Introducción al álgebra

1) RESEÑA
HISTÓRICA DEL ÁLGEBRA

La historia del álgebra
comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron
capaces de resolver ecuaciones lineales y cuadráticas,
así como ecuaciones indeterminadas como con varias
incógnitas. Esta antigua sabiduría sobre
resolución de ecuaciones encontró, a su vez,
acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó
"ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra
árabe al-yabr que significa "reducción",
es el origen de la palabra álgebra). A los
árabes se debe el desarrollo del Álgebra (siglo
IX). Al-Juarismi, el más grande matemático
musulmán, escribió uno de los primeros libros
árabes de álgebra "Kitab al-muhtasar fi hisad
al-gabr wa-al-muqabala", de donde deriva el nombre de esta
ciencia. Al-gabr significa ecuación o restauración;
al-muqabala son los términos que hay que agregar o quitar
para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el
Álgebra no es más que una teoría de las
ecuaciones.(Baldor A., 1992).

En las civilizaciones antiguas se
escribían las expresiones algebraicas utilizando
abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad
media, los matemáticos árabes fueron capaces de
describir cualquier potencia de la incógnita x, y
desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios,
aunque sin usar los símbolos modernos. La
traducción al latín del Álgebra de
Al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII.

Un avance importante en el Álgebra
fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos
para las incógnitas y para las operaciones y potencias
algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la
Geometría (1637), escrito por el
matemático y filósofo francés René
Descartes se parece bastante a un texto moderno de
Álgebra. Sin embargo, la contribución más
importante de Descartes a la Matemática fue el
descubrimiento de la Geometría Analítica, que
reduce la resolución de problemas geométricos a la
resolución de problemas algebraicos. Su libro de
Geometría contiene también los fundamentos de un
curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio
Descartes llamó la regla de los signos para
contar el número de raíces verdaderas (positivas) y
falsas (negativas) de una ecuación. (Biblioteca de
Consulta Microsoft Encarta 2004)

En la actualidad los conocimientos del Álgebra
han encontrado aplicaciones en todas las ramas de la
Matemática y en muchas otras ciencias llegando a ser
empleados hasta para investigaciones sobre las leyes del
pensamiento

2) NOMENCLATURA
ALGEBRAICA

Expresión Algebraica.- Es la
representación de un símbolo algebraico o de una o
más operaciones algebraicas, así por ejemplo: a,
2x, a(b+c), 2x+y, x2-5x

Término.- Es una expresión
algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el sigigno + o
-, así por ejemplo:3a2, xy, -2abc2, -xyz

Elementos de un término.-Son cuatro: el
signo, el coeficiente, la parte literal y el grado, así
por ejemplo:

En el caso de 3a2 el signo es positivo
(cuando un término no va precedido de ningún signo
es positivo), el coeficiente es 3, la parte literal es
a2 y el grado es 2 (segundo grado).

En el caso de -ab2c3 el signo es negativo,
el coeficiente es 1 (cuando un término no va
precedido de ningún coeficiente, el coeficiente es la
unidad), la parte literal es ab2c3 y el grado de primer
grado con relación a la letra a porque el
exponente de este factor es l, de segundo grado con
relación a la letra b, y de tercer grado con
relación a la letra c.

Nota: Para obtener el grado absoluto de un
término se suma los exponentes de sus factores literales.
En el caso de -2xy2z3 el grado absoluto de sexto
grado porque la suma de los exponentes de sus factores es
1+2+3=6

Clases de términos

– Término entero.- El que no tiene
denominador literal, así por ejemplo 7xy2z3.

– Término fraccionario.- El que tiene
denominador literal, así por ejemplo

– Término racional.- El que no tiene
radical, como los ejemplos anteriores

– Término irracional.- El que tiene
radical. Ejemplo

– Términos homogéneos.- Los que
tienen el mismo grado absoluto, así por ejemplo 2ab2c4 y
5x2y2z3 son homogéneos porque ambos son de séptimo
grado absoluto

– Términos heterogéneos.- Los que
no tienen el mismo grado absoluto

3)
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio.- Es una expresión algebraica que
consta de un solo término, así por ejemplo:
7a

Binomio.- Es una expresión
algebraica que consta de dos términos, así por
ejemplo: 3a2 – 2a

Trinomio.- Es una expresión
algebraica que consta de tres términos, así por
ejemplo: a 3 + b – c2

Cuatrinomio.- Es una
expresión algebraica que consta de cuatro términos,
así por ejemplo: x 3 + 4×2 + 2x +1

Nota: En general la expresión algebraica
que consta de más de un término (binomio, trinomio,
cuatrinomio,…) se llama Polinomio

El grado de un polinomio puede ser absoluto y
con relación a una letra

El grado absoluto de un polinomio es el grado de
su término de mayor grado. Ejemplo: El polinomio a5 -2a4 +
a3 – 3a2 +a es de quinto grado.

