que sea, por esa variable y por constantes". Leonhard Euler, complementa la definición en 1748, cambiando la palabra "cantidad" por "expresión analítica".

Era un concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal en lo que respecta a Johann Bernoulli ya que estaba estudiando problemas de cálculo de variaciones en cuyas soluciones aparecen funciones.

2.2.2 Leonhard Euler

Nace en Basilea, Suiza, el 15 de abril de 1707 y fallece en San Petersburgo, Rusia, el 18 de septiembre de 1783. Fue un matemático y físico suizo. Principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos.

En la historia de la matemática se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler, por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales.

A mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler, introduce un gran cambio con respecto a este punto de vista cuando propone eliminar toda referencia hecha a la geometría en el estudio de las cantidades variables. Para lograr este objetivo fue necesaria la introducción del concepto de cantidad abstracta o universal, y es a partir de este concepto que Euler definiría su noción de función.

Primera Definición del Concepto Función dada por Euler

En la obra Introductor in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler, intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números ó cantidades constantes''. Como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce.

En el volumen de su "Introductio in Análisis" presenta las "funciones continuas" y las define como "aquellas donde todos los valores están ligados por una misma ley o dependen de la misma ecuación".

Según Euler, las funciones continuas son aquellas definidas por una sola expresión analítica. Diferencia las funciones "continuas" de las "discontinuas" o "Mixtas".

El concepto función había llevado a Euler a hacer muchos descubrimientos importantes antes de que escribiera "Introductio in analysin infinitorum". Por ejemplo, había llegado a definir la función gamma y a resolver el problema que había derrotado a los matemáticos durante mucho tiempo: la suma de la serie:

Segunda Definición del Concepto Función dada por Euler

En 1755, Euler, publicó otro libro muy importante, "Institutiones calculi differentialis". En este libro definió una función de manera totalmente general, dando lo que podemos razonablemente afirmar que era una definición verdaderamente moderna de función, afirmó que: ''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas, las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Una cantidad puede ser determinada por otras, así si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''.

Notación de función

Posiblemente lo más notable de Euler fue la introducción del concepto función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

PRIMEROS EN DEFINIR EL CONCEPTO FUNCIÓN EN EL SIGLO XVIII

2.2.3 Nicolás de Condorcet (1743-1794)

Nace en Ribemont, Aisne, Francia, 17 de septiembre de 1743 y fallece en Bourg-la-Reine, 28 de marzo de 1794

Fue el primero en retomar la definición general de Euler de 1755. Este matemático señala: "asumo que tengo un cierto número de cantidades x, y, z,… y para cada valor definido de x, y, z,…, F tiene uno o más valores definidos correspondientes a ellos; yo digo que F es una función de x, y, z,…".

Para Condorcet el método de definir una función no requiere de una expresión explicita, de una formula analítica o de una ecuación, definida implícitamente, concepto que se extendió en el siglo XIX.

2.2.4 Joseph Lagrange (1736-1813)

Nació el 25 de enero de 1736 en Turín y falleció el 10 de abril de 1813 en París. Fue un matemático, físico y astrónomo italiano.

Como el concepto de función había tomado un sentido analítico, fue así como los trabajos de Joseph Lagrange juegan un papel importante en el desarrollo de los fundamentos del análisis y elaboración de la teoría de funciones.

Lagrange, en su obra "Teoría de Funciones Analíticas", presenta los principios del cálculo diferencial y define una función de una o varias cantidades, "a cualquier expresión del calculo en la cual esas cantidades entran de manera cualquiera, mezcladas o no con otras cantidades que miramos como teniendo valores dados e invariables, mientras que las cantidades de la función pueden recibir todos los valores posibles. Así, en las funciones consideramos solo las cantidades que suponemos variables sin ninguna mirada a las constantes".

Según Lagrange esta definición es muy general. Pues los primeros analistas la utilizaron para designar las potencias de una misma cantidad, posteriormente se asignó a toda forma de cualquier otra cantidad.

