Dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios
Introducción
La investigación científica es un proceso
libre y creativo. Sin embargo, esto no significa que carezca de
sistematicidad y organización. Mucho menos si se trata de
la etapa de planificación, la cual se concreta en el
proyecto de investigación.
El trabajo de investigación se denomina
Dificultades que presentan los estudiantes del nivel de 8º
grado en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y
polinomios el cual tiene como propósito
identificar.
1.1 Tema de
investigación.
"Dificultades que presentan los estudiantes del nivel
de 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de
monomios y polinomios".
1.2 Definición del proyecto.
El proyecto tiene como objeto de investigación
Las Dificultades que presentan los estudiantes del nivel de
octavo grado en el desarrollo de operaciones fundamentales de
monomios y polinomios, razón por la cual es de gran
interés investigar dichas dificultades, puesto que es una
problemática que se presenta en casi todos centros
educativos de promedia de nuestro país, viéndose
afectados en niveles de enseñanza superiores.
1.3 Justificación e
importancia.
El tema "Dificultades que presentan los estudiantes
del nivel 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales
de monomios y polinomios", es un tema importante, ya que a
través de dicha investigación se puede detectar las
diferentes dificultades que presentan los estudiantes del nivel
8º, en el desarrollo de operaciones fundamentales de
monomios y polinomios, puesto que se ha observado que son muchos
los estudiantes que presentan dificultades en el desarrollo de
este tipo de operaciones; razón por la cual es interesante
conocer las causas por las cuales el estudiante presenta dichas
dificultades al resolver de forma procedimental y efectiva un
determinado ejercicio de este tipo y de esta manera crear planes
o estrategias adecuadas que permitan llevar a cabo un proceso de
enseñanza más efectivo y dinámico en el
desarrollo de estos temas y de esta forma contribuir a disminuir
estas dificultades en las futuras generaciones.
Esta investigación a realizar sobre las
Dificultades que presentan los estudiantes del nivel 8º
en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y
polinomios abarcará específicamente en un
C.E.B.G. de la provincia de Veraguas, Distrito de
Santiago.
Para los efectos de la investigación se cuenta
con el recurso financiero, humano y material, así como
acceso a los lugares donde se investigará; por lo tanto
existe la posibilidad de llevar a cabo esta investigación
que tomará un tiempo de 4 a 6 meses
aproximadamente.
1.4 Objetivos.
1.4.1 Objetivo General.
Investigar cuáles son las diferentes dificultades
que presentan los estudiantes, del nivel de 8º grado, en el
desarrollo de operaciones básicas de monomio y
polinomios.
1.4.2 Objetivos específicos.
Diagnosticar mediante pruebas las diferentes causas
y dificultades más frecuentes que presentan los
estudiantes del nivel de 8º, en el desarrollo de
operaciones fundamentales de monomios y
polinomios.Identificar en que tipos de operaciones
fundamentales (suma, resta, multiplicación) de
monomios y polinomios presentan mayor dificultad los
estudiantes del nivel de 8º?Describir las causas y dificultades que presentan
los estudiantes, del nivel de 8º, en el desarrollo de
operaciones fundamentales de monomio y polinomios.Sugerir posibles métodos de enseñanza
para disminuir las dificultades que presentan los estudiantes
del nivel de 8º, en el desarrollo de de operaciones
fundamentales de monomio y polinomios.
1.5 Preguntas de investigación.
¿Cuáles son las dificultades
más frecuentes que presentan los estudiantes del nivel
de 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de
monomios y polinomios?¿En qué tipo de operaciones
fundamentales (suma, resta, multiplicación) de
monomios y polinomios presentan mayor dificultad los
estudiantes del nivel de 8º?¿Cuáles son las causas que llevan a
que los estudiantes, del nivel de 8º grado, presenten
dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de
monomio y polinomios?¿Cuáles son posibles soluciones para
disminuir las dificultades que presentan los estudiantes del
nivel de 8º grado, en el desarrollo de de operaciones
fundamentales de monomio y polinomios
1.6 Hipótesis
Hipótesis Nula.
