El algebra en el renacimiento y las contribuciones de Fracisco Vieta y Loduvico Ferrrari

Introducción

Hasta la aparición del Ars Magna de Cardano en
1545, no hubo en el Renacimiento desarrollos trascendentes en
álgebra. Sin embargo, merecen ser mencionadas algunas
obras que contribuyeron a que esta rama de las matemáticas
no quedase en el olvido.

Pero sin duda el cambio más significativo en el
carácter del álgebra relacionado con el simbolismo
fue introducido por François Viète (1540-1603) un
abogado francés cuyo interés por las
matemáticas era puro entretenimiento y describe su In
Artem Analyticam Isagoge como la obra del análisis
matemático restaurado. Viète traza la línea
divisoria entre la aritmética y el álgebra y
propone utilizar una vocal para representar una cantidad que se
supone en álgebra desconocida o indeterminada, y una
constante para representar una magnitud o un número que se
supone conocido o dado. Esta distinción entre el concepto
de parámetro y la idea de incógnita fue un paso
previo a la matemática moderna.

Una de las consecuencias más importantes tras la
publicación del Ars magna fue que la solución de la
ecuación cúbica condujo a las primeras
consideraciones significativas acerca de un nuevo tipo de
número.

Mas tarde Ferrari contribuye a la solución de la
ecuación de cuarto, apoyado por su maestro jerónimo
cardano.

El álgebra
durante el Renacimiento

Durante el Renacimiento las actividades
matemáticas lograron avances muy importantes en el campo
del álgebra, la trigonometría y la
geometría. Ya se utiliza un simbolismo rudimentario en
álgebra, lo símbolos indo-arábigos
están suficientemente extendidos, las fracciones decimales
se desarrollan poco a poco y la teoría de las ecuaciones
ha logrado comprender la solución general de la
cúbica y la bicuadrática.

Los números negativos se aceptan progresivamente
y la trigonometría, considerada ciencia independiente,
dispone ya de tablas muy precisas para las seis funciones. En
cuanto a la geometría, se desarrollan nuevas orientaciones
en geometría descriptiva y proyectiva. Todos estos avances
son ampliamente difundidos de forma más normalizada
gracias a la imprenta.

La aplicación de todos estos conocimientos a
campos tan diversos como la cartografía, el arte, la
óptica o la contabilidad sirvió para relanzar las
matemáticas y darles un impulso de modernidad, con un
sentido más crítico de los modelos clásicos,
intentando definir otros nuevos que los sustituyeran.

A esta etapa de la culminación del Renacimiento y
comienzo de las matemáticas modernas contribuyó de
forma especial François Viète.

La notación
algebraica, un paso importante

El álgebra hasta el siglo XVI era de tipo verbal,
en realidad, el álgebra todavía estaba en ese
tiempo muy conectada con la geometría. La incógnita
de un problema era pensada como la longitud de un segmento de
recta; el cuadrado de la incógnita se refería al
área de un cuadrado y su cubo, al volumen de un cubo.
Desde esta perspectiva, tanto números negativos como
potencias más grandes a tres eran imposibles.
Además, un cuadrado no podía ser sumado con un cubo
es decir no se podía sumar x2+x3, debido a que
áreas y volúmenes son cantidades de diferente
notaciones y no pueden ser combinadas. Así, el
álgebra era todavía un conjunto específico
de reglas que eran usadas para resolver ecuaciones particulares.
Un avance importante se dio hacia el final del siglo XVI: el
álgebra vino a ser una herramienta muy poderosa pues se le
proveyó de un mayor simbolismo. Se introdujo la
notación exponencial y lo que se escribía como " A
cubus" o "AAA " podría ser ahora escrito como A3 . Los
símbolos +, –, = fueron también introducidos.
Este último fue propuesto por Robert Recorde pues
decía que no hay dos cosas tan idénticas como dos
líneas paralelas.

François
Viète

François Viète, conocido en textos
en españoles por su nombre latinizado Francisco
Vieta., matemático francés, nace en
Fontenay-le-Comte, Francia en el año 1540 y
muere en  París Francia, en el
año 1603).

Vida

Hijo de un procurador, Viète estudia
derecho en Poitiers. En 1560, se convierte en abogado en
Fontenay-le-Comte. Se le confían de golpe importantes
asuntos, en particular la liquidación de las tierras en la
región de Poitou de la viuda de Francisco I y los
intereses de María Estuardo, reina de Escocia.

En 1571, pasa a ser abogado en el Parlamento de
París, y se le nombra consejero en el Parlamento de Rennes
en 1573. En 1576, entra al servicio del rey Enrique III de
Francia, quien le encomienda una misión especial. En 1580,
pasa al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de
París, Tras la muerte de Enrique III, Viète pasa a
formar parte del consejo privado de Enrique IV, y partir de 1594,
se encarga exclusivamente de descifrar los códigos
secretos enemigos.

Fue conocedor de Diofanto y Cardano, estableció
las reglas para la extracción de raíces y dio a la
trigonometría su forma definitiva en Canon mathematicus
(1570). Se lo considera uno de los principales precursores
del álgebra, puesto que se dedicó así
mismo al estudio de los fundamentos del álgebra, con la
publicación, en 1591, de In artem analyticam isagoge, en
el cual introdujo un sistema de notación que hacía
uso de letras en las fórmulas algebraicas. Se ocupó
finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la
trigonometría plana y esférica.

Sus obras

En el periodo que va de 1564 a 1568 escribió dos
obras, una de astronomía titulada Harmonicon coeleste que
no llegó a publicarse y su gran Canon mathematicus
seu ad triangula, cuya impresión duró
más de ocho años y se publicó en 1579. Las
aportaciones de esta obra fueron, entre otras, la
utilización sistemática de los números
decimales, con empleo de la coma; la aplicación
sistemática del álgebra a la trigonometría
descubriendo de nuevo la mayor parte de las identidades
elementales con fórmulas generales para las expresiones de
las funciones; la obtención de fórmulas
trigonométricas de conversión del producto de
funciones en una suma o una diferencia, o la obtención de
lo que hoy se conoce como teorema del coseno.

En su obra Variorum de rebus mathematicis, de
1593, formuló un enunciado equivalente al teorema de la
tangente.

Pero su fama le vendría por su
contribución al álgebra, con su obra In artem
analyticam isagoge, que se publicó por primera vez en
Tours en 1591. Sirvió para la generalización del
álgebra simbólica, muy parecida a la que
después Descartes culminó. Viète utilizaba
las vocales para identificar a las incógnitas y las
consonantes para nombrar los parámetros conocidos (al
contrario que ahora), pero aún utilizaba abreviaturas para
identificar operaciones.

Así, por ejemplo, para nombrar la
ecuación 2ax² + 3bx – x³ = D hacía
lo siguiente: la x la nombraba A; los parámetros a
y b los nombraba B y F; al D lo llamaba solido; a la
operación de multiplicar, in; el cuadrado, q (de
quadratus); el cubo era c (de cubus), y la igualdad era aequatur.
Escribía:  B 2 in A q + F 3 in A – A c aequatur D
solido.

Tras su muerte, en 1615, se publicó
su obra De aequationum recognitione et emendatione, con estudios
precisos sobre las raíces de las ecuaciones
polinómicas.Con Viète alcanzó el
álgebra un grado de generalización notable y dio
nuevos enfoques a la resolución de todo tipo de
ecuaciones. 

Contribución a las soluciones a ecuaciones
polinómicas

Abogado francés aficionado a las
matemáticas empezó a usar vocales para representar
variables y consonantes para representar constantes.

Esto permitió a los matemáticos
representar, por ejemplo, a toda la clase de ecuaciones
cuadráticas como

y esto hizo posible que se pudieran discutir
técnicas generales para resolver algunas clases de
ecuaciones. Tanto que 1590 aproximadamente Vieta realizo avances
en los métodos algebraicos, consiguió reducir una
cuadrática general a una cuadrática pura utilizando
una hábil sustitución. Su ecuación general
es expuesta de la siguiente manera "a quadr +B2in A aequantur Z
plano" es nuestro días esto se reduciría

De hecho, fue Vieta quien interpretó la
cúbica general como una ecuación de la que todos
los casos que consideraba Cardano eran ocurrencias particulares.
Además, dio un solo método de solución que
podía aplicarse a todos los casos. Si bien el simbolismo
algebraico de Vieta no es el que usamos actualmente, sí
era uno muy parecido. Así, para nosotros, la
ecuación general de tercer grado la escribimos
como,

Solución de la
ecuación de tercer grado

La reducción de caso general, fue considerada por
Tartalia. El hecho es que Cardano En 1545, publicó en su
"Args Magna" y en el la contribución de Tartalia, cuando
Tartalia protestó, Ferrari un alumno de Cardano, afirmo
que su maestro había recibido la solución de Ferro.
Desde esa época la solución es conocida bajo el
nombre de Cardano.

A continuación se presenta la solución en
su forma moderna:

Aunque hay duda quien es el verdadero autor de la
fórmula, es un hecho que Cardano contribuyo mucho al
desarrollo de la teoría de ecuaciones
algebraicas.

La ecuación de
cuarto grado: Lodovico Ferrari

Lodovico Ferrari fue un matemático italiano,
nació en Bolonia, Italia, el 2 de
febrero de 1522 y murió en la misma ciudad
envenenado de trióxido de arsénico por su
hermana el 5 de octubre de 1565.

Fue un estudioso de las matemáticas y
en unión de otros colaboradores, llegó a ser uno de
los mayores representantes de la escuela de Bolonia, que se
dedicaba principalmente al estudio del álgebra, con
lo que le llegó al descubrimiento de la resolución
algebraica de la ecuación general de cuarto
grado. Dio también la demostración de la
fórmula para resolver ecuaciones de tercer
grado.

Ferrari se educo en casa, cuando su padre murió,
se fue a vivir con su tío Vincenzo. Después se fue
a Milán y empezó a trabajar en casa de
Cardano, convirtiéndose en su sirviente a los 14
años, pues Cardano pronto descubrió que Ferrari
sabía leer y escribir y lo tomó como secretario
para que le escribiera sus propios libros. Pronto se dio cuenta
de que también Ferrari aprendía con rapidez y
empezó a
enseñarle matemáticas.

Contribución de Ferrari a la solución
de ecuaciones de cuarto grado.

Ferrari junto con Cardano estudiaron la solución
de las cúbicas que Tartaglia les había comunicado.
Ellos resolvieron los problemas que Zuanne da Coi había
propuesto y escribieron los casos en que podía presentarse
una cúbica con coeficientes positivos. En este proceso,
Ferrari descubrió también la solución
general de la cuártica en 1540, con un bello argumento que
reducía el problema a resolver una cúbica por el
método de Tartaglia.

En su obra Ars Magna, Girolamo Cardano (1501-1576) dice
que el primero que consiguió la solución de una
ecuación de cuarto grado fue Ludovico Ferrari, ya que
aquél acepto el desafío de Zuanne di Tonini da
Coi para resolver un problema que éste, finalmente,
dio solución utilizando un procedimiento parecido al
aplicado para resolver la ecuación de tercer
grado.

En notación moderna, la solución de
Ferrari de la ecuación:

Si en la ecuación cuártica general (previa
división por el primer coeficiente):

Ahora solo queda estudiar ecuaciones de este
tipo

Ahora bien Primero se completa el cuadrado para
obtener

Ahora el miembro de la derecha es cuadrático en
x, pudiendo elegir y tal que sea un cuadrado perfecto. Esto se
hace igualando el discriminante a cero, en este caso

Sabemos como resolver cúbicas, y podemos hallar
los tres valores de y. Con estos valores de y, el miembro de la
derecha de (1) es un cuadrado perfecto. Extrayendo los
raíces cuadradas en ambos miembros, obtenemos una
ecuación cuadrática en z.

.

Conclusiones

La contribución de Francisco Vieta al desarrollo
del álgebra fue muy importante, no sólo por haber
sido el primero en introducir una notación mucho
más adecuada para el análisis algebraico que la de
sus predecesores, sino que proveyó al álgebra de un
nuevo enfoque: en su trabajo encontramos un nuevo simbolismo para
denotar entidades algebraicas, una clara inclinación hacia
el análisis como el método del álgebra y una
negación de la geometría como su
fundamento.

También es preciso señalar que el
simbolismo introducido por Vieta no estaba completamente
desarrollado pues era una mezcla de álgebra abreviada con
un estilo simbólico; no obstante, fue lo suficientemente
flexible como para sentar las bases de la teoría moderna
de ecuaciones.

Así, en el esquema de Vieta, un analista
(algebrista), armado con este simbolismo, podría encontrar
resultados para ecuaciones algebraicas generales y luego
aplicarlos a casos particulares.

Después de que Tartaglia enseñara a
Cardano a resolver cúbicas, Cardano animó a su
alumno, Lodovico Ferrari, para que estudiara las ecuaciones
cuárticas. Ferrari resolvió la cuárticas con
quizás el más elegante de todos los métodos
para resolver este tipo de problemas. Cardano de nuevo se
apropió de este resultado y publicó 20 casos de
ecuaciones cuárticas en su Ars Magna.

Autor:

García,
Ángel

PROFESORA: OLGA RIOS

CENTRO REGIONAL UNIVERITARIO DE
VERAGUAS

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y
TECNICAS

ESCUELA DE MATEMÁTICA

TRABAJO DE:

HISTORIA DE LA MATEMATICA

MAT 423

II SEMESTRE

2011