Números primos

Tenemos los conjuntos

C = A U B + {1, 2, 3}

Denominemos Np el conjunto que contiene
todos los números primos, entonces:

Afirmaremos que:

LA TABLA MUESTRA LA CORRESPONDENCIA ENTRE
COLUMNAS, DEPENDIENDO DEL Np DE PARTIDA, POR TANTO, SOLO EXISTEN
DOS Np GENERADORES QUE SON 5 Y 7.

La información anterior, nuestra que existen dos
columnas principales, las que se inician con los números
primos 5 y 7; desde aquí, coincidirán los valores
de cualquier otra columna en estas dos. Siempre que se maneje las
ecuaciones de la forma siguiente: x= Np +6*m, siendo Np cualquier
número primo que se desee.

Una pequeña nuestra del conjunto A y el conjunto
B, están representados en la siguiente gráfica,
dado que la diferencia punto a punto es dos, están muy
próximos.

Estas dos series de puntos, seguirán alineados
hasta el infinito.

Sin duda alguna, existen elementos del conjunto C = AUB,
que no son números primos y al analizarlos se puede
detectar las siguientes características:

1. Sea Np un número primo y Np ?
AUB, entonces Z= Np2 ? B.

Como existen dos fuentes de números primos, pero
los cuadrados de los números primos están
sólo en el conjunto B, se establecen dos relaciones para
determinar el valor de m. Si el número primo Np ? A,
entonces, el valor de m que determina el valor de Np2 lo
llamaremos

mnpa2, donde:

mnpa2 = 3+ 10mp+ 6mp2

Si el número primo Np ? B, entonces,
el valor de m que determina el valor de Np2 lo llamaremos mnpb2,
donde:

mnpb2 = 7+ 14mp+ 6mp2

Para todos los casos mp representa el valor
de m que determina el número primo Np. Veamos en la
siguiente tabla lo señalado.

Tabla 2

Tabla 3

2. Sea Np un número primo y Np ?
AUB, entonces Z= Np2n ? B.

3. Sea Np un número primo y Np ? A,
entonces Z= Np2n+1 ? A.

Si Np ? B, entonces W= Np2n+1 ?
B.

4. Todos los elementos del conjunto A y del conjunto B
que no son números primos, pueden identificarse a partir
de un número primo conocido y el número m
correspondiente.

En la siguiente tabla, se explica esta
relación:

Tabla 4

Resulta claro que estos elementos tienen
una relación de posición en función de m;
así, se pueden identificar todos los elementos
múltiplos de un número primo. Por ejemplo, tomemos
m=0 le corresponde el Np1=5 y Np2= 7 para el conjunto A y el
conjunto B respectivamente, podemos indicar que tenemos un
subconjunto de A que llamaremos A5 y un subconjunto de B que
llamaremos B7.

Para m=1, corresponden los números 11 y 13,
elementos del conjunto A y el conjunto B respectivamente. Desde
aquí, definimos dos nuevos subconjuntos que llamaremos A11
y B13.

Donde Npa= 11 y Npb= 13

Podemos generalizar señalando que cada
número, mejor dicho, elemento del conjunto A y del
conjunto B, se convierte en un semillero de elementos que no son
números primos. Si tomamos todos estos elementos y los
extraemos del conjunto C, el conjunto resultante será el
conjunto de los números primos Np. La forma general de
estos subconjuntos será:

Sin embargo, hay un elemento que no esta incluido en los
subconjuntos arriba indicados que pertenece al conjunto B, que es
el elemento Y= 25. Se infiere que se debe incluir los elementos
múltiplos de cinco en el conjunto B y los múltiplos
de siete en el conjunto A.

Ahora podremos señalar que:

Np= C – { ANpa U BNpb U ANa7 U BNb5 U
…. }

5. Imaginemos que construimos una tabla de seis columnas
y un número infinito de filas, para nuestro ejemplo
pondremos un número finito; cada celda lleva el valor de
n, en forma horizontal, la siguiente n+1, n+2,
n+3,…..

Detallemos la tabla siguiente:

Si incluimos el número 1 dentro del
conjunto

De esta forma, la columna número uno, representa
el conjunto B y la columna número cinco, representa el
conjunto A. En esta oportunidad, la diferencia de dos elementos
para el mismo valor de m es cuatro (4). La gráfica muestra
el mismo comportamiento para cuando m es infinito. Para el caso
particular de los números primos gemelos, se expresa para
valores de m y (m+1), claro está que no son todos los
casos. Por ejemplo: Si m = 1

Conjunto A (m) = 11;

Conjunto B(m+1) = 13

Gráfica Nº 2

La matriz de seis columnas tiene las
siguientes propiedades:

La primera columna es el conjunto B,
encabezados por el número uno

(1). Nueva definición.

La segunda columna son números
pares, encabezados por el número primo par, el
número dos (2).

La tercera columna son números
impares, encabezados por el número

tres (3). Todos estos números son
múltiplos de tres. La cuarta columna son números
pares.

La quinta columna es el conjunto A,
encabezados por el número cinco

(5).

La sexta columna son números
pares.

Como conclusión, las columnas dos,
cuatro y seis; sólo existe el número primo dos (2).
Los números primos de la forma 2n – 1 o número
primo de

Mersenne pueden estar ubicados en la
columna uno, el conjunto B, dado que:

Si n es par, entonces N = 22n – 1,
estaría ubicado en la columna tres, y en esta columna los
números son el tres, cabeza de columna o múltiplos
de tres.

Luego, desde la nueva definición del
conjunto B: Los números primos de Mersenne

Nmp = 22n +1 – 1 = 1+6m

22n +1 = 2+6m ; si dividimos ambos
miembros por 2

22n = 1+3m; donde m = (22n
-1)/3

Los números sombreados en azul, son
números de Mersenne conocidos y que un PC casero puede
manejar, ya para n= 42 no es posible determinar el valor de
número. Espero que ordenadores poderosos puedan manejar
cifras mayores a las mostradas en la tabla.

GENERACIÓN
DE UN LISTADO DE NÚMEROS PRIMOS.

Para generar un listado de números primos
haciendo una rutina simple, sin embargo, no es fácil el
manejo para ordenadores caseros de operaciones para
números con cifras muy altas. Pero mostraré un
diagrama que permite ilustrar el proceso.

Diagrama 1

Conjetura de los
números primos gemelos Conjetura de los números
primos gemelos.

Existe un número infinito de primos p tales
que p + 2 también es primo.

Desde nuestra perspectiva, la diferencia entre un
elemento del conjunto B y un elemento del conjunto A para todo
valor de m es dos (2). Por lo tanto, existirá un elemento
pa ( número primo) del conjunto A y un elemento pb
(número primo) del conjunto B, donde pa + 2 =
pb

pa = 5 + 6m pb = 7 + 6m

Si m tiende a infinito, va a existir un pa + 2 =
pb

Se propone hacer público este trabajo, luego,
continuar el desarrollo y la publicación de un cuaderno de
trabajo Nº 2, después de la realimentación
producto de la publicación.

Autor:

José Mujica

Caracas, 21 de juLio de 2011. Cuaderno de
trabajo N° 1