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Probabilidad Total y Teorema de Bayes




  1. Probabilidad total
  2. Teorema de Bayes
  3. Ejemplos ilustrativos

Probabilidad total

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entonces, la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se calcula empleando la siguiente fórmula:

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Teorema de Bayes

El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.

Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:

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Ejemplos ilustrativos

1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Solución:

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a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

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b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

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c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori empleando el Teorema de Bayes

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La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

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La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

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La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

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Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad

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Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

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2) Una empresa dedicada a la comercialización de televisores está considerando comercializar un nuevo televisor. En el pasado el 90% de los televisores que comercializó tuvieron éxito y el 10% no fueron exitosos. Se sabe que la probabilidad que habría recibido un reporte favorable de investigación fue del 85% y 35%, respectivamente.

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Solución:

a) Escribir la simbología del problema

A1 = Televisores exitosos

A2 = Televisores no exitosos

B1 = Reporte favorable de investigación

B2 = Reporte desfavorable de investigación

La solución del problema en Excel se muestra en la siguiente figura:

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3) La probabilidad de que una persona tenga una determinada enfermedad es de 0,02. Existen pruebas de diagnóstico médico disponibles para determinar si una persona tiene realmente la enfermedad. Si la enfermedad realmente está presente, la probabilidad de que la prueba de diagnóstico indique la presencia de la enfermedad es de 0,95.

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Solución:

La solución del problema en Excel se muestra en la siguiente figura:

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4) Una fábrica de sacos tiene 3 máquinas independientes que producen el mismo tipo de sacos. La máquina 1 produce el 15% de los sacos con un 1% de sacos defectuosos. La máquina 2 produce el 45% de los sacos con un 3% de sacos defectuosos. La máquina 3 produce el 40% de los sacos con un 2% de sacos defectuosos.

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Solución:

La solución del problema en Excel se muestra en la siguiente figura:

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5) El primer año de bachillerato de un colegio está integrado por 35 estudiantes en la especialidad de físico matemático, 47 en químico biólogo, 40 en sociales y 38 en bachillerato general. Se sabe que la probabilidad de que un estudiante pierda el año es del 5% 4%, 3% y 4%, respectivamente. ¿De qué especialidad es más probable que sea el estudiante, si se sabe que un estudiante ha perdido el año?

Químico biólogo con 0,296

Solución:

La solución del problema en Excel se muestra en la siguiente figura:

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Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes

 


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