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Compendio histórico de los problemas matematicos sin solución (página 2)

Enviado por JOSE FELIX RUIZ



Partes: 1, 2, 3

Debido a que son de grado impar, la gráfica de las funciones quinticas normales se parece a la de las funciones cúbicas normales, excepto en que pueden poseer un máximo y un mínimo locales adicionales. La derivada de una función quíntica es una función cuartica.

El primer teorema relativo a la imposibilidad de encontrar una fórmula general para resolver ecuaciones de quinto grado, fue desarrollado por el médico y matemático italiano <<Paolo Ruffini>>, sin embargo esta era incompleta, no sería hasta el año 1826 cuando el matemático noruego  <<Niels Henrik Abel>> diese una demostración completa.

  • ECUACION DE FERMAT

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FERMAT Pierre de (1601-1665) Matemático francés nacido el 17 de agosto de 1601 en Beaumont de Lomagne. Su padre, que era comerciante de cuero, lo envío a estudiar derecho a Toulouse , donde el 14 de mayo de 1631 se instala como abogado. Ese mismo año se casa con Louise de Long, prima de su madre, que le dio tres hijos, uno de ellos, Clément Samuel, que llegó a ser el albacea científico de su padre, y dos hermanas que fueron monjas.

En 1632 conoce a Carcavi siendo ambos consejeros del Parlamento en Toulouse y se hicieron amigos.

Fermat envió muchos de sus trabajos a Carcavi después que éste se mudó a París como bibliotecario real en 1636. En 1650 Fermat envió a Carcavi un tratado titulado: Novus secundarum et ulterioris radicum in analyticis usus. Este trabajo contiene el primer método conocido de eliminación y Fermat quería publicarlo. Se les pidió a Pascal y a Carcavi que buscaran un editor para el trabajo. Carcavi se acercó a Huygens, tratando de publicar no sólo este trabajo sino también otros trabajos que Fermat le había enviado. Ni Carcavi ni Pascal tuvieron éxito y los trabajos de Fermat nunca se publicaron. La amistad de Carcavi con Fermat duró por muchos años.

En 1648 asciende a la Conserjería Real en el Parlamento local de Toulouse, cargo que desempeñó con dignidad y gran talento durante 17 años; durante 34 años dedicó su vida al servicio del Estado. Finalmente, murió en Castres, Francia, el 12 de enero de 1665, a los 65 años.

En su obra Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales, contemporánea a la Geometría de Descartes, Fermat abordó la tarea de reconstruir los Lugares Planos de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la Geometría analítica: siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva.

Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, espaciales.

Utilizando la notación de Viéte, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2 a2-s-x2=ky; x2~y2+2ax+2by=c2 a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. La extensión de la Geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la Geometría analítica del espacio quedó sin culminar. Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejerció tanta influencia como la Geometría de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado.

Sí Descartes tuvo un rival, en lo que a capacidad matemática se refiere en su época, éste fue Fermat, quien por cierto, tampoco era un matemático profesional. Pero considerando lo que hizo por la Matemática se piensa que hubiera hecho sí se hubiera dedicado de pleno a ellas. Fermat tuvo la costumbre de no publicar nada, sino anotar o hacer cálculos en los márgenes de los libros o escribir casualmente sus descubrimientos en cartas a amigos. El resultado de ello fue el perderse el honor de acreditarse el descubrimiento de la Geometría Analítica, que hizo al mismo tiempo que Descartes. Descartes sólo consideró dos dimensiones, mientras que Fermat estudió las tres dimensiones. Igualmente pudo adjudicarse el descubrimiento de algunas características que más tarde inspirarían a Newton.

Según D"Alembert, entre otros, el origen del Cálculo infinitesimal hay que remontarlo a las dos memorias, Memorias sobre (a teoría de (os Máximos y Memoria sobre las Tangentes y las Cuadraturas de Fermat. Leibniz reconoce en una carta a Wallis, cuánto le debe a Fermat. Fermat, junto a Pascal, desarrolló el Cálculo de probabilidades.

Pero se destacó fundamentalmente en La teoría de números. Pascal Le escribe en una carta: Buscad en otras partes quien os siga en vuestras invenciones numéricas; en cuanto a mí os confieso que estoy muy lejos de ello".

Dejó muchas proposiciones sin demostrar, pero nunca se demostró que Fermat se equivocara. Los matemáticos han logrado demostrar casi todas las proposiciones que dejó sin demostrar. Solo quedaba pendiente el teorema conocido como el Último teorema de Fermat, que establece que para n>2 no es posible La siguiente ecuación:

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El enunciado de este teorema quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría traducida al Latín por Bachet publicado en 1621. La nota de Fermat fue descubierta póstumamente por su hijo Clemente Samuel, quien en 1670 publica este Libro con las numerosas notas marginales de Fermat.

Concretamente Fermat escribió en el margen de la edición de La Aritmética de Bachet lo siguiente:

«Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla

Recientemente, en 1994, Andrew John Wiles demostró este teorema. Por dicha demostración se ofrecieron cifras millonarias durantes años.

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Wiles nació el 11 de abril de 1953 en Cambridge182, Inglaterra. Según afirma el propio Wiles, su interés por este teorema surgió cuando era muy pequeño.

Tenía 10 años y un día encontré un libro de Matemática en la biblioteca pública que contaba la historia de un problema que yo a esa edad pude entender. Desde ese momento traté de resolverlo, era un desafío, un problema hermoso, este problema era el Último teorema de Fermat.

En 1971 Wiles entró en el Merton College, Oxford y se graduó en 1974.Luego ingresó al Clare College de Cambrige para hacer su doctorado. Para explicar su demostración sobre el enunciado de Fermat, estuvo dos días dando una conferencia a los más grande matemáticos de la época. Era tan larga que debió partir su explicación en dos conferencia. Para ellos recurrió a las herramientas matemáticas más modernas de la época, a la cual tuvo que incorporarle nuevos conceptos muy complejos, aun para las más grandes de esta apasionante ciencia de los números.

  • HISTORIA DEL PROBLEMA DE FERMAT

Pierre de Fermat murió en 1665. Hoy pensamos en él como un especialista en teoría de números; de hecho pensamos en él como tal vez el mejor que haya vivido. Por ello resulta sorprenderte descubrir que Fermat era de hecho abogado y solamente era un matemático aficionado. También resulta sorprendente que haya publicado solamente un artículo matemático en su vida y que haya sido un artículo anónimo escrito como apéndice al libro de un colega.

Ya que Fermat se rehusó a publicar su trabajo, sus amigos temían que pronto sería olvidado a menos que hicieran algo al respecto. Su hijo Samuel se ocupó de recolectar las cartas de Fermat y otros artículos matemáticos, comentarios escritos en libros, etc. con el objetivo de publicar las ideas matemáticas de su padre. Fue de este modo que llegó a publicarse el famoso 'Último Teorema'. Lo encontró Samuel escrito como una nota al margen en la copia de la Arithmetica de Diofanto que pertenecía a su padre.

El Último Teorema de Fermat afirma que

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no tiene soluciones enteras para x, y y z cuando n < 2. Fermat escribió:

He descubierto una prueba verdaderamente extraordinaria pero este margen es demasiado pequeño para contenerla. Casi sin duda Fermat escribió la nota al margen alrededor de 1630, cuando estudió por primera vez la Arithmetica de Diofanto. Sin embargo, bien puede ser que Fermat se haya dado cuenta que su prueba extraordinaria era incorrecta, ya que todos sus otros teoremas fueron afirmados y reafirmados en problemas-reto que Fermat envió a otros matemáticos. Aunque los casos especiales para n = 3 y n = 4 fueron formulados como retos (y Fermat sí sabía cómo probarlos) el teorema general nunca fue mencionado de nuevo por Fermat.

De hecho, en toda la obra matemática que dejó Fermat solamente hay una demostración. Fermat prueba que el área de un triángulo rectángulo no pude ser un cuadrado. Esto claramente implica que un triángulo racional no puede ser un cuadrado racional. En símbolos, no existen enteros x, y, z que cumplan

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y que sean tales que xy/2 sea un cuadrado. De esto es fácil deducir el caso n = 4 del teorema de Fermat.

Vale la pena hacer notar que a partir de este punto faltaba demostrar el Último Teorema de Fermat nada más para las n primas impares. Ya que si existieran enteros x, y, z tales que xn + yn = zn, entonces si n = pq,

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Euler le escribió a Goldbach el 4 de agosto de 1735 afirmando que tenía una demostración del Teorema de Fermat cuando n = 3. Sin embargo, su demostración en Algebra (1770) contiene una falacia y no es nada fácil dar una prueba alternativa del enunciado falso. Hay una forma directa de arreglar la demostración usando argumentos que aparecen en otras demostraciones de Euler así que puede ser razonable atribuirle el caso n = 3 a Euler.

El error de Euler es interesante y hay que entenderlo para los siguientes desarrollos. Necesitaba encontrar cubos de la forma

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Entonces el Último Teorema de Fermat se divide en dos casos.

Caso 1: Ni x, ni y, ni z son divisibles entre n.

Caso 2: Una y solo una de x, y o z es divisible entre n.

Sophie Germain demostró el Caso 1 del Último Teorema de Fermat para toda n menor a 100 y Legendre extendió sus métodos para todos los números menores a 197. Hasta ese punto, el Caso 2 no se había demostrado ni siquiera para n = 5 así que quedó claro que el Caso 2 era en el que había que concentrarse. Ahora bien, el Caso 2 para n = 5 se divide a su vez en dos. Una de x, y o z es par y una de ellas es divisible entre 5. El Caso 2(i) es en el que el número divisible entre 5 es par; el Caso 2(ii) es en el que el número par y el que es divisible entre 5 son diferentes.El Caso 2(i) lo demostró Dirichlet y fue presentado a la Academia de Ciencias de París en Julio de 1825. Legendre pudo probar el Caso 2(ii) y la demostración completa para n fue publicada en septiembre de 1825. De hecho, Dirichlet pudo completar su propia demostración del caso para n = 5 con un argumento para el Caso 2(ii) que es una extensión de su propio argumento para el Caso 2(i).

En 1832, Dirichlet publicó una demostración para el último teorema de Fermat cuando n = 14. Claro que estaba tratando de demostrar el caso n = 7 pero había demostrado un resultado más débil. El caso n = 7 fue finalmente resuelto por Lamé en 1839. Mostraba por qué Dirichlet había tenido tanta dificultad ya que, aunque en la prueba de Dirichlet para n = 14 se usaban argumentos similares (pero computacionalmente mucho más difíciles) a los casos anteriores, Lamé tuvo que introducir algunos métodos totalmente nuevos. La demostración de Lamé es extremadamente difícil y hace parecer como que progresar a n más grandes sería casi imposible sin formas de pensar radicalmente novedosas.El año 1847 es de gran importancia en el estudio del Último teorema de Fermat.

El 1 de marzo de ese año, Lamé anunció a la Academia de París que había demostrado el Último teorema de Fermat. Esbozó una prueba que involucraba factorizar xn + yn = zn en factores lineales de números complejos. Lamé aceptaba que la idea le había sido sugerida por Liouvilli. Sin embargo, Liouville se dirigió a los asistentes después que Lamé y sugirió que el problema con este acercamiento era que se necesitaba una factorización única en primos para este número complejos y dudaba que fuera cierta. Cauchy apoyó a Lamé pero, en su típica manera, apuntó que había reportado a la reunión de la Academia en octubre de 1847 una idea que creía que podría demostrar el Último teorema de Fermat.

Mucho trabajo se llevó a cabo durante las siguientes semanas tratando de demostrar que la factorización era única. Wantzel afirmó haberla probado el 15 de marzo pero su argumento

Es verdadero para n = 2, n =3 y n =4 y uno puede ver fácilmente que lo mismo aplica para n > 4 era un tanto ingenuo.

[Wantzel estaba en lo correcto sobre n = 2 (enteros ordinarios), n = 3 (el argumento sobre el que Euler estaba equivocado) y n = 4 (que fue demostrado por Gauss).]

El 24 de mayo, Liouville leyó una carta a la Academia la cual resolvió la discusión. La carta era de Kummer y traía adjunto una separata de un artículo de 1844 que demostraba que fallaba la factorización única pero que podía 'recuperarse' con la introducción de números complejos ideales, lo cual había hecho en 1846. Kummer había usado su nueva teoría para encontrar condiciones bajo las cuales un primo es regular y había demostrado el Último teorema de Fermat para los primos regulares. Kummer también decía en su carta que creía que el 37 no cumplía con sus condiciones.

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Kummer demuestra que todos los primos menores a 37 son regulares pero el 37 no lo es ya que divide al numerador de B32.

Los únicos primos menores a 100 que nos son regulares son 37, 59 y 67. Se usaron técnicas más fuertes para demostrar el último teorema de Fermat para estos números. Este trabajo fue hecho y continuado para números más grandes por Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwängler, Vandiver y otros. Aunque se esperaba que el número de primos regulares fuera infinito, probarlo también era un reto. En 1915 Jensen demostró que el número de primos irregulares es infinito. A pesar de que se ofrecían cuantiosos premios por una solución, el último teorema de Fermat seguía sin ser demostrado. Tiene el dudoso honor de ser el teorema con el mayor número de pruebas falsas publicadas. Por ejemplo, más de mil demostraciones falsas fueron publicadas entre 1908 y 1912. El único progreso positivo parecía ser los resultados computacionales que mostraban simplemente que cualquier contraejemplo sería muy grande. Usando técnicas basadas en el trabajo de Kummer, hasta 1993 se había demostrado que el teorema es verdadero para n hasta 4 000 000.

En 1983 una contribución mayor vino de Gerd Faltings quien demostró que para toda n > 2, hay a lo más un número finito de enteros x, y, z primos entre sí para los cuales xn + yn = zn. Esto fue un gran paso pero no era probable que siguiera una prueba de que el número finito era 0 para todos los casos extendiendo los argumentos de Faltings.

El último capítulo de la historia empezó en 1955, aunque en aquel entonces no se pensaba que el trabajo estuviera conectado al último teorema de Fermat. Yutaka Taniyama hizo algunas preguntas sobre curvas elípticas, es decir, curvas que tienen la forma y2 = x3 + ax = b para a y b constantes. Trabajos adicionales de Weil y Shimura produjeron una conjetura, conocida ahora como la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. En 1986, Frey, en Saarbrücken, hizo la conexión entre esta Conjetura y el último teorema al mostrar que dicho teorema estaba lejos de ser una curiosidad poco importante de la teoría de números sino que de hecho estaba relacionado con las propiedades fundamentales del espacio.

Trabajos de otros matemáticos demostraron que un contraejemplo al último teorema de Fermat daría un contraejemplo a la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. La demostración del último teorema de Fermat fue completada en 1993 por Andrew Wiles, un matemático británico que trabajaba en la universidad de Princeton en Estados Unidos. Wiles dio una serie de tres pláticas en el Instituto Isaac Newton de Cambridge, Inglaterra, la primera de ellas el lunes 21 de junio, la segunda el martes 22. En la última plática, el miércoles 23 de junio de 1993, alrededor de las 10:30 de la mañana, Wiles anunció su demostración del último teorema de Fermat como un corolario de sus resultados principales. Después de escribir el teorema en el pizarrón, dijo me detendré aquí y se sentó. De hecho, Wiles había demostrado la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil para una clase de ejemplos, incluyendo aquellos necesarios para probar el último teorema de Fermat.

Esto, sin embargo, no es el final de la historia. El 4 de diciembre de 1993, Andrew Wiles hizo una declaración en vista de la especulación. Explicó que durante el proceso de revisión habían surgido algunos problemas, la mayoría de los cuales ya había sido resuelta. No obstante, quedaba un problema y Wiles esencialmente retiró su reivindicación de la demostración. Declaró que

La reducción clave de (casi todos los casos de) la Conjetura Taniyama-Shimura a calcular el grupo de Selmer es correcta. Sin embargo el cálculo final de una cota superior precisa para el grupo de Selmer en el caso encuadrado (de la representación simétrica cuadrada asociada a una forma modular) no está completado aún. Creo que podré terminarlo en el futuro próximo usando las ideas explicadas en mis pláticas en Cambridge.

En marzo de 1994, Faltings, escribiendo en la revista Scientific American, dijo

Si fuera fácil, lo habría resuelto ya. Estrictamente hablando, no era una demostración cuando fue anunciada.

Weil escribió, también en Scientific American, que creo que él ha tenido algunas buenas ideas al tratar de construir la demostración pero no la tiene. En cierta medida, demostrar el teorema de Fermat es como escalar el Everest. Si un hombre desea escalarlo pero se queda a cien yardas, no habrá escalado el Everest.

De hecho, desde principios de 1994, Wiles comenzó a trabajar con Richard Taylor en un intento de rellenar los hoyos. Sin embargo decidieron que uno de los pasos claves en la demostración, que usa métodos desarrollados por Flach, no funcionaba. Intentaron un nuevo acercamiento también carente de éxito. En agosto de 1994, Wiles se dirigió al Congreso Internacional de Matemáticos pero no había logrado resolver las dificultades.

Taylor sugirió un último intento de extender el método de Flach en la manera necesaria y Wiles, aunque convencido de que no funcionaría, aceptó, principalmente para tener oportunidad de convencer a Taylor de que nunca serviría. Wiles trabajó en ello durante un par de semanas y la inspiración le llegó súbitamente.

En un destello vi que lo que le impedía funcionar [la extensión del método de Flach] era algo que haría servir otro método que había intentado previamente.

El 6 de octubre, Wiles envió la nueva prueba a tres colegas, incluyendo a Faltings. A todos les gustó la nueva demostración que era mucho más simple que la anterior. Faltings envió una simplificación de un pedazo de la prueba.

Ninguna prueba tan compleja como ésta puede garantizarse que sea correcta, así que una pequeña duda se mantendrá por algún tiempo. Sin embargo, cuando Taylor dio una plática ante el Coloquio Británico de Matemáticas en Edimburgo en abril de 1995, dio la impresión de que ya no quedan realmente dudas sobre el último teorema de Fermat.

CAPITULO III

Problemas resueltos y problemas por resolver

  • ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS FAMOSOS QUE SE RESOLVIERON EN EL SIGLO XX

Además del famoso teorema de Fermat que se demostró en 1994, (ver biografía de Fermat) otro problema que dio que hablar el de los cuatro colores.

  • EL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES

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"En un plano o en una esfera no se necesitan más de cuatro colores para colorear un mapa de manera que dos regiones vecinas, es decir, que compartan una frontera y no únicamente un punto , no queden coloreadas del mismo color"

Los orígenes de este problema son muy antiguos. Los cartógrafos renacentistas sabían ya que les bastaban cuatro colores para iluminar sus mapas de manera que dos países vecinos quedaran iluminados de distintos color, logrando así que sus mapas fueran claros y fáciles de entender. Sin embargo, hasta el siglo XIX, a nadie se había ocurrido que este hecho tuviera que ver con Matemática mucho menos que se podía o debía demostrar.

Parece ser que el llamado problema de tos cuatro colores convirtió formalmente en un problema matemático cuando en 1 un estudiante inglés, Francis Guthrie, a quien te gustaba dibujar y colorear mapas, se dio cuenta de que siempre podía iluminar correctamente los mapas sin usar más de cuatro colores. Intuyendo esto podía ser demostrado, se lo contó a su hermano Frederick quien había estudiado con un prestigioso matemático inglés de la época llamado De Margan. De Margan no supo solucionar el problema pero le pareció suficientemente interesante como para enviarte carta a otro prestigioso matemático inglés, Hamilton, quien decidió no hacerle caso al problema, hecho que nunca sabremos sí sucedió porque no pudo resolverlo o porque te pareció intrascendente.

Durante muchos años, matemáticos y no matemáticos, expertos y novatos intentaron resolver el problema de los cuatro colores, problema de Los cuatro colores se hizo tan famoso en el medio matemático, que en 1878 el matemático inglés Cayley lo propuso oficialmente a la Sociedad Matemática de Londres (London Mathemathical Society), una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.

Varios matemáticos dieron demostraciones que resultaron tener errores, pero lo que sí se logró con el paso de Los años y el trabajo de tanta gente, fue demostrar dos cosas fundamentales:

• Tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa, es decir, existen mapas que no pueden colorearse de ningún modo usando únicamente tres colores.

• Con cinco colores se puede colorear cualquier mapa correctamente.

De manera que aunque no se había probado nada respecto a los cuatro colores por lo menos ya se sabía que con tres faltaba y con cinco sobraba, así el número cuatro era el candidato ideal... había entonces que probarlo o refutarlo.

Finalmente en 1976 (124 años después de que se había propuesto el problema!) dos matemáticos de la Universidad de Illinois en Estados Unidos, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, usando una computadora Cray de segunda generación, analizaron 1900 posibles arreglos de regiones en el plano, o sea, analizaron 1900 tipos distintos de mapas. La computadora tardó 1.200 horas en correr un programa que tenía miles de líneas de largo, y para todos los mapas encontró una coloración en la que a lo más se usaban cuatro colores. ¡El problema había sido resuelto!

Muchos matemáticos aceptaron esto como una prueba irrefutable, pero muchos otros argumentaron que eso no era una demostración matemática, la máquina había comprobado que una gran cantidad de mapas podían colorearse usando a lo más cuatro colores, ¿pero que tal sí existía un mapa, que la computadora no hubiera contemplado, que no podía colorearse de esa forma?

La discusión continuó por veinte años, hasta que en 1996, los matemáticos Neit Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robín Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Georgia, en Estados Unidos, publicaron una demostración, aparentemente correcta, del teorema de tos cuatro colores. Y así acaba la historia, pues hasta ahora nadie la ha refutado.

  • PROBLEMA DEL EMPAQUETAMIENTO DE KEPLER

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En 1998 Thomas Hales resolvió el problema de empaquetamiento de Kepler cuyo origen se remonta también a comienzos del siglo XVII. Hales ha demostrado que el empaquetamiento más denso posible de esferas iguales es La disposición cúbica centrada, es decir en capas rectangulares donde cada capa se desplaza para colocar tas esferas sobre los intersticios dejados por la capa inferior, del modo, que nuestros tenderos colocan Las pilas de naranjas cada día en el mercado. Como hemos dicho, ya Kepler se ocupó del problema en 1611, calculando La densidad de este modelo de empaquetamiento (aproximadamente 0,7404) y Gauss demostró que era el mejor modo posible con estructura regular (es decir con los centros de las esferas formando una estructura regular), pero quedaba pendiente demostrar que es también el mejor de todos Los posibles, aunque sean triangulares. La demostración de Hales usa de modo esencial la computadora para la comprobación de un determinado número de casos, al igual que ocurrió unos años antes en 1976 con la demostración del Teorema de los Cuatro Colores por K. Appel y W. Haken. Esto evidencia también una de las características fundamentales de la Matemática del siglo XX: La irrupción de Las computadoras está abriendo nuevas posibilidades para el desarrollo de la Matemática, modifica cando incluso la misma forma de demostración de tos teoremas.

  • PROBLEMAS PENDIENTES DE LA MATEMÁTICA

El 20 de mayo de 2000 un mecenas ofrece 7 millones de dólares por resolver los siete enigmas matemáticos del siglo. La lista recoge los problemas cruciales para el desarrollo futuro de las ciencias exactas.

Exactamente cien años después de que el científico alemán David Hilbert definiera los 23 grandes problemas que la Matemática del siglo XIX había sido incapaz de resolver, el empresario norteamericano Landon Clay ha ofrecido un millón de dólares a quienes solventen cada uno de los siete enigmas fundamentales que, según su equipo de asesores, han derrotado a La Matemática del siglo XX. De los 23 retos de Hilbert, 20 han sido resueltos o abordados satisfactoriamente, y dos ya no se consideran cruciales. El otro vuelve a aparecer en la nueva lista.

El empresario Clay es el fundador del Instituto de Matemáticas Clay, un centro con sede en Cambridge (Massachusetts) dedicado a los estudios avanzados en ciencias exactas. Su panel de asesores incluye a Andrew Wiles, el matemático de la Universidad de Princeton que logró en 1995 demostrar el escurridizo teorema de Fermat, un enigma que había atraído durante 350 años a los matemáticos de todo el mundo. Los otros asesores son Alain Connes, del Collége de France, Edward Witten, del California lnstitute of Technology, y Arthur Jaffe, de Harvard. Clay sabe muy bien dónde mete su dinero.

El empresario lanzó su oferta en París, en los actos organizados por el Collége de France para celebrar el centenario de la lista propuesta por Hilbert en 1900, que ha marcado buena parte de la investigación matemática del siglo XX. Los siete enigmas, según los expertos que tos han seleccionado, conducirán, una vez resueltos, a enormes avances en los campos del cifrado de datos (encriptado) y las ciencias aeroespaciales. También abrirán a la Matemática áreas inexploradas.

Los siete enigmas representan los grandes problemas no resueltos de la Matemática del siglo XX, dijo Wiles en París. Esperamos que ofrecer un premio por ellos inspire y estimule a las futuras generaciones de matemáticos. En efecto, ganar 1 millón de dólares por resolver un problema puede ser una buena fuente de inspiración. El Premio Nobel está dotado actualmente con menos dinero. Jaffe añadió: No hay límite de tiempo. La dificultad es de tal magnitud que ningún asesor de Clay espera que surja un ganador en un plazo breve. Algunos expertos independientes dudan incluso de que el instituto de CLay tenga que deshacerse de sus millones alguna vez.

Lo que sigue es una exposición informal de Los enigmas. Los especialistas pueden consultar sus formalizaciones en la página web del Instituto de Matemáticas Clay

  • PROBLEMAS DEL MILENIO

  • 1. EL PROBLEMA P CONTRA NP.

El matemático Stephen Cook, que formuló este problema en 1971, lo explica con el siguiente ejemplo., Es sábado por la noche y llega usted a una fiesta abarrotada de gente.

La anfitriona Le dice: Creo que conoces a Rosa, aquella chica de la esquina que lleva un vestido rojo. A usted Le bastará una fracción de segundo para verificar si la anfitriona está en lo cierto o no. Pero si en vez de eso La anfitriona le hubiera dicho mira por ahí a ver si., conoces a alguien, usted puede tardar tres horas en hallar La respuesta. Por mentira que parezca, esta cuestión supone un problema, enorme para los lógicos y para Los científicos de la computación.

La explicación de Las siglas P y NP no ayuda mucho: se refieren a los" tiempos polinomio y polinomio no determinista.

Los números primos (1, 2, 3, 5, 7,11...) no parecen seguir ningún patrón regular, pero el matemático alemán Georg Riemann propuso en el siglo XIX que su frecuencia guarda una estrecha relación con el comportamiento de una función matemática (llamada zeta). Las predicciones de Riemann se haya confirmado para muchos casos, pero todavía se precisa una demostración general. Este es el único de los siete problemas de Clay que ya estaba presente en la Lista de Hilbert.

Riemann mencionó la conjetura, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su artículo de 1859 Sobre los números primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una fórmula explícita para calcular la cantidad de primos menores que x. Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración de la misma. Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta s = 1/2 + i t, y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 = Re(s) = 1.

En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re(s) = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crítica 0 < Re(s) < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los números primos.

En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos - es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la conjetura de Goldbach. Cuando se le preguntó qué haría si se despertara habiendo dormido quinientos años, remarcablemente Hilbert contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada. La hipótesis de Riemann es el único problema de los que propuso Hilbert que está en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemáticas.

En 1914, Hardy demostró que existe un número infinito de ceros sobre la recta crítica Re(s) = 1/2. Sin embargo todavía era posible que un número infinito (y posiblemente la mayoría) de los ceros no triviales se encontraran en algún otro lugar sobre la banda crítica. En trabajos posteriores de Hardy y Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones para la densidad promedio de los ceros sobre la línea crítica.

Trabajos recientes se han concentrado en el cálculo explícito de la localización de grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar algún contraejemplo) y en los establecimientos de cotas superiores en la proporción de ceros que puedan estar lejos de la línea crítica (con la esperanza de reducirlas a cero).

  • En el año 2004 Xavier Gourdon verificó la conjetura de Riemann numéricamente a lo largo de los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función. Sin embargo esto no es estrictamente una demostración, numéricamente es más interesante encontrar un contraejemplo, es decir un valor de cero que no cumpla con que su parte real es 1/2, pues esto echaría por los suelos la validez de la conjetura.

  • Hasta el 2005, el intento más serio para explorar los ceros de la función-?, es el ZetaGrid, un proyecto de computación distribuida con la capacidad de verificar billones de ceros por día. El proyecto acabó en diciembre de 2005,y ninguno de los ceros pudo ser identificado como contraejemplo de la hipótesis de Riemann.

  • 3. LA TEORÍA DE YANG-MILIS.

Hace casi 50 años, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la Geometría y las ecuaciones de la física de partículas que luego resultaron de gran utilidad para unificar tres de Las interacciones fundamentales de La materia en una sola teoría. A pesar de ello, nadie ha demostrado que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica.

En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills sugierieron que el principio de invariancia local de fase o invariancia de gauge local no eran compatibles con una teoría de campos local, es decir, que obedeciera los principios relativistas de causalidad. Es decir cuando, como es común, el lagrangiano de un campo tiene alguna simetría interna dada por un grupo de transformaciones de gauge, debería ser posible escoger en cada punto del espacio una transformación de gauge diferente, sin que eso hiciese que las ecuaciones de la teoría fueran alteradas. Así Yang y Mills buscaron la teoría más general de lagrangiano para un campo con invariancia de gauge local.

De hecho la electrodinámica cuántica era ya una teoría con invariancia de gauge local, donde el grupo de gauge era precisamente el grupo de Lie U(1). El resultado del trabajo de Yang y Mills fue una generalización del lagrangiano de la electrodinámica cuántica, donde ahora el grupo de gauge era un grupo no conmutativo. Los gluones de la cromodinámica cuántica vienen descritos por un campo de Yang-Millis sobre el grupo de Lie no-conmutativo SU(3) asociado a la simetría de color.

  • 4. LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES.

Describen ciertos comportamientos de los fluidos, como las turbulencias provocadas por un avión a reacción o las ondas que forma una barca en el agua. Pero, insólitamente, nadie sabe cómo resolver estas ecuaciones.

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmosfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

  • 5. LA CONJETURA DE BIRCH Y SWINNERTON-DYER.

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  • 6. LA CONJETURA DE HODGE.

Los matemáticos han aprendido a investigar las formas de los objetos complicados a base de descomponerlos en multitud de bloques geométricos simples. Estos modelos son muy prácticos, pero hacen trampas al añadir algunos bloques que no tienen ninguna interpretación geométrica.

La conjetura de Hodge fue formulada en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Cambridge (USA) en 1950.

El tema de la conjetura de Hodge es la Geometría compleja.

Esta conjetura predice una estrecha relación entre Geometría, Álgebra, Topología y análisis

Una función f del plano es harmónica si cumple la ecuación Se pueden definir formas diferenciales harmónicas en cualquier variedad.

Teorema de Hodge: Si X es una variedad Riemanniana compacta, en cada clase de cohomología de de Rham existe una única forma diferencial harmónica.

CONSECUENCIAS

Una consecuencia fundamental del Teorema de Hodge es que la cohomología de las variedades complejas proyectivas lisas se puede descomponer en piezas que reflejan la estructura compleja.

Esta descomposición, junto con la estructura entera proporcionada por el teorema de de Rham y el producto de intersección se conoce como una estructura de Hodge.

Ejemplo: Salvo casos especiales (curvas hiperelipticas), una curva se puede recuperar a partir de la estructura de Hodge de su cohomología Resultados y generalizaciones

? Lefschetz (1923) demostró que la conjetura es cierta para ciclos de dimensión 2n-2 en una variedad proyectiva de dimensión (real) 2n. Este resultado se conoce como el Teorema (1,1) de Lefschetz.

? Otro teorema de Lefschetz muestra que la conjetura de Hodge para ciclos de dimensión 2p implica la conjetura de Hodge para ciclos de dimensión 2n-2p (si

2p>n).

? Por tanto la conjetura de Hodge es cierta en dimensión compleja 1,2 y 3

(Dimensión real 2,4 y 6).

? Se han comprobado algunos casos en dimensión 4. Por ejemplo J. Ramón en su tesis ha demostrado la conjetura de Hodge para ciertos productos de

Superficies.

? Las Grassmannianas y las variedades de banderas tienen toda su cohomología generada por ciclos algebraicos y por tanto cumplen la conjetura de Hodge.

¿Es cierta la conjetura?

Esta conjetura es bastante plausible, y (siempre que no resulte falsa) hay que considerarla como la conjetura más profunda de la teoría "analítica" de las variedades algebraicas. Alexander Grothendieck (1928 - )

La pregunta propuesta por la "Conjetura de Hodge" es muy natural... Desgraciadamente, a pesar de la palabra "conjetura", no hay, que yo sepa, ni la sombra de una razón para creerla; se rendiría un servicio a los

geómetras si se pudiera zanjar la cuestión mediante un contraejemplo. André Weil (1906-1998).

  • 7. LA CONJETURA DE POINCARÉ.

Las conclusiones que alcanzó Poincaré, el rival francés de Hilbert, sobre tas esferas en el espacio de tres dimensiones han resultado imposibles de trasladar al espacio de cuatro dimensiones. Los matemáticos llevan cien años intentándolo y no se rinden.

La superficie de un balón de fútbol, por ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y se dice que es simplemente conexa.

El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad (homeomórfica) de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera (y sus homeomorfos).

Mas técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la Topología geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas sin resolver más importantes de la Matemática.

Para dimensión dos ya fueron demostrados en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, cuando lo hizo Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática hasta que Grigori Perelmán hizo pública su demostración.

Henri Poincaré estableció dicha conjetura en 1904, indicando que la esfera tridimensional era única y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartían sus propiedades

El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue considerada uno de Los siete problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute.

El matemático ruso Grigori Perelmán anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet

El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa,[2] basándose en los trabajos preliminares de Perelman (éstos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales. Sin embargo, una gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde a Perelman y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que el ruso estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma.

Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelman cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006) con sede en Madrid en agosto de 2006, la cual rechazó. En declaraciones a un semanario estadounidense (The New Yorker), Perelman aseguró no querer ser una mascota en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro reconocimiento sobre la validez de su trabajo.

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En un esfera-2 ordinaria, cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. ¿Esta condición caracteriza la esfera-2? La respuesta es sí, y ha sido conocida por mucho tiempo. La conjetura de Poincaré hace la misma pregunta para la más difícil de visualizar esfera-3. Grigori Perelmán probó eso de nuevo, la respuesta es sí.

LOS 23 PROBLEMAS DE HILBERT

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental - 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su

eputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mérito O sea, fue un bocho enorme para la matemática; que enriqueció la ciencia con numerosos aportes. Pero este post hace especial hincapié en uno de ellos. Estamos hablando, de los 23 problemas de David Hilbert.

Fue en un día de 1900, en el marco de una conferencia en París para el congreso internacional de matemáticos de ese año, que el mundo (un puñado de entendidos sobre la materia en realidad nada más) oyó por primera vez de ellos. Lo que Hilbert en realidad hizo fue compilar una serie de problemas que hasta ese día no habían hallado solución, y cuyas respuestas posibilitarían el salto evolutivo de la matemática del siglo XX. Inicialmente, presentó 10 de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa se publicó más adelante.

Hoy en día, de los problemas de Hilbert claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 tienen una solución aceptada por consenso. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21 y 22 tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema.

En el 18, la solución a la ecuación de Kepler es una demostración asistida por computador, una noción anacrónica para un problema de Hilbert y controvertida hasta cierto punto debido a que un lector humano no puede verificarla en tiempo razonable. Esto deja sin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, ambos dentro de la teoría de números. En esta clasificación los 4, 6, 16 y 23 son demasiado vagos como para que algún día se les pueda declarar resueltos.

Paso a mostrar algunos de los problemas, y su solución (o intento de solución. Aclaro de antemano que tales soluciones no son como encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, o calcular el área de un pentágono: son matemática muy pero muy avanzada. Solo me limito a mostrar principalmente el (o los) procedimientos empleados para llegar a la solución, o por quién fueron resueltos. Los paso a clasificar en 3 grupos: en primer lugar, los cuales cuya solución es aceptada por consenso general. Solo voy a poner 2 o 3. El resto se puede encontrar en Wikipedia.

Problema III: dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo? Resultado: no, probado usando invariantes de Dehn

Problema VII: ¿Es ha elevado a la b trascendental, siendo a ? 0,1 algebraico y b irracional algebraico?

Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider Problema XVII: Expresar de una función definida racional como cociente de sumas de cuadrados

Resultado: se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa en general se debe a Du Bois (1967). Por otro lado, están los problemas que tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema. Problema I: La hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo tamaño esté estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales) Se ha probado la impibilidad de probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.

Problema XV: Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert. Parcialmente resuelto, Van der Waerden a finales de los años treinta. Problema II: Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción). Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático. Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal e0, un hecho sujeto a la intuición combinatoria. También están los problemas demasiado vagos como para hallársele una solución Problema IV: Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas. Problema VI: Axiomatizar toda la física

Problema XVI: Topología de las curvas y superficies algebraicas.

Y finalmente, aquellos problemas que aún hoy permanecen abiertos y sin solución. Problema VIII: La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos). Problema XII: Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico de base.

INFORMACIÓN TABULADA LOS VEINTITRÉS PROBLEMAS DE HILBERT SON:

Problema

Explicación breve

Estado

1er

La hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo tamaño esté estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales)

Se ha probado la imposibilidad de probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.

Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción).

Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal e0, un hecho sujeto a la intuición combinatoria.

3er

Dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?

Resuelto. Resultado: no, probado usando invariantes de Dehn

Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas.

Demasiado vago para decidir si se ha resuelto o no.

¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática?

Resuelto por Andrew Gleason (1952)

Axiomatizar toda la física

  • La mecánica clásica: Hamel (1903).

  • La termodinámica: Carathéodory (1909).

  • La relatividad especial: Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente.

  • La teoría de probabilidades: Kolmogórov (1930).

  • La teoría cuántica de campos: Wightman a finales de los años 1950.

¿Es a b trascendental, siendo a ? 0,1 algebraico y b irracional algebraico?

Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider

La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos).

Abierto.

Encontrar la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier cuerpo numérico algebraico

Parcialmente resuelto

10º

Encontrar un algoritmo que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene solución entera.

Resuelto. Resultado: no, el teorema de Matiyasevich (1970) implica que no existe tal algoritmo.

11º

Resolver las formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos.

Parcialmente resuelto:

  • Sobre los números racionales: Hasse (1923-1924).

  • Sobre los números enteros: Siegel en los años 1930

12º

Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico de base.

Abierto

13º

Resolver todas las ecuaciones de 7º grado usando funciones de dos parámetros.

Resuelto negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957.

14º

Probar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.

Resuelto. Resultado: no, en general, debido a un contraejemplo, Nagata (1962).

15º

Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.

Parcialmente resuelto, Van der Waerden a finales de los años 1930.

16º

Topología de las curvas y superficies algebraicas.

Abierto

17º

Expresión de una función definida racional como cociente de sumas de cuadrados

Resuelto. Resultado: se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa en general se debe a Du Bois (1967).

18º

¿Existe un poliedro irregular y que construya otros poliedros? ¿Cuál es el apilamiento compacto más denso?

Resuelto

19º

¿Son siempre analíticas las soluciones de los Lagrangianos?

Resuelto por Bernstein (1904). Resultado: sí

20º

¿Tienen solución todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno?

Resuelto. Ha supuesto un área importante de investigación durante el siglo XX, culminando con las soluciones al caso no lineal.

21er

Probar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que tengan un grupo loxodrómico prescrito

Resuelto. Resultado: sí o no, dependiendo de una formulación más exacta del problema. Según Gray resuelto de forma negativa por Anosov y Bolibruch (1994).

22º

Uniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas

Resuelto por Koebe (1907) y Poincaré independientemente (1907).

23er

Extensión de los métodos del cálculo de variaciones

Resuelto

CAPITULO III

Otras conjeturas por resolver

OTROS PROBLEMAS NO RESUELTOS

A parte de los problemas del milenio en la actualidad existen conjeturas que no se han podido comprobar y que se consideran como no resueltos.

CONJETURA DE GOLDBACH

En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Su enunciado es el siguiente:

Cabe notar que se puede emplear dos veces el mismo número primo.

Por ejemplo,

HISTORIA

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Esta conjetura había sido conocida por Descartes. La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach a Euler en 1742:

Todo número entero mayor que 5 se

Puede escribir como suma de tres

CONJETURA DE LOS NÚMEROS PRIMOS.

Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 1018. La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan mayormente en las consideraciones estadísticas sobre la Distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más "probable" que pueda ser escrito como suma de dos números primos.

Sabemos que todo número par puede escribirse de forma mínima como suma de a lo más seis números primos.

Como consecuencia de un trabajo de Vinográdov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinográdov demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos.

Con el fin de generar publicidad para el libro El tío Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis, el editor británico Tony Faber ofreció en 2000 un premio de un millón de dólares a aquel angloparlante que demostrase la conjetura antes de abril de 2002. Nadie reclamó el premio.

Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos: la conjetura 'fuerte' de Goldbach y la conjetura 'débil' de Goldbach. La que se discute aquí es la fuerte, y la que se suele mencionar como "conjetura de Goldbach" a secas.

CONJETURA DE LOS NÚMEROS PRIMOS GEMELOS

Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 o 29 y 31.

Conforme se van considerando primos más grandes la frecuencia de aparición de pares de primos gemelos va disminuyendo, pero aun así se ha visto computacionalmente que siguen surgiendo pares de primos gemelos aun entre números de tamaños enormes.

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, esta todavía sin demostrar.

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

La conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números. La mayoría de matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan en evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de los números primos.

En 1849, Alphonse de Polignac formulo una conjetura más general según la cual, para todo numero natural k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2.k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.

DATOS HISTÓRICOS DEL PROBLEMA DE LOS NUMEROS PRIMOS

En 1940, Erdos mostro que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c·ln(p), donde p denota el numero primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostro que podía emplearse una constante c < 0,25. Daniel Goldston, Janos Pintz y Cem Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar que el resultado es válido para toda constante c>0.

En 1973, Jing-run Chen publico una prueba que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratar la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar

También existe una generalización de la conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura de Hardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los números primos. Denotese como p2(x) el número de primos p menores que x tales que p+2 también es primo. Defínase la constante de los números primos C2 como el siguiente producto de Euler.

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En el mismo sentido en que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito.

Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse) si se supone, informalmente hablando, que el evento que n no sea divisible por p y el evento que n+2 no sea divisible por p son estadísticamente dependientes solo en la medida que el hecho que n no sea divisible por p hace que p|n+2 sea un evento entre p-1 eventos igualmente probables, y no un evento entre p eventos igualmente probables. La evidencia numérica que hay detrás de la conjetura de Hardy-Littlewood es ciertamente impresionante.

NÚMEROS PRIMOS DE MERSENNE

Esta conjetura dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2.

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Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo. Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marín Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizo una serie de postulados sobre ellos que solo pudo refinarse tres siglos después. También compilo una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturo que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista solo resulto ser parcialmente correcta, ya que por error incluyo M67 y M257, que son compuestos, y omitió M61, M89, y M107, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporciono ninguna indicación de como dio con esa lista, y su verificación rigurosa solo se completó más de dos siglos después.

Partes: 1, 2, 3


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