El grado con relación a una letra de un
polinomio es el mayor exponente de dicha letra. Ejemplo: El
polinomio a5 + a 2b3 – a 6b2 es de sexto grado con
relación a la letra a y de tercer grado con
relación a la letra b.

Un polinomio puede estar ordenado con
relación a una letra, llamada letra ordenatriz, en
orden descendente o en orden ascendente. Así
por ejemplo: El polinomio x5 + 5x4y – 2x3y2 + 4x4y3 + x5y4-
y5 + 3 está ordenado en forma descendente respecto
a la letra ordenatriz x y en orden ascendente
respecto de la letra ordenatriz y. El término de un
polinomio que no tiene parte literal se llama término
independiente (el número 3 del ejemplo) y al ordenar
un polinomio se lo ubica siempre al final.

4)
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes cuando
tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen letras
iguales con exponentes iguales. Así por
ejemplo:

3a con a ; 8b con 7b; 3a2b3 con 2 a2b3;
an+m con 3an+m

La reducción de términos semejantes es una
operación a través de la cual se convierte en la
menor cantidad de términos dos o más
términos semejantes. Para la que se sigue los
pasos:

–Se realiza todas las operaciones previas en el
caso de existir (eliminación de signos de
agrupación, aplicación de las diferentes
propiedades de los números,..)

–Se suman todos los coeficientes positivos y
todos los coeficientes negativos conservando el signo y la parte
literal correspondiente.

–A los dos resultados obtenidos anteriormente se
aplica las leyes de la suma y resta (signos iguales se suma y se
conserva el signo de los sumandos, y signos diferentes se resta y
se conserva el signo del número de mayor valor
absoluto).

Ejemplos Ilustrativos

Reducir los siguientes polinomios:

1) 7a- 3a + 4a

Solución:

2) 7am – 3am + 4am – 2am

Solución:

3)

Solución:

4)

Solución:

5)

Solución:

5) SUMA Y RESTA
DE POLINOMIOS

La suma y resta de polinomios no es otra cosa que la
reducción de términos semejantes, para lo
cual se sigue los siguientes pasos:

– Se ordena los polinomios en forma descendente o
decreciente.

– Se cambia el signo en los términos del
polinomio que se va a restar.

– Se escribe los monomios semejantes, uno debajo de
otro.

– Si falta algún monomio en una de las columnas,
se coloca un monomio semejante con coeficiente cero o se deja el
espacio libre.

– Se suma algebraicamente los polinomios.

Ejemplos Ilustrativos

1) De la suma de x3-x2-x-4 con 7×2+8×3-x+5 restar
6x-2×3+x2-1

Solución:

a) Ordenando los polinomios, escribiendo los
monomios semejantes uno debajo del otro y cambiando los signos en
el tercer polinomio se obtiene:

b) Finalmente sumando algebraicamente los
polinomios:

2) Restar 7+2a4 de la suma de 3-4a4+2a2-3a3 con
4a2-7a-3a4-5a3

Solución:

a) Ordenando los polinomios, escribiendo los
monomios semejantes uno debajo del otro, cambiando los signos en
el primer polinomio y dejando los espacios en los monomios
faltantes se obtiene:

b) Finalmente sumando algebraicamente los
polinomios:

3) De la suma de con restar

Solución:

a) Realizando los pasos de los ejemplos
anteriores se obtiene:

b) Cálculo del monomio resultante en la
primera columna:

c) Cálculo del monomio resultante en la
segunda columna:

d) Cálculo del monomio resultante en la
tercera columna:

e) Cálculo del monomio resultante en la
cuarta columna:

f) Solución final:

4) Calcular los monomios que faltan para obtener
la respuesta indicada

Solución:

a) Cálculo del monomio faltante en la
primera columna:

Se obtiene restando los monomios sumandos (5a4 y 3a4) de
la respuesta indicada (10a4), así: 10a4 -3a4- 5a4 =
2a4

b) Cálculo del monomio faltante en la
segunda columna:

Se obtiene realizando el procedimiento
anterior:

-2a3 -2a3- 4a3 = -8a3

c) Cálculo del monomio faltante en la
tercera columna:

2a2 +5a2- 4a2 = 3a2

d) Cálculo del monomio faltante en la
cuarta columna:

-4a -6a + 3a = -7a

e) Cálculo del monomio o término
independiente faltante en la quinta columna:

-9 + 5 -3 = -7

f) Escribiendo los monomios
calculados:

5) Calcular el polinomio que sumado con y da como respuesta

Solución:

Se obtiene restando los polinomios sumandos de la
respuesta indicada

6) Calcular el perímetro de la siguiente
figura en forma algebraica, y en forma numérica para a =

Solución:

a) Forma algebraica: Se obtiene sumando los
polinomios:

b) Forma numérica: Se sustituye a =
en el
perímetro calculado en forma algebraica:

Perímetro = P

P = unidades

6)
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

La multiplicación algebraica es una
operación a través de la cual a partir de dos
cantidades llamadas multiplicando y multiplicador
se halla una tercera cantidad, llamada
producto.

El multiplicando y multiplicador se llaman
factores del producto.

La Multiplicación se fundamenta en la propiedad
distributiva y
propiedades de los exponentes de potencias de igual base

6.1) Multiplicación de un Monomio por un
Polinomio

Se multiplica el monomio por cada uno de los
términos del polinomio

Ejemplos Ilustrativos

Multiplicar:

1)

Solución:

2)

Solución:

3)

Solución:

4)

Solución:

5)

Solución:

6) Calcular el perímetro y el área
del siguiente rectángulo en forma algebraica, y en forma
numérica para x = 2

Solución:

a) Cálculo del perímetro

b) Cálculo del área

6.2) Multiplicación de Polinomios por
Polinomios

Se multiplica cada término del multiplicando por
todos y cada uno de los términos del
multiplicador.

Ejemplos Ilustrativos

Multiplicar:

1) por

Solución: Se escribe los polinomios
ordenados dejando libre el espacio del término que no
existe

Solución:

Solución:

4) Calcular el perímetro y el área
del siguiente rectángulo en forma algebraica, y en forma
numérica para x = 2

Solución:

a) Cálculo del perímetro

b) Cálculo del área

7)
DIVISIÓN ALGEBRAICA

La división algebraica es una operación
inversa a la multiplicación a través de la cual a
partir de dos cantidades llamadas dividendo y
divisor se halla una tercera cantidad, llamada
cociente.

La división se fundamenta en la propiedad
distributiva y
propiedades de los exponentes de potencias de igual base

7.1) División de Polinomios por
Monomios

Se divide cada uno de los términos del polinomio
(dividendo) por el monomio (divisor)

Ejemplos Ilustrativos

Dividir:

1) entre 2xy

Solución: Antes de comenzar a dividir, el
polinomio debe estar ordenado en forma decreciente

2) entre

Solución:

Solución:

7.2) División entre Polinomios

Para dividir un polinomio por otro polinomio, se sugiere
el siguiente procedimiento:

– Ordenar los polinomios en forma
decreciente.

-Cuando el polinomio dividendo no es completo se
reemplazan los correspondientes términos faltantes con
variables que tengan coeficientes cero o se deja los espacios,
tanto en el dividendo como en el divisor.

– Dividir el primer término del dividendo para el
primer término del divisor.

– Cuando los coeficientes del dividendo no son
divisibles por los coeficientes del divisor, los cocientes
respectivos se escriben en forma fraccionaria

– El primer término del cociente se multiplica
por cada uno de los términos del divisor y el producto
(con signos opuestos) se resta de los términos semejantes
del dividendo, obteniendo así el primer resto
parcial.

– El primer término del resto parcial se divide
por el primer término del divisor y se obtiene el segundo
término del cociente.

– El proceso se repite hasta que el residuo sea cero o
de menor grado que el divisor.

Ejemplos Ilustrativos

Dividir:

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

SUÁREZ I., Mario O., (2004), Hacia un
Interaprendizaje Holístico de Álgebra y
Geometría,

Editorial Gráficas Planeta, Ibarra,
Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes