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Ortogonalidad y series de Fourier




  1. Conjunto simple polinomios
  2. Ortogonalidad de un conjunto simple
  3. Teoría de las series de Fourier
  4. Series de Fourier

Sea un conjunto de funciones

Monografias.com

Continúas en el intervalo Monografias.com

Y sea una función de peso Monografias.comdefinida en el mismo intervalo

Se dice que cada una de estas funciones es ortogonal con respecto a la función de peso si se cumple la siguiente condición

Monografias.com

Monografias.com

La teoría de la ortogonalidad se usa mucho en ciertas áreas de la matemática como por ejemplo la expresión de funciones en series infinitas

Monografias.com

Otra versión del teorema de la ortogonalidad se puede enunciar de la siguiente forma

Sean funciones

Monografias.com

Que son linealmente independientes y continuas en el intervalo Monografias.com

Existirán funciones

Monografias.com

Que cumplirán con las siguientes propiedades

  • las funciones Monografias.comson una combinación lineal de Monografias.com

  • existe una función de peso Monografias.comcontinua en el intervalo Monografias.com

  • las funciones Monografias.comson linealmente independientes y continuas en el intervalo Monografias.com

Conjunto simple polinomios

Un conjunto de polinomios Monografias.comcon Monografias.comse conoce como conjunto simple si cada polinomio del conjunto es de grado Monografias.com

teorema

Un teorema importante sobre conjuntos simples se puede enunciar como sigue

Sea Monografias.comun conjunto simple de polinomios, y sea Monografias.comcualquier polinomio de grado Monografias.comentonces

Monografias.com

puede ser expresada como una combinación lineal de Monografias.comde la siguiente forma

Monografias.com

Demostración

Supongamos que el termino de mayor grado del polinomio Monografias.com

Es Monografias.comasí que se puede escribir

Monografias.com

Donde podemos aseverar que Monografias.comes un polinomio de grado Monografias.com

De igual manera supongamos que el termino de mayor grado en Monografias.com

Es Monografias.comasí que se puede escribir

Monografias.com

Donde podemos aseverar que Monografias.comes un polinomio de grado m

Dividamos ahora el polinomio a expresar entre el polinomio simple, tendremos

Monografias.com

Definamos ahora

Monografias.com

Entonces tendremos

Monografias.com

Escribimos de la siguiente forma

Monografias.com

Como se cancelaron los términos de mayor grado entonces ahora la expresión

Monografias.com

Será un polinomio de grado Monografias.com

Ahora como

Monografias.com

Es un polinomio de grado Monografias.com

Podemos escribir

Monografias.com

Es decir que ahora el término de mayor grado del polinomio Monografias.comes

Monografias.com

Y podemos escribir de acuerdo a

Monografias.com

Que

Monografias.com

Si hacemos la división correspondiente tendremos que

Monografias.com

La que se escribe como

Monografias.com

Que se puede escribir gracias a

Monografias.com

En la forma

Monografias.com

Que se escribe como

Monografias.com

Ahora el polinomio formado

Monografias.com

Será de grado Monografias.compor lo tanto podemos escribir

Monografias.com

Y además podemos escribir

Monografias.com

Si hacemos la división podemos llegar a

Monografias.com

Que se puede escribir en la forma

Monografias.com

Que se puede escribir ayudándonos de

Monografias.com

En la forma

Monografias.com

Se escribe en la siguiente forma para tener

Monografias.com

Que será un polinomio de grado

Monografias.com

Si repetimos este procedimiento las veces necesaria el polinomio formado después de las divisiones sucesivas será de grado Monografias.com

Por lo tanto

Monografias.com

Por lo que

Monografias.com

Si dividimos tendremos

Monografias.com

La que se puede escribir como

Monografias.com

Y ayudándonos de

Monografias.com

Se puede escribir

Monografias.com

Y finalmente

Monografias.com

La que se puede escribir en la siguiente forma

Monografias.com

Con lo que hemos demostrado el teorema.

