Aplicación de las teorías de aproximación para el cálculo de elementos finitos

PROBLEMA
MÉTODO APROXIMADO (RITZ – ERROR
CUADRÁTICO)

Para la viga doblemente apoyada, sometida a la
acción de una fuerza distribuida constante de intensidad
q0, como se muestra en la figura adjunta, determine en forma
analítica:

a Distribución
del momento flector M(x)

b La ecuación de
la flecha w(x) del eje neutro w(x)

c La energía
Acumulada en la viga en función de la rigidez a la
flexión EI, la longitud L y la carga q0.

d Utilizando el
método de los residuos ponderado (error
cuadrático), se pide determinar la deflexión w(x),
para la flecha utilice la siguiente
aproximación.

Tome solo los tres primeros
términos del polinomio de
aproximación.

Compare los resultados obtenidos
mediante el método de residuos ponderados y los resultados
analíticos en especial los momentos flectores, deflexiones
y la energía interna acumulada, comente los
resultados.

DESARROLLO

Aplicando las condiciones de borde
tenemos lo siguiente: Para:

X=0 se tiene w(x)=0 …….
(2)

X=L se tiene w(x)=0 ……..
(3)

Remplazamos 2 y 3 en 1 y tenemos que:
C2=0

C1=-q0L3/24

De donde la ecuación de la
deflexión será:

d.-

A.-MÉTODO
DE RITZ

Los pasos 1 y 2 ya están
realizadas puesto que el potencial elástico y la elección de las
funciones de base son conocidos por el enunciado del
problema.

Paso 03:

La matriz de rigidez K y el vector de
carga f pueden ser calculados en forma muy
sencilla

Para el elemento Kij de la matriz de
rigidez se tiene:

Son todos los Kij=0 para y K se convierte en una
matriz diagonal, el problema nos pide que aproximemos los tres
primeros términos del polinomio.

El vector de cargas F se
obtiene:

Paso 04:

Determinaremos los coeficientes
desconocidos ai

Paso 05:

Con los valores calculados hallamos la
distribución de la flecha w(x)

B.-MÉTODO
DE RESIDUOS PONDERADOS ERROR CUADRÁTICO

Introduciendo la función de
base seleccionada en la ecuación diferencial encontramos
la función de error
E(x)

El método del error
cuadrático nos lleva a las siguientes ecuaciones de
solución para los parámetros desconocidos ai de la
solución aproximada

Las funciones de ponderación
resultan de:

En el ejemplo tratado
tenemos:

Para el elemento Kij de la matriz de
rigidez se tiene:

Por

Son todos los Kij=0 para y K se convierte en una
matriz diagonal, el problema nos pide que aproximemos los tres
primeros términos del polinomio.

Desarrollo de f:

Determinaremos los coeficientes
desconocidos ai

Con los valores calculados hallamos la
distribución de la flecha w(x)

e.- Comparación de
resultados.

Tabla 01 – Cuadro de
Comparaciones

CONCLUSIONES:

Al hacer las primeras comparaciones entre los
métodos aproximados de Ritz y residuos ponderados pues
demostramos que vienen a ser los mismos resultados a pesar de que
Ritz trabajo con la segunda derivada y el residuo con la cuarta
derivada de la función de base, esto se confirma con la
igualdad de las constantes a, que son iguales por los dos
métodos:

Sobre la comparación con los resultados
analíticos pues también podemos demostrar que hay
una similitud de valores como se puede ver en el tabla 1 con
errores que no superan el 1.7%, lo cual se confirma lo dicho con
los métodos de aproximación.

Autor:

Ing. Fredy Alan Ccarita
Cruz

Maestría en Ingeniería
Mecánica

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL
PERU Lima, Octubre del 2011