Ortogonalidad y series de Fourier
- Conjunto simple polinomios
- Ortogonalidad de un conjunto simple
- Teoría de las series de Fourier
- Series de Fourier
Sea un conjunto de funciones
Continúas en el intervalo 
Y sea una función de peso 
definida en el mismo intervalo
Se dice que cada una de estas funciones es ortogonal con respecto a la función de peso si se cumple la siguiente condición
La teoría de la ortogonalidad se usa mucho en ciertas áreas de la matemática como por ejemplo la expresión de funciones en series infinitas
Otra versión del teorema de la ortogonalidad se puede enunciar de la siguiente forma
Sean funciones
Que son linealmente independientes y continuas en el
intervalo
Existirán funciones
Que cumplirán con las siguientes propiedades
-
las funciones
son una combinación lineal de
-
existe una función de peso
continua en el intervalo
-
las funciones
son linealmente independientes y continuas
en el intervalo
Conjunto simple polinomios
Un conjunto de polinomios 
con 
se conoce como conjunto simple si cada
polinomio del conjunto es de grado 
teorema
Un teorema importante sobre conjuntos simples se puede enunciar como sigue
Sea un
conjunto simple de polinomios, y sea 
cualquier polinomio de grado 
entonces
puede ser expresada como una combinación lineal
de 
de la siguiente
forma
Demostración
Supongamos que el termino de mayor grado del polinomio
Es así que se puede escribir
Donde podemos aseverar que es un polinomio de grado
De igual manera supongamos que el termino de mayor grado
en 
Es así que se puede escribir
Donde podemos aseverar que es un polinomio de grado m
Dividamos ahora el polinomio a expresar entre el polinomio simple, tendremos
Definamos ahora
Entonces tendremos
Escribimos de la siguiente forma
Como se cancelaron los términos de mayor grado entonces ahora la expresión
Será un polinomio de grado 
Ahora como
Es un polinomio de grado
Podemos escribir
Es decir que ahora el término de mayor grado del
polinomio 
es
Y podemos escribir de acuerdo a
Que
Si hacemos la división correspondiente tendremos que
La que se escribe como
Que se puede escribir gracias a
En la forma
Que se escribe como
Ahora el polinomio formado
Será de grado 
por lo tanto podemos escribir
Y además podemos escribir
Si hacemos la división podemos llegar a
Que se puede escribir en la forma
Que se puede escribir ayudándonos de
En la forma
Se escribe en la siguiente forma para tener
Que será un polinomio de grado
Si repetimos este procedimiento las veces necesaria el
polinomio formado después de las divisiones sucesivas
será de grado 
Por lo tanto
Por lo que
Si dividimos tendremos
La que se puede escribir como
Y ayudándonos de
Se puede escribir
Y finalmente
La que se puede escribir en la siguiente forma
Con lo que hemos demostrado el teorema.
