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Regla General y Particular de la Multiplicación de Probabilidades




  1. Regla general para eventos dependientes
  2. Regla particular o especial para eventos independientes

Regla general para eventos dependientes

Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula empleando la siguiente regla:

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Nota:

La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el evento A ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P (B/A).

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Ejemplos ilustrativos

1) De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un As en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la carta extraída.

Solución:

A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.

La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

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Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:

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2) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de corazón rojo en dos extracciones sin devolver la carta extraída.

Solución:

A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.

La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

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Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:

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3) En una clase de 50 alumnos, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por

4.1) Matemática y Estadística.

4.2) Estadística y Matemática

Solución:

Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

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Simbología:

S = espacio muestral

A= Matemática

B = Estadística

a = Solamente Matemática

b = Solamente Estadística

c = Matemática y Estadística

d = Ninguna de las dos asignaturas

Datos y cálculos:

a = 10

b = 15

c = S - a - b - d = 50 - 10 - 15 - 5 = 20

d = 5

S = 50

4.1) Matemática y Estadística.

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O también, observando el diagrama de Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad solicitada:

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La suposición de que el alumno seleccionado tenga preferencia por Matemática significa que sólo consideremos el conjunto A, de los 30 elementos de A, sólo 20 tienen preferencia por Estadística. Por lo tanto la probabilidad condicional P(B/A) = 20/30 = 2/3

O también, observando el diagrama de Venn-Euler y aplicando la fórmula de la probabilidad condicional se tiene:

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Reemplazando valores en la regla de la multiplicación para eventos dependientes se obtiene:

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4.2) Estadística y Matemática.

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O también observando el diagrama de Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad solicitada:

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La suposición de que el alumno seleccionado tenga preferencia por Estadística significa que sólo consideremos el conjunto B, de los 35 elementos de B, sólo 20 tienen preferencia por Matemática. Por lo tanto la probabilidad condicional P(A/B) = 20/35 = 4/7

Reemplazando valores en la regla general de la multiplicación:

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Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

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Notas:

En los eventos dependientes se cumple:

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4) De una tómbola que contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, Mathías extrae tres bolas, sin volver a la tómbola la bola extraída, calcular la probabilidad de que las 3 bolas extraídas sean:

6.1) Rojas

6.2) 2 rojas y una blanca

6.3) Una roja y 2 blancas

6.4) 3 blancas

Solución:

6.1) Rojas

En 3 sucesos la fórmula de la regla general de probabilidades es:

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Reemplazando valores en la regla general de de la multiplicación se obtiene:

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O también, elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:

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En el diagrama de árbol, la probabilidad correspondiente a cada rama del árbol corresponde a la probabilidad condicional de que ocurra el evento específico, dado que han ocurrido los eventos de las ramas precedentes. Al describir un evento mediante una trayectoria a través del diagrama de árbol, la probabilidad de que ocurra dicho evento es igual a producto de las probabilidades de las ramas que forman la trayectoria que representa al mencionado evento.

La solución empleando el diagrama de árbol para es multiplicando las ramas RRR, es decir,

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Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

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Regla particular o especial para eventos independientes

Si A y B son dos eventos independientes, es decir, si el conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro, entonces, para calcular la probabilidad de dichos eventos se aplica la siguiente regla:

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Nota: Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, esto es, si

Ejemplos ilustrativos

1) De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un Rey en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey en dos extracciones devolviendo la carta extraída.

Solución:

A y B son sucesos independientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.

La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

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Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la multiplicación se obtiene:

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2) Una pareja de esposos desean tener 3 hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un niño o una niña son iguales, calcular la probabilidad de éxito en tener hombre en el primer nacimiento, mujer en el segundo nacimiento y hombre en el tercer nacimiento.

Solución:

M = mujer

H = hombre

Elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:

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Entonces,

 

 

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes

 


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