CONTRIBUYERON A LA EVOLUCIÖN DE LA DEFINICIÓN DEL CONCEPTO FUNCIÓNSIGLO XVIII

2.2.5 Jean Baptiste Joseph Fourier

Nació el 21 de marzo de 1768 en Auxerre y murió 16 de mayo de 1830 en París. Matemático y físico francés.

Fourier, en su obra "Théorie analytique de la Chaleur" en 1822, da la siguiente definición:

En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola. Esta definición la da generalmente cuando estudiaba como representar una función en series trigonométricas de senos y cosenos.

Fourier, ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno.

CAPÍTULO III:

El concepto función en el siglo XIX y siglo XX

3.1 Evolución del Concepto Función en el siglo XIX.

En esta época empiezan las primeras incertidumbres sobre principios del análisis. En efecto, como los métodos anteriores se presentan defectuosos e incorrectos es necesario buscar la causa en el origen. Especialmente se pueden considerar como principales representantes de la evolución del concepto de función en el Siglo XIX a: Dirichlet, Riemann y Weierstrass.

3.1.1 Gustave Dirichlet (1805-1859)

Nace en Düren, actual Alemania, 13 de febrero de 1805 y fallece en Gotinga, actual Alemania, 5 de mayo de 1859.

En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función.

Gustave Lejeume Dirichlet, en su trabajo: "Sobre la Representación de Funciones Arbitrarias en Series de Senos y Cosenos", presenta una definición clara del concepto función, la cual se convirtió en la base de la terminología de los libros de texto, también definió las características de algunas funciones.

En 1829, Dirichlet, llega a formular por primera vez el concepto moderno de función y= f(x) de una variable independiente en un intervalo a < x < b. Esta definición fue extremadamente general, no decía ni una sola palabra sobre la necesidad de dar a la función por medio de una formula, sobre todo el dominio de definición. Definió función de la siguiente forma: "y es una función de una variable x, definida en el intervalo a/em>" (Kleiner, 1989).

Mas tarde esta definición recibió un importante razonamiento, pues, con la introducción de los espacios métricos y la topología, se deduce que las propiedades de una función dependen de la estructura del conjunto sobre la cual se define y las variables que toma. Esto nos lleva a los conceptos de dominio y rango de una función.

Dirichlet, trabajó sobre las funciones discontinuas y fue el primero en dar un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos. Ésta es: "ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional".

3.1.2 Bernard Riemann (1826-1866)

Nace en Breselenz, Alemania, el 17 de septiembre de 1826 y muere en Verbania, Italia, 20 de julio de 1866. Es considerado como fundador de la teoría moderna de funciones.

En 185, presentó la tesis titulada: "Grundlagen Fur eine allgemeine Theorie der Functionem einer veranderlichen complexe Grosse" (Fundamentos para una teoría general de las funciones de una variable compleja); la cual cambio completamente la teoría de funciones de variable compleja pues en tal Memoria se señala como una función viene definida por sus puntos singulares y valores en los límites.

Se debe a Riemann la primera distinción entre la continuidad y la diferenciabilidad.

Riemann, define continuidad de una función f(z) como: " La función f(z) es continua en un intervalo comprendido si cuando z recorre de un manera continua todos los valores comprendidos entre dos valores fijos, la función f de z varia igualmente de una manera continua".

Después de su fallecimiento se encontraron ciertos manuscritos en los que presenta otra definición de continuidad, la cual corresponde a la continuidad uniforme de una función continua definida sobre un intervalo [a, b].

3.1.3 Karl Weierstrass (1815-1897)

Nació en Ostenfelde, el 31 de octubre de 1815 y fallece en Berlín, el 19 de febrero de 1897.

Alrededor de 1841, construyó la teoría de funciones analíticas. En donde estudio las funciones enteras y las funciones definidas por los productos infinitos, la ecuación de la convergencia uniforme, una nueva teoría de funciones elípticas y el teorema de la aproximación uniforme de una función cualquiera por polinomios. Dio importancia a la teoría de las "funciones analíticas" de variables complejas, con los conceptos de prolongación analítica, transcendente, enteros, factores primarios. Diferenció la convergencia uniforme de la no uniforme, planteó la teoría de funciones sobre la base del desarrollo en series de potencias de las funciones analíticas.

