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Probabilidad Teórica




Probabilidad teórica - Monografias.com

Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812:

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Ejemplo ilustrativos

1) En cierta rifa de un automóvil se venden 5000 boletos. Calcular la probabilidad de ganarse el automóvil

1.1) Si se compran 20 boletos.

1.2) Si se compran todos los boletos

1.3) Si no se compran boletos

Solución:

Ya que el espacio muestral S (5000 boletos) es finito, y los resultados de cada boleto son igualmente probables, se calcula empleando la fórmula de la definición clásica de la probabilidad

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2) Calcular la probabilidad de obtener un número impar en el lanzamiento de un dado

Solución:

Espacio muestral = S = (1, 2, 3, 4, 5, 6(, entonces, n(S) = 6

Resultados favorables = (1, 3, 5(, entonces, n(E) = 3

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3) En una ánfora existe 10 fichas amarillas, 6 rojas y 4 azules.

3.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha amarilla en un primer intento?

3.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha no roja en un primer intento?

Solución:

n(S) = 10 + 6 + 4 = 20

3.1) n(E) = 10

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Calculando la probabilidad de sacar una ficha no roja se obtiene:

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4) En una urna existe 10 bolas numeradas con los números dígitos.

4.1) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número múltiplo de 3?

4.2) ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola enumerada con un número divisor de 6?

Solución:

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4.2)

Resultados favorables = (1, 2, 3, 6(, entonces, n(E) = 4

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5) De una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 azules se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la probabilidad de que las dos sean

5.1) Se extrae una bola, calcular la probabilidad de que la bola sea

a) Roja

b) Azul

Solución:

Reemplazando valores en la fórmula de la probabilidad teórica se tiene

5.2) Se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la probabilidad de que las dos sean

a) Azules

b) Rojas

c) Diferente color

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Entonces, n(S) = 4 + 3+ 2+ 1 = 10

a) Azules

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Otra forma de resolver este ejercicio es la siguiente:

El espacio muestral se calcula aplicando la fórmula de la combinación, es decir,

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En donde:

n = número total de bolas azules = 3

r = número de bolas azules motivo de probabilidad = 2

Entonces, reemplazando valores en la fórmula de la combinación se obtiene:

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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b) Rojas

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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c) Diferente color

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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5.3) Se extraen simultáneamente tres bolas, calcular la probabilidad de que las tres sean

a) Dos rojas y una azul

b) Una roja y dos azules

c) Tres rojas

Solución:

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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b) Una roja y dos azules

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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c) Tres azules

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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5.4) Se extraen simultáneamente cuatro bolas, calcular la probabilidad de que las cuatro sean

a) Dos rojas y dos azules

b) Una roja y tres azules

Solución:

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Entonces, n(S) = 5

a) Dos rojas y dos azules

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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b) Una roja y tres azules

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Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se muestran en la siguiente figura:

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6) Se lanzan simultáneamente tres monedas, calcular la probabilidad de que se obtengan dos caras y un sello.

Solución:

Designando por C = cara y por S = sello se tiene:

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Todas las probabilidades individuales se representan en la siguiente tabla:

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Interpretación:

La probabilidad de obtener 3 caras al lanzar simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(CCC)= 1/8

La probabilidad de obtener 2 caras y un sello al lanzar simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CCS) = 3/8

La probabilidad de obtener una cara y 2 sellos al lanzar simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CSS) = 3/8

La probabilidad de obtener 3 sellos al lanzar simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(SSS)= 1/8

Nota:

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En donde n es el número de monedas que se lanzan

Los números 1, 3, 3, 1 se calculan mediante el siguiente esquema conocido con el nombre de "Triángulo de Pascal", el cual está relacionado directamente con el Teorema del Binomio de Newton.

Este triángulo tiene como primera fila un 1, como segunda fila dos 1. Para las demás filas, la suma de cada par de números adyacentes de la fila anterior se ubica por debajo de ellos. Se añade un 1 en cada extremo.

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7) Si un dardo se clava de manera aleatoria en el objeto cuadrado que se muestra en la siguiente figura, ¿cuál es la probabilidad de que caiga en la región sombreada?

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Solución:

Calculando el área del círculo:

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Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes

 


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