Ortogonalidad de un conjunto simple

Un teorema importante para probar la ortogonalidad de cualquier conjunto simple puede enunciarse como sigue

Teorema

Sea Monografias.comun conjunto simple y Monografias.comuna función de peso continua en el intervalo Monografias.com, una condición necesaria y suficiente para que el conjunto simple Monografias.comsea ortogonal con respecto a Monografias.comes la siguiente

Monografias.com

Monografias.com

Donde Monografias.comes un conjunto simple de polinomios

Demostración

Supongamos que se cumple el teorema, por lo que se puede escribir gracias a la propiedad

Monografias.com

Que

Monografias.com

Si aplicamos aquí la condición de ortogonalidad podremos tener

Monografias.com

Si hacemos que Monografias.comsignifica que el máximo valor de Monografias.comes Monografias.com

Y como hemos dicho que el teorema se verifica entonces

Monografias.com

Es decir que a partir de postular que el teorema si se verifica hemos demostrado la ortogonalidad de

Monografias.com

que se construyo a partir de del conjunto simple Monografias.com

Ahora postulemos que

Monografias.com

Si aplicamos la condición de ortogonalidad tendremos

Monografias.com

Si Monografias.comsignifica que el máximo valor que toma Monografias.comes Monografias.com

Monografias.com

Por lo que como hemos dicho que el teorema se cumple, por lo tanto

Monografias.com

Es decir que a partir de postular que el teorema se cumple hemos demostrado la ortogonalidad de

Monografias.com

que se construyó a partir del conjunto simple Monografias.com

Ahora supongamos que Monografias.comentonces Monografias.comy la igualdad

Monografias.com

Se puede escribir en la forma

Monografias.com

Y hemos probado la condición de ortogonalidad

Ahora también podemos hacer

Monografias.com

Debido a que se cumple que

Monografias.com

Y le podemos aplicar la condición de ortogonalidad, y como hemos supuesto que se cumple el teorema, no deberemos caer en contradicciones, si no caemos en contradicciones habremos demostrado que el teorema es válido, procederemos

Monografias.com

De igual forma si hacemos que Monografias.com, como hemos supuesto que el teorema es válido entonces

Monografias.com

De donde

Monografias.com

Con lo que queda probada la ortogonalidad de

Monografias.com

a partir de postular que el teorema es válido, de igual forma se puede hacer para probar la ortogonalidad de Monografias.com

Lo que queda demostrado el teorema

Teoría de las series de Fourier

Nuestro objetivo es construir un conjunto de funciones seno y coseno que verifiquen la condición de ortogonalidad con respecto a la función de peso Monografias.com

Para eso debemos establecer el conjunto de funciones que deseamos que verifiquen la ortogonalidad

Postulemos que tenemos el conjunto de funciones

Monografias.com

Monografias.com

Donde Monografias.comes el intervalo de convergencia simetrico respecto al origen implicito en la construccion de la ortogonalidad de las funciones

Además postulemos que tenemos otro conjunto de funciones

Monografias.com

Monografias.com

Construyamos y resolvamos ahora la condición de ortogonalidad de las funciones seno y coseno

En virtud de la condición de ortogonalidad debemos construir la expresión

Monografias.com

Esta es la condición de ortogonalidad para un conjunto de funciones

Monografias.com

 

Al calcular esta integral debe darnos

Monografias.com

cuando

Monografias.com

y diferente de cero cuando Monografias.com, si sucede esto entonces decimo que el conjunto de funciones

Monografias.com

Es ortogonal con respecto a la función de peso Monografias.com

Resolvamos esta integral

Monografias.com

Para Monografias.comestamos obligados a resolver la integral lo que se puede hacer en la forma

A partir de las identidades trigonométricas tenemos

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

De las dos últimas identidades si sumamos tenemos

Monografias.com

Haciendo ahora el siguiente cambio de variables tenemos

Monografias.com

Monografias.com

Resolviendo el sistema tenemos

Monografias.com

Por lo que

Monografias.com

De esto se deduce que

Monografias.com

De modo que la identidad trigonométrica queda en la forma

Monografias.com

Otra fórmula puede derivarse si restamos las ecuaciones

Monografias.com

Monografias.com

En la forma

Monografias.com

Del cálculo hecho tenemos

Monografias.com

Reemplazando en

Monografias.com

Tenemos

Monografias.com

Monografias.com

Resolviendo para Monografias.comy para Monografias.comtenemos

Monografias.com

Monografias.com

Sumando miembro a miembro

Monografias.com

La solución para Monografias.comqueda en la forma

Monografias.com

La solución para Monografias.comse obtiene restando las ecuaciones

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Que queda en la forma

Monografias.com

Una vez hecho esto reemplazamos en la ecuación para tener

Monografias.com

Separamos esta integral para tener

Monografias.com

Resolvamos la primera integral para tener

Monografias.com

Llegados aquí haremos el cambio de variable

Monografias.com

Los nuevos límites de integración se calculan en la forma

Monografias.com

Monografias.com

Reemplazando los nuevos límites tenemos

Monografias.com

Sabemos que la integral se resuelve en la forma

Monografias.com

Dado que Monografias.comyMonografias.comson numeros naturales entonces llegamos a

Monografias.com

Ahora resolveremos la segunda integral en la forma

Monografias.com

Haciendo el cambio de variable

Monografias.com

Calculando los nuevos limites

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

La integral queda en la forma

Monografias.com

Dado que los números Monografias.comy Monografias.comson numeros naturales podemos tener

Monografias.com

Reemplazando llegamos a

Monografias.com

Pero para Monografias.comla condición de ortogonalidad se escribe en la forma

Monografias.com

De donde tenemos

Monografias.com

A partir de la identidad trigonométrica

Monografias.com

Y De la identidad trigonométrica

Monografias.com

Tenemos

Monografias.com

Monografias.com

Que se escribe en la forma

Monografias.com

Por lo tanto se puede escribir

Monografias.com

Reemplazando llegamos a

Monografias.com

Separando las integrales tenemos

Monografias.com

Monografias.com

Resolvamos la integral

Monografias.com

Acomodemos en la forma

Monografias.com

Reemplazando llegamos a

Monografias.com

De esa forma llegamos a

Monografias.com

Monografias.com

Por lo que hemos verificado la ortogonalidad del conjunto

Monografias.com

Con respecto a la función de peso Monografias.comque es lo que queriamos comprobar

Ahora haremos un cálculo que nos verifique si el conjunto de funciones

Monografias.com

Es ortogonal con respecto a la función de peso Monografias.comla condicion de ortogonalidad para este conjunto se expresa en la forma

Monografias.com

Resolviendo esta integral condición de ortogonalidad tenemos Monografias.composibilidades

Para Monografias.comdebemos resolver la integral para tener

Monografias.com

De las derivaciones

Monografias.com

Haciendo ahora el siguiente cambio de variables tenemos

Monografias.com

Monografias.com

Resolviendo el sistema tenemos

Monografias.com

Por lo que

Monografias.com

De esto se deduce que

Monografias.com

de modo que la identidad trigonométrica queda en la forma

Monografias.com

Comparando con la integral que deseamos calcular

Monografias.com

Tenemos

Monografias.com

Monografias.com

Resolviendo para Monografias.comy para Monografias.comtenemos

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

y la solución para Monografias.comqueda en la forma

Monografias.com

Reemplazando en la ecuación llegamos a

Monografias.com

Separando las integrales llegamos a

Monografias.com

Agrupando en forma conveniente llegamos a

Monografias.com

Esta integral se resuelve en la forma

Monografias.com

Dado que Monografias.comy Monografias.comson numeros naturales llegamos al resultado de que

Monografias.com

Ahora resolveremos la otra integral

Monografias.com

En la forma

Monografias.com

Esta expresión se resuelve a la forma

Monografias.com

En virtud de que Monografias.comy Monografias.comson numeros naturales podemos llegar a

Monografias.com

Finalmente reemplazamos en la expresión

Monografias.com

Para tener

Monografias.com

Para Monografias.comla integral se puede resolver en la forma

Monografias.com

De la identidad trigonométrica

Monografias.com

Se puede escribir en la forma

Monografias.com

Monografias.com

Reemplazando llegamos a

Monografias.com

Sabemos que

Monografias.com

Reemplazando llegamos a

Monografias.com

Este es el resultado que esperábamos, esto quiere decir que el conjunto de funciones

Monografias.com

Es un conjunto ortogonal con respecto a la función de peso Monografias.com

Ahora resolveremos una integral que nos será de mucha ayuda cuando desarrollemos la teoría de series de Fourier, calcularemos