Weierstrass, atacó el problema: dada una serie de potencia que define una función en un dominio restringido, derivar otra serie de potencias que define la misma función en otros dominios sobre la base de teoremas de series de potencias.

Weierstrass, en su obra: "Capítulos seleccionados de la teoría de funciones", considera la idea de función como una relación aritmética entre dos variables, da la definición de función como correspondencia entre los elementos y llega a la conclusión de que mientras esta correspondencia es continua, esas dos nociones son las mismas.

Weierstrass, define la continuidad de una función arbitraria como "f(x) es continua en ciertos limites de x, si para todo valor x0 en este intervalo y para un número positivo y arbitrariamente pequeño z, es posible encontrar un intervalo de x tal que para todos los valores de este intervalo la diferencia f(x-x0) –f(x0) es un valor absoluto inferior a

Contribuyeron a la Evolución del Concepto Función en el Siglo XIX

3.2. EL INICIO DEL SIGLO XX

3.2.1 Édouard Goursat (1858-1936)

Nació en Francia el 21 de mayo1858 y fallece el 25 de noviembre 1936.

Goursat, en su Curso de Análisis Matemático en 1923, da la definición de función de la siguiente manera:

"Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y, esta correspondencia se indica mediante la ecuación y=ƒ(x)".

Esta definición es hoy aceptada por la comunidad matemática, pero resulta, por si sola, poco precisa, puesto que es necesario clarificar los conceptos de "valor" y "correspondencia" vinculados a ella.

3.2.2 Henri León Lebesgue (1875-1941)

Nació en Francia el 28 de junio de 1875 y murió el 26 de julio de 1941.

Sobre el concepto de función apunta: "Bien que, después de Direchlet, uno esta generalmente de acuerdo en decir que existe una función cuando hay correspondencia entre y, y los números x1, x2, x3,…,xn, sin preocuparse del procedimiento que sirve para establecer esta correspondencia, muchos matemáticos parecen no considerar como funciones mas que aquellas que son establecidas por correspondencia analíticas".

Se puede pensar que si se introduce tal vez así una restricción bastante arbitraria; sin embargo, es cierto que aquello restringe el campo de las aplicaciones, puesto que, solo las funciones presentadas analíticamente son efectivamente empleadas hasta el momento.

3.2.3 Maurice René Frechet (1878- 1973)

Nace en Maligny, el 2 de septiembre de 1878 y muere en París, el 4 de junio de 1973. Fue un matemático francés.

Frechet, en sus tesis: "Generalisation de un Theoreme de Weierstrass" generaliza la definición de función como sigue:

"Supongamos que damos una cierta categoría (elementos cualesquiera, números, superficies, etc.) en la cual se sabe discernir los diferentes elementos. Podemos decir que Vx es una función (operación funcional), uniforme en un conjunto E de elementos de c, si a todo elemento A de E le corresponde un número bien determinada Vx".

3.2.4 NICOLÁS BOURBAKI

El proceso de ajustes a la definición de función continúa por varias décadas hasta que a finales del siglo XIX y principios del XX surge un nuevo concepto llamado "conjunto", que influyó en las posteriores definiciones de función. La más importante fue realizada por un grupo de matemáticos, que se hacían llamar Nicolás Bourbaki, quienes en 1939 le imprimieron un carácter de mayor formalidad a la definición de función. Definieron el concepto de la siguiente manera:

"Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto."

"Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contra dominio o imagen."

Conclusiones

Al finalizar este trabajo de investigación he llegado a las siguientes conclusiones:

  • El concepto función es muy extenso, razón por la cual se encuentra una inmensa variedad de funciones en la naturaleza, es por ello que un corto número de funciones especiales rigen una multitud de fenómenos naturales totalmente diferentes.

  • En la Edad Media una de las mayores preocupaciones era el estudio de fenómenos sujetos al cambio, como el movimiento. A partir del siglo XIII aparece el concepto de cantidad variable al estudiar estos fenómenos de forma cuantitativa.

  • Partes: 1, 2

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