Ejercicios sobre transformación de coordenadas

Ejercicios sobre transformación
de coordenadas

Dado el siguiente campo eléctrico realice la
transformación al sistema de coordenadas
cilíndricas.

Lo primero que debemos realizar es colocar todas las
variables y vectores unitarios en función del sistema de
coordenadas hacia el cual se quiere realizar la
transformación.

Multiplicando término a término

Ahora, solo queda agrupar los términos en
función de los vectores unitarios: en nos va quedando r como
factor común de (cos2+ sen2=1), los términos en se eliminan al ser iguales y
de signo contrario, el término en no varía, quedando:

• 1. Dado el vector de inducción
  magnética realice la transformación al sistema
  de coordenadas cartesianas

Lo primero que debemos realizar es colocar todas las
variables y vectores unitarios en función del sistema de
coordenadas hacia el cual se quiere realizar la
transformación.

Al multiplicar término a término, en el
denominador nos queda la raíz cuadrada elevada el
cuadrado, lo que hace que se simplifique la raíz quedando

• 2. Dado el siguiente campo vectorial

• a. ¿Cuál es el campo en el punto
  P (4;60°;5)?

Esta parte se realiza, simplemente evaluando el campo en
el punto dado:

• b. Exprese el campo en el punto P en coordenadas
  cartesianas.

Se multiplica término a
término,

Agrupando términos en función de los
vectores unitarios:

Por otro lado, para poder evaluar el campo hace falta
transformar el punto P de coordenadas cilíndricas a
coordenadas cartesianas.

2

Quedando P (2; ;5), evaluando:

Otra forma para resolver es tomar el campo evaluado en P (4;60°;5)
y aplicar la transformación a los vectores
unitarios:

Multiplicando término a
término:

• 3. Representar en coordenadas
  cilíndricas.

Multiplicando término a término

Ahora, solo queda agrupar los términos en
función de los vectores unitarios quedando:

• 4. Hallar , para un volumen representado por una
  esfera con centro en el origen y radio a.

Se pudiera resolver directamente por coordenadas
cartesianas, pero se puede observar que el volumen de
integración es una esfera por lo que pudiéramos
intentar resolver por coordenadas esféricas.

La ecuación general de una esfera con centro en
el origen y radio r es:

El diferencial de volumen en coordenadas
esféricas es:

Por lo que la integral queda de la siguiente
forma:

donde:

• 5. Dado el siguiente campo vectorial realice la
  transformación al sistema de coordenadas
  esféricas.

Lo primero que debemos realizar es colocar todas las
variables y vectores unitarios en función del sistema de
coordenadas hacia el cual se quiere realizar la
transformación.

Multiplicando término a término

Agrupando términos en función de los
vectores unitarios:

Los términos que multiplican a los vectores
unitarios en dirección de y se anulan y los términos dentro de la
llave para la dirección se hacen igual a 1 por identidades
trigonométricas, quedando finalmente:

• 6. Dado el siguiente campo vectorial realice la
  transformación al sistema de coordenadas
  cartesianas.

Lo primero que debemos realizar es colocar todas las
variables y vectores unitarios en función del sistema de
coordenadas hacia el cual se quiere realizar la
transformación.

Multiplicando término a
término:

Por otro lado:

Sustituyendo nos queda el campo de la siguiente
manera:

Autor:

Raúl Peraza