Los estudiantes del nivel de 8o grado no presenta
dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de
monomios y polinomios.
Hipótesis alterna.
Los estudiantes del nivel de 8o grado presenta
dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de
monomios y polinomios.
1.7 Muestra.
Para llevar a cabo esta investigación se
elegirá una muestra con un número menor a treinta
estudiantes escogidos al azar, en dos a tres C.E.B.G. de la
provincia de Veraguas.
1.8 Fuentes y Metodología.
Para llevar a cabo la investigación de
éste proyecto investigativo se realizará una
minuciosa revisión de documentos sobre las Dificultades
que presentan los estudiantes del nivel 8º en el desarrollo
de operaciones fundamentales de monomios y polinomios, a
través de libros, tesis, Revistas, periódicos, y
artículos publicados en Internet o encuestas – pruebas que
contengan información accesible y concreta para el
desarrollo efectivo de este trabajo de
investigación.
Se elegirán grupos de estudiantes al azar, para
que el resultado de la investigación no sea objeto de
sesgo.
Para el análisis de los datos se utilizara el
estadígrafo t studen, ya que la muestra que se
tomará es de un numero menor a treinta
estudiantes.
1.9 Cobertura.
Esta investigación a realizar sobre las
Dificultades que presentan los estudiantes del nivel 8º
en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y
polinomios abarcará específicamente dos a tres
C.E.B.G. de la provincia de Veraguas, Distrito de Santiago, donde
se persigue conocer las principales causas y dificultades que
presentan los estudiantes del nivel de 8º y así crear
planes o estrategias adecuadas que permitan llevar a cabo un
proceso de enseñanza más práctico y
dinámico en el desarrollo de estos temas y de esta forma
contribuir en la disminución de estas dificultades en las
futuras generaciones.
1.10 Alcances y limitaciones.
1.10.1 Alcance.
Proporcionar información valiosa sobre el
tema, a interesados en realizar estudios posteriores de tal
forma puedan coadyuvar en el desarrollo eficaz de este tipo
de dificultades.Contribuir con información
bibliográfica en la Hemeroteca para futuras
generaciones que deseen profundizar más en este tipo
de investigación de la especialidad.
1.10.2 Limitaciones.
La falta de experiencia en el desarrollo de este
tipo de proyectos de investigación, sobre todo en la
redacción y concordancia de las ideas claves en la
trascripción de lo que se piensa y se escribe.
Marco
teórico
2.1 Antecedentes
Son muy pocos los trabajos que hablan de este tema
debido que es un problemas poco estudiado , pero al hacer un
revisión minuciosa se pudo encontrar un trabajo que habla
sobre este tema el cual es "Dificultades, Obstáculos y
Errores en el Aprendizaje de la Matemática en la
Educación Secundaria, Resolución de problemas
algebraicos" por arroyo Pedro M.
2.2 Origen del algebra.
La palabra Árabe al – jebr se convirtió en
"álgebra" al transcribirla al latín, mientras que
al – mugabala fue desechada, lo cual explica el termino moderno
"álgebra" para esta disciplina.
El origen de este término responde muy bien al
contenido real de la ciencia misma. El álgebra es en
ciencia, la doctrina de las operaciones matemáticas
consideradas formalmente desde un punto de vista general, con
abstracción de los números concretos. Sus problemas
están relacionados fundamentalmente con las reglas
formales para la transformación de expresiones y la
solución de ecuaciones.
2.3 Etapas del algebra.
El desarrollo del Algebra pasó por tres etapas:
La Retórica, La Sincopada y La
Simbólica.
Alegra Retórica.
Se caracterizaba por la ausencia total de cualquier
signo, aunque naturalmente, la excepción del hecho que las
palabras mismas estuviesen utilizadas en sentido
simbólico.