Monografias.com

Resolveremos para Monografias.com

Escribiremos la integral en forma conveniente

Monografias.com

A partir de las identidades trigonométricas

Monografias.com

Monografias.com

Si sumamos convenientemente llegamos a

Monografias.com

Hacemos

Monografias.com

Monografias.com

Sumando llegamos a

Monografias.com

De donde llegamos a

Monografias.com

Y la solución para Monografias.comqueda en la forma

Monografias.com

Monografias.com

Reemplazando llegamos a

Monografias.com

Comparando con

Monografias.com

Podemos validar que

Monografias.com

Monografias.com

De aquí podemos resolver para Monografias.comy para Monografias.comen la forma

Monografias.com

Monografias.com

Sumamos miembro a miembro para tener la solución para Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

La solución para Monografias.comse obtiene restando las ecuaciones y queda en la forma

Monografias.com

Deacuerdo a estas validaciones podemos tener

Monografias.com

Resolveremos a parte cada una de estas integrales, la primera integral se resuelve en la forma

Monografias.com

Ahora resolveremos la otra integral en la forma

Monografias.com

Que se resuelve en la forma

Monografias.com

Dado que Monografias.comy Monografias.comson numeros naturales podemos tener

Monografias.com

Entonces validados estos resultados reemplazamos en la expresión

Monografias.com

Para tener

Monografias.com

Para Monografias.comla integral queda en la forma

Monografias.com

La acomodamos en la forma conveniente

Monografias.com

Entonces llegamos al resultado de que

Monografias.com

Series de Fourier

Las series de Fourier nacen de forma espontánea al validar que toda función real de variable real puede expresarse como una combinación de funciones seno y coseno en el intervalo Monografias.com, lo que podemos expresar en la forma

Monografias.com

En esta validación podemos notar que

Monografias.com

Monografias.com y Monografias.com son constantes arbitrarias que hacen que cualquier función real de variable real se pueda expresar en series de seno y coseno y por lo tanto se les puede calcular una expresión matemática para su calculo

Para calcular las constantes procederemos en la siguiente forma

Multipliquemos la expresión de la serie de Fourier

Monografias.com

Por la función

Monografias.com

Para tener

Monografias.com

Ahora multiplicamos por un diferencial

Monografias.com

para tener

Monografias.com

Ahora integremos esta expresión en el intervalo Monografias.compara tener

Monografias.com

Esta expresión se reduce a la forma

Monografias.com

De nuestros cálculos previos sabemos que

Monografias.com

Por lo que la expresión se reduce a

Monografias.com

Calculemos la integral

Monografias.com

En la forma

Monografias.com

Integrando llegamos a

Monografias.com

Dado que Monografias.comes un número natural entonces se tiene

Monografias.com

De modo que se puede escribir

Monografias.com

De nuestros cálculos previos sabemos que

Monografias.com

Monografias.com

de modo que si imponemos que Monografias.comentonces se puede escribir

Monografias.com

De aquí se puede deducir que

Monografias.com

Si se quiere escribir para Monografias.comentonces se escribiria

Monografias.com

Esta expresión nos da la estructura matemática de cálculo de la constante Monografias.comahora para calcular la constante Monografias.comprocederemos en una forma similar, partiremos de la validación

Monografias.com

Multiplicaremos esta expresión por la función

Monografias.com

Para tener

Monografias.com

Ahora multiplicaremos por un diferencial

Monografias.com

para tener

Monografias.com

Ahora integremos esta expresión para tener

Monografias.com

Esta ecuación se puede escribir en la forma

Monografias.com

A partir de nuestros cálculos previos sabemos que

Monografias.com

De modo que se puede escribir

Monografias.com

Calcularemos la integral

Monografias.com

Reemplazando llegamos a

Monografias.com

Sabemos de nuestros cálculos previos que

Monografias.com

Monografias.com

De modo que si imponemos que Monografias.comentonces tenemos que

Monografias.com

De aquí se deduce que

Monografias.com

Si se escribe para Monografias.comentonces tenemos

Monografias.com

Ahora a partir de la expresión

Monografias.com

Se puede reducir a

Monografias.com

Si imponemos que Monografias.comentonces llegamos a

Monografias.com

Monografias.com

Ahora sabemos que

Monografias.com

De modo que

Monografias.com

De aquí tenemos

Monografias.com

De esta forma hemos calculado las constantes arbitrarias que hacen que se cumpla con el postulado impuesto

Monografias.com

Monografias.com

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Autor:

Clareobaldo Junior Soto Garay

CODIGO POSTAL: PIUR 01


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