Ortogonalidad de un conjunto simple
Un teorema importante para probar la ortogonalidad de cualquier conjunto simple puede enunciarse como sigue
Teorema
Sea un
conjunto simple y una función de peso continua en el
intervalo , una
condición necesaria y suficiente para que el conjunto
simple sea
ortogonal con respecto a es la siguiente
Donde 
es
un conjunto simple de polinomios
Demostración
Supongamos que se cumple el teorema, por lo que se puede escribir gracias a la propiedad
Que
Si aplicamos aquí la condición de ortogonalidad podremos tener
Si hacemos que 
significa que el máximo valor de
es
Y como hemos dicho que el teorema se verifica entonces
Es decir que a partir de postular que el teorema si se verifica hemos demostrado la ortogonalidad de
que se construyo a partir de del conjunto simple
Ahora postulemos que
Si aplicamos la condición de ortogonalidad tendremos
Si 
significa que el máximo valor que toma
es
Por lo que como hemos dicho que el teorema se cumple, por lo tanto
Es decir que a partir de postular que el teorema se cumple hemos demostrado la ortogonalidad de
que se construyó a partir del conjunto simple
Ahora supongamos que 
entonces 
y la igualdad
Se puede escribir en la forma
Y hemos probado la condición de ortogonalidad
Ahora también podemos hacer
Debido a que se cumple que
Y le podemos aplicar la condición de ortogonalidad, y como hemos supuesto que se cumple el teorema, no deberemos caer en contradicciones, si no caemos en contradicciones habremos demostrado que el teorema es válido, procederemos
De igual forma si hacemos que 
, como hemos supuesto que el teorema es
válido entonces
De donde
Con lo que queda probada la ortogonalidad de
a partir de postular que el teorema es válido, de
igual forma se puede hacer para probar la ortogonalidad de
Lo que queda demostrado el teorema
Teoría de las series de Fourier
Nuestro objetivo es construir un conjunto de funciones
seno y coseno que verifiquen la condición de ortogonalidad
con respecto a la función de peso 
Para eso debemos establecer el conjunto de funciones que deseamos que verifiquen la ortogonalidad
Postulemos que tenemos el conjunto de funciones
Donde 
es
el intervalo de convergencia simetrico respecto al origen
implicito en la construccion de la ortogonalidad de las
funciones
Además postulemos que tenemos otro conjunto de funciones
Construyamos y resolvamos ahora la condición de ortogonalidad de las funciones seno y coseno
En virtud de la condición de ortogonalidad debemos construir la expresión
Esta es la condición de ortogonalidad para un conjunto de funciones
Al calcular esta integral debe darnos
cuando
y diferente de cero cuando , si sucede esto entonces decimo que el
conjunto de funciones
Es ortogonal con respecto a la función de peso
Resolvamos esta integral
Para 
estamos obligados a resolver la integral lo que
se puede hacer en la forma
A partir de las identidades trigonométricas tenemos
De las dos últimas identidades si sumamos tenemos
Haciendo ahora el siguiente cambio de variables tenemos
Resolviendo el sistema tenemos
Por lo que
De esto se deduce que
De modo que la identidad trigonométrica queda en la forma
Otra fórmula puede derivarse si restamos las ecuaciones
En la forma
Del cálculo hecho tenemos
Reemplazando en
Tenemos
Resolviendo para 
y para 
tenemos
Sumando miembro a miembro
La solución para queda en la forma
La solución para se obtiene restando las ecuaciones
Que queda en la forma
Una vez hecho esto reemplazamos en la ecuación para tener
Separamos esta integral para tener
Resolvamos la primera integral para tener
Llegados aquí haremos el cambio de variable
Los nuevos límites de integración se calculan en la forma
Reemplazando los nuevos límites tenemos
Sabemos que la integral se resuelve en la forma
Dado que y
son numeros naturales entonces llegamos
a
Ahora resolveremos la segunda integral en la forma
Haciendo el cambio de variable
Calculando los nuevos limites
La integral queda en la forma
Dado que los números y 
son numeros naturales podemos tener
Reemplazando llegamos a
Pero para 
la condición de ortogonalidad se escribe
en la forma
De donde tenemos
A partir de la identidad trigonométrica
Y De la identidad trigonométrica
Tenemos
Que se escribe en la forma
Por lo tanto se puede escribir
Reemplazando llegamos a
Separando las integrales tenemos
Resolvamos la integral
Acomodemos en la forma
Reemplazando llegamos a
De esa forma llegamos a
Por lo que hemos verificado la ortogonalidad del conjunto
Con respecto a la función de peso que es lo que queriamos
comprobar
Ahora haremos un cálculo que nos verifique si el conjunto de funciones
Es ortogonal con respecto a la función de peso
la condicion de
ortogonalidad para este conjunto se expresa en la
forma
Resolviendo esta integral condición de
ortogonalidad tenemos 
posibilidades
Para debemos resolver la integral para
tener
De las derivaciones
Haciendo ahora el siguiente cambio de variables tenemos
Resolviendo el sistema tenemos
Por lo que
De esto se deduce que
de modo que la identidad trigonométrica queda en la forma
Comparando con la integral que deseamos calcular
Tenemos
Resolviendo para y para tenemos
y la solución para queda en la forma
Reemplazando en la ecuación llegamos a
Separando las integrales llegamos a
Agrupando en forma conveniente llegamos a
Esta integral se resuelve en la forma
Dado que y
son numeros
naturales llegamos al resultado de que
Ahora resolveremos la otra integral
En la forma
Esta expresión se resuelve a la forma
En virtud de que y son numeros naturales podemos llegar
a
Finalmente reemplazamos en la expresión
Para tener
Para la
integral se puede resolver en la forma
De la identidad trigonométrica
Se puede escribir en la forma
Reemplazando llegamos a
Sabemos que
Reemplazando llegamos a
Este es el resultado que esperábamos, esto quiere decir que el conjunto de funciones
Es un conjunto ortogonal con respecto a la
función de peso
Ahora resolveremos una integral que nos será de mucha ayuda cuando desarrollemos la teoría de series de Fourier, calcularemos
Resolveremos para
Escribiremos la integral en forma conveniente
A partir de las identidades trigonométricas
Si sumamos convenientemente llegamos a
Hacemos
Sumando llegamos a
De donde llegamos a
Y la solución para queda en la forma
Reemplazando llegamos a
Comparando con
Podemos validar que
De aquí podemos resolver para y para en la forma
Sumamos miembro a miembro para tener la solución
para
La solución para se obtiene restando las ecuaciones y queda en
la forma
Deacuerdo a estas validaciones podemos tener
Resolveremos a parte cada una de estas integrales, la primera integral se resuelve en la forma
Ahora resolveremos la otra integral en la forma
Que se resuelve en la forma
Dado que y
son numeros
naturales podemos tener
Entonces validados estos resultados reemplazamos en la expresión
Para tener
Para la
integral queda en la forma
La acomodamos en la forma conveniente
Entonces llegamos al resultado de que
Series de Fourier
Las series de Fourier nacen de forma espontánea
al validar que toda función real de variable real puede
expresarse como una combinación de funciones seno y coseno
en el intervalo 
,
lo que podemos expresar en la forma
En esta validación podemos notar que
y
son constantes
arbitrarias que hacen que cualquier función real de
variable real se pueda expresar en series de seno y coseno y por
lo tanto se les puede calcular una expresión
matemática para su calculo
Para calcular las constantes procederemos en la siguiente forma
Multipliquemos la expresión de la serie de Fourier
Por la función
Para tener
Ahora multiplicamos por un diferencial
para tener
Ahora integremos esta expresión en el intervalo
para
tener
Esta expresión se reduce a la forma
De nuestros cálculos previos sabemos que
Por lo que la expresión se reduce a
Calculemos la integral
En la forma
Integrando llegamos a
Dado que es un número natural entonces se
tiene
De modo que se puede escribir
De nuestros cálculos previos sabemos que
de modo que si imponemos que entonces se puede escribir
De aquí se puede deducir que
Si se quiere escribir para entonces se escribiria
Esta expresión nos da la estructura
matemática de cálculo de la constante ahora para calcular la
constante procederemos en una forma similar, partiremos
de la validación
Multiplicaremos esta expresión por la función
Para tener
Ahora multiplicaremos por un diferencial
para tener
Ahora integremos esta expresión para tener
Esta ecuación se puede escribir en la forma
A partir de nuestros cálculos previos sabemos que
De modo que se puede escribir
Calcularemos la integral
Reemplazando llegamos a
Sabemos de nuestros cálculos previos que
De modo que si imponemos que entonces tenemos que
De aquí se deduce que
Si se escribe para entonces tenemos
Ahora a partir de la expresión
Se puede reducir a
Si imponemos que 
entonces llegamos a
Ahora sabemos que
De modo que
De aquí tenemos
De esta forma hemos calculado las constantes arbitrarias que hacen que se cumpla con el postulado impuesto
Autor:
Clareobaldo Junior Soto Garay
CODIGO POSTAL: PIUR 01
Trabajos relacionados
Ver mas trabajos de Matematicas |
|
Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.
Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.