El álgebra Babilónica es reconocida como
un álgebra retórica, ya que en ella los problemas
algebraicos se enuncian y se solucionan sin utilizar de manera
sistemática notaciones algebraicas o
simbólicas.
El álgebra egipcia, por su similitud con la
Babilónica según lo demuestra el papiro RHIND
también es conocida un álgebra retórica. En
el se encuentran resueltos problemas que se traducen en
ecuaciones. Desde luego, todos los procesos están
expresados en palabras y no hay evidencia de símbolo
alguno.
Algebra Sincopada.
Los griegos herederos de la matemática egipcia
tenían métodos parecidos a los nuestros
cálculos algebraicos elementales; pero sus sistema de
numeración por medio de las letras del alfabeto
Jónico era de una rigidez incompatible con el
calculo.
La primera aparición del simbolismo se debe a dos
grandes sabios griegos: Aristóteles y Euclides quienes por
primera ves usaron, si bien en forma esporádica, ciertas
letras para presentar cantidades. Sin embargo, fue con Diofanto
de Alejandría cuando apareció una obra en la que se
encuentra un gran número de problemas resueltos por medio
de ecuaciones en que la incógnita viene representada
sistemáticamente por la letra S griega. También se
encuentra en esta obra la adición, la sustracción y
la multiplicación de monomios y polinomios (de forma
distinta).
Aquí palabra de uso frecuente sufrían
cambios a medida, que pasaba el tiempo, de nombres a abreviaturas
a así hasta llegar a símbolos. Los números
negativos se interpretan como corrimientos a lo largo de una
recta en la dirección opuesta a los positivos, entre otras
cosas.
La historia de los símbolos + y – puede
servir de ejemplos. En la Europa Meridional, el signo –,
fue durante largo tiempo expresado por la palabra minus, la que
se sustituyó con la letra m con una raya encima () poco
después fue desapareciendo y quedo sólo el signo
-.
ALGEBRA SIMBÓLICA
El traspaso de forma sincopada del algebra a la forma
simbólica (actual) tuvo lugar en los siglos XV. XVI y XVII
de nuestra era.
Grandes progresos en la teoría de las ecuaciones
fueron logrados en los siglos XV y XVI por los famosos
algebristas Italianos Luca Pacioli, Scipione Dal Ferros, Nicolo
Tartaglia, Ludovico Ferrari y Girolamo Carcomo. También
Miguel Stiefel empleó con frecuencia letras para
representar cantidades y números. Sin embrago, el
álgebra, tal como hoy la concebimos, nació de
manera clara y definitivamente con la obra de Francisco Viete
(Francés 1540-1630) en la que empleó
sistemáticamente letras mayúsculas para representar
las cantidades, dando lugar con ello al nacimiento del calculo
literal.
El uso generalizado de los números negativos se
debe a Tomas Harriot (francés 1560-1621). El
francés Renato Descartes da la regla para restar dos
números negativos. El alemán Widman (1480)
introdujo los signos + y – para indicar suma y resta. El
inglés Oughtred (1575) utiliza el signo x para indicar
multiplicación. El matemático alemán
Guillermo Leibniz (1646-1716) utilizo por primera vez el signo
÷ para indicar la división y el inglés
Reanato Recorde (1510-1558) utilizo por primera vez el signo =
para indicar la igualad.
2.2 CONCEPTOS
BÁSICOS.
2.1 Algebra
Es la rama de la matemática que generaliza la
aritmética. Unos de sus conceptos fundamentales, es la
idea de un "número general"; es decir que los
números serán representados por letras; indicando
estas letras cualquier posible valor.
Se ha dicho que el algebra se preocupa de las
expresiones que de manera general nos dan la información
sobre algún hecho. Por esto se puede pasar a definir lo
que es una expresión algebraica.
2.1.1 Expresión algebraica.
Una expresión algebraica, es toda
combinación de números o letras ligadas entre
sí por cuatro operaciones fundamentales (adición,
sustracción multiplicación
división).
En una expresión algebraica a las letras se les
denomina variables, puesto que estas pueden tomar cualquier
valor, mientras que a los números se les utiliza para
representar cantidades conocidas o determinadas.
2.1.1.1 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se clasifican en los
siguientes grupos.
Monomio: un monomio, es toda expresión
algebraica que consta de un solo término que se liga a las
letras o variables solamente con la operación de
multiplicación.
Polinomio: un polinomio es toda expresión
algebraica que consta de dos o más monomios. A los
polinomios de dos términos se denomina binomios y a los
polinomios de tres términos se les denomina
trinomios.
Grado absoluto de un monomio: se le llama grado
absoluto de un monomio a la suma de los exponentes de las
variables presentes en él.
Grado relativo de un monomio: se llama grado
relativo de un monomio, respecto a una variable, al exponente de
la variable en el monomio.
Grado absoluto de un polinomio: se llama grado
absoluto de un polinomio al mayor grado absoluto de sus
monomios.
Grado relativo de un polinomio: se llama grado
relativo de un polinomio respecto a una variable, al mayor
exponente de la variable en el polinomio. Así el
polinomio
2.1.1.2 ORDEN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Resulta muy útil y practico al efectuar
cálculos en donde intervienen expresiones algebraicas, que
estén ordenadas, de acuerdo a un criterio ó de una
misma manera.
En general los términos de una expresión
algebraica pueden ser ordenados de acuerdo a diversos
criterios.
Los más utilizados, y que simplifican ó
hacen más fácil los cálculos con expresiones
algebraicas son:
a) Ordenar en orden creciente o ascendente una
expresión algebraica.
Para ordenar una expresión algebraica en forma
creciente o ascendente, se siguen los siguientes
pasos:
1) Se escoge una de las variables que aparecen
en la expresión algebraica.2) Se ordenarán los términos de
la expresión algebraica, comenzando con el
término en donde la variable escogida tenga el menor
exponente, siguiendo con el término en donde el
exponente de la variable escogida aumente en una unidad y
así sucesivamente.
b) Ordenar decreciente o descendente, una
expresión algebraica.
Para ordenar una expresión algebraica en forma
decreciente o ascendente, se seguirán los siguientes
pasos:
1) se escoge una de variables que aparecen en
la expresión algebraica.2) Se ordenan los términos de la
expresión algebraica, comenzando con el término
en donde la variable escogida tenga mayor exponente,
siguiendo con el término en donde el exponente de la
variable escogida disminuya en una unidad y así
sucesivamente.
2.1.1.3 VALORIZACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS.
Valorizar una expresión algebraica no es
más que sustituir las variables de expresión, por
los valores específicos ó dados, y efectuar las
operaciones indicadas:
2.1.1.4 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS.
Al igual que en los conjuntos numéricos, en el
conjunto de las expresiones algebraicas, podemos definir las
cuatro operaciones fundamentales; esto es: adición,
sustracción, multiplicación y división de
expresiones algébricas.
Se iniciara el desarrollo de la adición de
expresiones algebraica.
ADICIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Al sumar expresiones algebraicas cualquiera, es
importante no violar la regla que dice:
"en una suma de expresiones algebraicas, solamente se
podrán sumar, los términos semejantes".
Como cada término de una expresión
algebraica es en realidad un monomio, se vera la adición
de monomios semejantes.
A) ADICIÓN DE MONOMIOS
SEMEJANTES.
Para sumar monomios semejantes se suman sus
coeficientes, observando las reglas para la adición
escritas anteriormente, manteniendo la parte literal
común.
B ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar dos o más polinomios una manera que
resulta más fácil es colocándolos uno debajo
del otro, de manera que los términos semejantes queden en
una misma columna, luego se suman los términos de cada
columna, para obtener los términos del polinomio
suma.
SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES
ALGÉBRICAS.
Al igual que en la adición de expresiones
algebraicas, en la sustracción subsiste la regla que dice:
"en una diferencia de expresiones algebraicas, solamente se
podrán restar, los términos semejantes".
Por ello se pasa a estudiar la regla para la
sustracción de monomios.
a) SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS
SEMEJANTES.
Para restar dos monomios cualesquiera, se le cambia al
signo al monomio sustraendo teniendo en cuenta la ley de los
signos para la multiplicación y luego lo sumaremos
atendiendo a la regla de la adición de monomios
semejantes.
B) SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS
SEMEJANTES
Para restar dos polinomios, se escribe el polinomio
sustraendo debajo del polinomio minuendo, de manera tal que los
términos semejantes queden en una misma columna, luego, se
le cambia el signo a todos los términos del polinomio
sustraendo atendiendo a la ley de los signos mencionada
anteriormente, para finalmente sumarlos atendiendo a la regla de
la adición de polinomios.
OPERACIONES COMBINADAS CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
En variadas ocasiones se presentan, algunos problemas
con expresiones algebraicas, en donde intervienen dos ó
más operaciones.
SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN.
Cuando una expresión se va a considerar como un
solo número, se encierra en los llamados símbolos
de agrupación. (Paréntesis ( ), corchetes [ ] y
llaves { })
También se recuerda, que al resolver este tipo de
problemas, se elimina los símbolos de agrupación
interiores para luego pasar a eliminar los exteriores.
Ahora bien, esta regla se aplica en el caso de
operaciones combinadas con expresiones algebraicas.
Solo se debe recordar que al eliminar un signo de
agrupación precedido del signo positivo (+), la
expresión en el interior permanece exactamente igual, mas,
cuando el símbolo está precedido por el
símbolo negativo (-), al eliminar el signo de
agrupación, todos los términos de la
expresión encerrada en él, cambiaran de
signo.
MULTIPLICACIONES DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Antes de iniciar el estudio de las "reglas" que rigen la
multiplicación de expresiones algebraicas, se hace
imprescindible el estudio de las "leyes de los exponentes" para
la multiplicación.
Por ello, se inicio con dicho estudio.
LEYES DE LOS EXPONENTES:
PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL
BASE.
Del ejemplo anterior se deriva que "El producto de
potencias de igual base, es una potencia de la base común,
con un exponente igual a la suma de los exponentes de los
factores".
Luego de manera general el producto de potencias de
igual base lo podemos expresar de la siguiente manera:
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIA DE UN PRODUCTO
Del ejemplo anterior se deriva que "La potencia de un
producto es igual al producto de las potencias de los
factores.
Luego de manera general, la potencia de un producto es
igual al producto de las potencias así:
Una vez finalizado el estudio de las "leyes de los
exponentes", para la multiplicación, se inicia el estudio
del producto de expresiones algebraicas que se dividen en los
siguientes casos:
a) Multiplicación de dos
monomios.b) Multiplicación de un monomio por un
polinomio.c) Multiplicación de dos
polinomios.
A) MULTIPLICACIÓN ES DOS
MONOMIOS:
Para multiplicar dos ó mas monomios, se
multiplica primero sus coeficientes, y luego sus partes
literales.
B) MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN
POLINOMIO.
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se
multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio.
C) MULTIPLICACIÓN DE DOS
POLINOMIOS
Para multiplicar dos polinomios se seguirán los
siguientes pasos:
a) Ambos (multiplicando y multiplicador) se
ordenarán en la misma forma (ascendente o descendente)
y respecto a la misma variable.b) Se multiplica cada término del
polinomio multiplicador por el polinomio
multiplicando.c) Se colocaran los "productos parciales" uno
debajo del otro de manera que los términos semejantes
queden bajo una misma columna.d) Se suman los "productos parciales", sumando
los columnas con términos semejantes.
DIVISIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Al igual que en la multiplicación, para el
estudio de la división de expresiones algebraicas se hace
imprescindible revisar las "leyes de los exponentes", para la
división.
LEYES DE LOS EXPONENTES: (para la
división)
Al estudiar la división de potencias de igual
base se debe estudiar los posibles casos a
presentarse:
a) El exponente de la potencia en el numerador
(dividendo) es mayor que el exponente de la potencia en el
denominador (divisor).b) El exponente de la potencia en el
denominador (divisor) es mayor que el exponente de la
potencia en el numerador (dividendo).
a) El exponente de la potencia en el numerador
(dividendo) es mayor que el exponente de la potencia en el
denominador (divisor).
Del ejemplo anterior se deriva que (en este caso) "El
cocientes de dos potencias de igual base, es igual a una potencia
de la base común con un exponente igual a, a la diferencia
del exponente de la potencia en el numerador, menos exponente de
la potencia en el denominador.
Luego de manera general, el cociente de potencias igual
base (en este caso) se puede expresar de la siguiente
manera:
b) El exponente de la potencia en el
denominador (divisor) es mayor que el exponente de la
potencia en el numerador (dividendo).
Del ejemplo anterior se deriva que (en este caso): "El
cociente de potencias de igual base, es igual a una
fracción cuyo numerador es uno (1) y cuyo denominador es
una potencia de la base común, con un exponente igual a la
diferencia del exponente de la potencia en el denominador, menos
el exponente de la potencia en el numerador.
Luego de manera general, el cociente de potencias de
igual base en (este caso) podemos expresarla de la siguiente
manera:
POTENCIA DE UN COCIENTE
Del ejemplo anterior se deriva que:
"La potencia de un cocientes de dos números, es
igual al cocientes de las potencias de dichos
números"
Revisadas ya las "Leyes de los exponentes"
dividirá el estudio de la división de las
expresiones algebraicas en los siguientes casos:
a) División de dos
momios.b) División de un polinomio
entre un monomio.c) División de dos
polinomios.
Para dividir dos monomios, dividiremos
primeros sus coeficientes y después sus partes
literales.
B) DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR
UN MONOMIO
Para dividir un polinomio por un monomio,
se divide cada uno de los términos del polinomio por el
monomio.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios, se siguen los siguientes
pasos:
a) Ordenar tanto dividendo como divisor, en
orden creciente ó decreciente de las potencias de una
misma variable.b) Para obtener el primer término del
cociente divídase el primer término del
polinomio dividendo por el primer término del
polinomio divisor.c) Multiplíquese el divisor por el
primer término del cociente y réstese el
producto del dividendo.d) Si hubiere residuo, considerase como nuevo
dividendo, y repítase el procedimiento
anterior.e) La división terminara cuando el
residuo sea cero (0), ó cuando el residuo tenga grado
menor, que el polinomio divisor.f) En caso que el residuo de la división
se diferente de cero, el resultado final será igual;
al cociente encontrado al efectuar la división,
más un fracción cuyo numerador es el residuo, y
cuyo denominador es el polinomio divisor.
Bibliografía
Elaboración de los proyectos de
investigación – Monografias_com.mhtAlgebra General universidad de
Panamá.Dificultades, obstáculos y errores en el
aprendizaje de a matemática en la educación
secundaria Arroyo Pedro M.Dificultad que confrontan los estudiantes de segundo
año de enseñanza media al iniciase al
aprendizaje de algebra. Gonzales T. Dalvis Gonzales T.
Doraneet.
Autor:
Ángel García
Sanjur
PROFESORA:
EDILMA MENDIETA
AÑO III
II SEMESTRE 2010.
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE
VERAGUAS
FACULTAD DE LAS CIENCIAS NATURALES Y
EXACTASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ASIGNATURA:
METODOLOGÍA DE LA
INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN