Las cosas más importantes en
matemáticas, son las que tienen un fundamento más
débil…
–ABEL,
en carta a su maestro Holmboë, en 1826.
Resumen:
A pesar de carecer actualmente de
formulación dinámica, es posible obtener gran
cantidad de información sobre Teoría M,
teoría que se postula como unificadora de todas las
interacciones, a partir de sus sectores perturbacionales y de
baja energía. En las regiones perturbacionales adecuadas,
la Teoría M adopta la apariencia de la Teoría de
Cuerdas. Al considerar su límite de baja energía,
surge la supergravedad en once dimensiones. Aquí se indica
cómo Teoría M puede ser considera da como una
deformación biparamétrica de Geometría
Clásica, dónde un parámetro controla la
generalización de puntos a lazos y el otro
parámetro controla la suma sobre topologías de
superficies RIEMANN. La formulación matemática
final de Teoría M tendrá que considerar
Teoría de Fibrados Vectoriales, Teoría K y
Geometría No Conmutativa.
Descriptores: Teoría cordal,
Geometría Riemann, Fibrados Vectoriales, Teoría K,
Geometría no Conmutativa, Teoría cuántica,
Teoría Conformal de campos.
Abstract.
Despite currently lacking dynamic formulation, it is
possible to get lots of information about M theory, theory that
is postulated like unifying all interactions, from their
perturbative and low energy sectors. In suitable perturbative
regions, the M theory takes the appearance of the string theory.
When considering its limit of low energy, arises the supergravity
in eleven dimensions. Here It is indicated how M-theory can be
considered as a two-parameter deformation of Classical Geometry,
where one parameter controls the generalization from points to
loops, and the other parameter controls the sum over topologies
of RIEMANN surfaces. The final mathematical formulation of
M-theory will have to make contact with the theory of vector
bundles, K-theory and noncommutative geometry.
Keywords: String Theory, Riemann Geometry, Vector
Bundles, K-Theory, NonCommutative Geometry, Quantum Theory,
Conformal Fields Theory.
1
Introducción
Durante años ha habido muchas
interacciones fructíferas entre Teoría
Cordal [15] y varios campos de Matemática.
Materias como Geometría Algebraica y Teoría de
Representación han sido estimuladas por nuevos conceptos
como Simetría Especular [3],
Cohomología Cuántica [13] y
Teoría Conformal de Campos [4]. Pero, la
mayoría de estos desarrollos se han basado en la
formulación perturbacional de Teoría Cordal o en el
formalismo LAGRANGEano con respecto a aplicaciones de superficies
RIEMANN, a variedades y cuantización de espacios de lazos.
Este enfoque perturbacional es, sin embargo, sólo una
descripción aproximada aplicable para valores
pequeños del parámetro de
cuantización.
Ha habido mucho progreso en la comprensión de una
descripción más fundamental de la teoría,
con lo que se ha conocido como Teoría M. Teoría M
podría ser, hasta ahora, el objeto matemático
más complejo y más rico en las físicas.
Parece unificar tres grandes ideas de las físicas
teóricas del siglo veinte:
1. Relatividad General la idea que la gravedad puede ser
descrita por la geometría RIEMANN de
espaciotiempo.
2. Teoría de Calibración la
descripción de fuerzas entre partículas elementales
usando conexiones sobre fibrados vectoriales. En
matemáticas esto involucra Teoría K y teoremas de
índices.
3. Las cuerdas o, más generalmente, los objetos
extensos, como generalización natural de partículas
puntuales. Matemáticamente esto significa que se estudian
los espacios primariamente, a través de sus (cuantizados)
espacios de lazos.
En la actualidad parece que estas tres ideas
independientes están estrechamente relacionadas y,
quizás, son esencialmente equivalentes. En alguna
extensión, las físicas están intentando
construir un diccionario entre Geometría, Teoría de
Calibración y Cuerdas.
Debe decirse que en todos los desarrollos ha habido dos
ingredientes adicionales, que son completamente cruciales. El
primero es Mecánica Cuántica —la
descripción de realidad física en términos
de Álgebras de Operadores que actúan sobre espacios
HILBERT. En la mayoría de los esfuerzos por entender
Teoría Cordal, Mecánica Cuántica ha sido
fundamental y hay poca indicación de que esto vaya a
cambiar.
El segundo ingrediente es Supersimetría
—unificación de materia y fuerzas.
Matemáticamente, Supersimetría se relaciona
estrechamente a complejos DE RHAM y Topología Algebraica.
De alguna manera, muchas de las milagrosas interconexiones en
Teoría Cordal, sólo funcionan si
Supersimetría está presente. Puesto que
esencialmente, se trabaja con complejos, no debe sorprender a los
matemáticos que haya varios índices
'topológicos' estables con respecto a perturbaciones, que
pueden computarse exactamente, dentro de límites
apropiados. Desde una perspectiva física,
Supersimetría es quizás, la más robusta
predicción de Teoría Cordal.
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