Tratado de fisica cuantica

COMENZAREMOS CON EL ESTUDIO DE LA FÍSICA ONDULATORIA CLÁSICA, LO QUE HAREMOS validando las siguientes ideas sobre pulsos de onda, sabemos que las siguientes ideas pertenecen a la teoría de pulsos de onda de la siguiente forma

Las ondas siempre se transmiten en un medio material o no material, existen ondas que no necesitan de un medio material para transmitirse, como por ejemplo las ondas electromagnéticas que no necesitan un medio material para transmitirse, y se desplazan en el vacio a una velocidad de unos

Comenzaremos con nuestro estudio guiándonos de la siguiente figura

De esta figura podemos definir unas propiedades asignadas a las ondas las que son

Longitud de onda

La longitud de onda es la distancia entre cresta y cresta o tambien se computa como la distancia entre valle y valle

Frecuencia y periodo

Usaremos la figura para definir el periodo y la frecuencia de la siguiente forma

PERIODO

FRECUENCIA

Cuando multiplicamos el periodo con la frecuencia podemos llegar a

Es decir llegamos al resultado de que la frecuencia es el inverso del periodo

Ahora relacionaremos el periodo y la frecuencia con la velocidad de fase en la siguiente forma

Que nos dice que la velocidad del pulso es igual a la longitud de onda multiplicada por la frecuencia

Para un observador sustancial el cual viaja a la velocidad del pulso seria más fácil visualizar la relación entre el desplazamiento, la coordenada de espacio y el tiempo, este observador escribiría

Si aplicamos esta ecuación a un pulso sinusoidal, que se puede escribir en la siguiente forma

Si visualizamos la figura

Figura

Es el verdadero argumento de la función ondulatoria sinusoidal de modo que la función ondulatoria sinusoidal toma la forma

Si reemplazamos podemos tener

Velocidad de fase o de pulso

Ahora desarrollaremos una forma de obtener una ecuación que me relacione la velocidad del pulso con las variables de relación adecuadas

Para eso consideremos la siguiente figura

Pero este observador sustancial observaría que el pulso se mueve de derecha a izquierda en un movimiento circular

Así que este observador escribiría para la aceleración

Por lo que reemplazamos para dar

que relaciona la velocidad con la tensión y la razón de masa a longitud de arco

de esta ecuación

Vemos que, a mas tensión y a menor razón de masa a longitud de arco mayor en la velocidad, además como es la razón de masa a longitud de arco significa que si mayor es la razón de masa a longitud de arco, entonces más pesada es la cuerda por lo que es mas difícil acelerar la cuerda

Ecuación diferencial de onda lineal

Ahora desarrollaremos un método para deducir una ecuación diferencial de onda que describa cualquier tipo de movimiento ondulatorio, lo que haremos ayudados de la figura

De la segunda ley de Newton podemos escribir

Ahora lo que haremos es calcular el límite de esta ecuación cuando

Ahora calcularemos el límite cuando

Ahora calcularemos el límite de esta ecuación cuando

Que es la ecuación diferencial final de onda lineal, a esta ecuación responde cualquier tipo de movimiento ondulatorio

Probaremos que la función sinusoidal satisface la ecuación diferencial de onda lineal

Que es otra forma de escribir la velocidad de pulso o velocidad de fase

Podemos extender esta ecuación a tres dimensiones si la escribimos en la siguiente forma

Ahora trataremos de encontrar una solución para esta ecuación diferencial, para esto la resolveremos en la siguiente forma

Postularemos como solución que el desplazamiento es el producto de dos funciones una función que involucra puros términos de tiempo y una función que involucra puros términos de espacio

La que se escribe en la forma

Finalmente vemos en esta ecuación que el lado izquierdo contiene puros términos que almacena el espacio y el lado derecho contiene solo términos de tiempo, para que esto se cumpla entonces cada termino tiene que ser igual a una constante, si hacemos

Esta ecuación diferencial se puede resolver por los métodos de factor diferencial de la siguiente forma

Y por teoría de ecuaciones diferenciales tenemos la solución de la ecuación diferencial en la siguiente forma

Para eso validaremos las siguientes condiciones de contorno

FIGURA

De la figura vemos que

Ahora se exige la condición

El segundo término es cero debido a que cualquier numero dividido entre infinito es cero, así que llegamos a

Esta función del tiempo que hemos calculado la usaremos para escribir la ecuación de onda en la siguiente forma

Louis de Broglie fue el primero en postular la naturaleza dual de la materia, el postulo que toda la materia tiene comportamiento de onda y de partícula, incluso una masa grande y que se mueve a velocidades bajas puede tener una longitud de onda según la ecuación de "de Broglie" aquí haremos una deducción formal de esta ecuación

A partir de la ecuación de Einstein de la energía

Esta es la ecuación de energía de una partícula, podemos derivar la ecuación de la energía para una onda simplemente introduciendo propiedades de onda en la ecuación para la partícula, lo que haremos en la siguiente forma

Es el momento lineal de la partícula, si designamos que la cantidad

Daremos un salto cuántico, pasaremos de la física ondulatoria clásica a la física cuántica y con un solo paso, un solo reemplazo,

Es la conocida energía cinética clásica

Si reemplazamos llegamos a

Ahora para seguir adentrándonos en el mundo cuántico debemos expresar todo lo que hagamos en adelante en términos de operadores matemáticos

Si en el espacio existe un campo potencial y si además la partícula interactúa con este campo, entonces la partícula tiene una energía potencial debido a este campo, finalmente la energía total de la partícula se escribe en la forma

Sean operadores matemáticos, entonces la ecuación de la energía llegamos a

Representa un operador matemático compuesto que se le da el nombre de operador cuántico hamiltoniano y se le designa por

Que se conoce como la ecuación de Erwin Schrödinger independiente del tiempo que gobierna el mundo cuántico.

A partir de la ecuación

De donde se puede derivar fácilmente el operador cuántico para la observable momentun lineal, en la siguiente forma

Interpretación de la función

Encontraremos ahora una interpretación de la función

Para esto usaremos la ecuación del cálculo del valor medio

Visualicemos la siguiente figura para consolidar estas ideas en nuestro cerebro

Es la probabilidad por unidad de longitud de encontrar la partícula en el intervalo considerado

Si validamos esta idea, podemos afirmar que existe una conexión entre el valor medio de la observable y la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo considerado

Se puede extender esta idea al espacio tridimensional para escribir

Ahora si integramos esta expresión llegamos a

Es la probabilidad por unidad de volumen de encontrar la partícula en el intervalo de volumen

Sera la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo de volumen por lo tanto si sumamos la probabilidad en todo el intervalo de volumen

Esta ecuación es la condición de normalización, todo tipo de función de densidad de probabilidad debe cumplir con esta condición

Finalmente llegamos a

Evolución temporal de la función de onda

Es de mucha utilidad no solo conocer las soluciones de la ecuación de Erwin Schrödinger independiente del tiempo sino además conocer cómo evoluciona la función de onda con el tiempo, podemos derivar la dependencia de la función de onda con el tiempo en la siguiente forma

Si diferenciamos esta expresión con respecto al tiempo tenemos

Reemplazando llegamos a

Esta ecuación es el análogo a la ecuación de erwin schrödinger pero esta da la evolución temporal de la función de onda se le puede llamar ecuación de Erwin Schrödinger dependiente del tiempo

Soluciones a la ecuación de Erwin Schrödinger

En general la ecuación de Erwin Schrödinger admite varias soluciones

Las relaciones de operadores como estas tienen sus propias definiciones.

Notamos que del hecho de exigir que dos observables tengan valores precisos deducimos que los operadores involucrados a las observables son conmutantes, podemos exigir la inversa, si dos operadores conmutan, entonces las observables relacionadas con los operadores tienen valores precisos

Supongamos que queremos saber si se pueden medir valores precisos para el momentun lineal cuántico y la posición .entonces debemos construir el conmutador entre el momentun lineal y el operador cuántico de la posición de la siguiente forma

De donde llegamos al resultado de que los operadores cuánticos del momentun lineal y de la posición no conmutan, por lo que podemos decir con toda seguridad que ambas observables no podrán medirse simultáneamente en forma precisa

Lo que haremos a continuación es un tratamiento matemático detallado de la ecuación de erwin schrödinger independiente del tiempo

Operadores hermíticos

Si quisiéramos calcular el valor esperado de la energía entonces escribiríamos

Pero si quisiéramos calcular el valor esperado de la conjugada de la energía entonces tendríamos que escribir

Ahora obtendremos la idea de hermiticidad de operadores al validar que la energía siempre será una cantidad real, por lo que la conjugada de la energía, seguirá siendo igual a la energía, es decir que se puede escribir con toda seguridad que

Que se conoce como la condición de hermiticidad, dos operadores serán hermiticos si cumplen con esta condición, la inversa de esta idea es que si un operador cuántico satisface la condición de hermiticidad, entonces los valores propios de este operador siempre serán cantidades reales

La condición de hermiticidad adquiere una forma general en la forma

Teorema de desarrollo y teoría de la ortogonalidad

Usaremos la condición de hermiticidad para obtener la condición de ortogonalidad de operadores, esto nos permitirá definir la función delta de Cronecker que es muy útil no solo en física cuántica sino también en otras áreas de la física y la matemática

Calculando la conjugada compleja de la ecuación

Si multiplicamos por un diferencial de volumen llegamos a

Pero de la condición de hermiticidad tenemos que

Hay 2 posibilidades para evaluar esta expresión

Estas dos condiciones llamadas condición de ortogonalidad se puede escribir en la siguiente forma

Degeneración y no degeneración

En general la ecuación de erwin schrödingeradmite un número infinito de soluciones, entonces surge la interrogante de como restringir este número infinito de soluciones a un conjunto finito de soluciones, es deseable por motivos de facilidad de análisis tener no un conjunto infinito de soluciones sino un conjunto finito de soluciones.

Hay varias maneras de restringir el conjunto de soluciones de la ecuación de erwin schrödinger por lo general estas restricciones ocurren de forma natural, por ejemplo existen soluciones que simplemente no pueden elegirse como solución ya que aunque satisfacen la ecuación de schrödinger no describen correctamente el fenómeno físico que se manifiesta, las condiciones de contorno también es una forma de restringir el conjunto de soluciones, la condición de normalización también es una forma de restringir el espectro de soluciones ,el hecho es que el efecto neto de esta restricción es que muchas veces los valores propios puede mostrar un espectro continuo,

A esta condición del sistema se le conoce como degeneración cuántica

Principio de superposición

Nuestro objetivo es probar que una combinación de estas funciones de onda es también solución de la ecuación de Erwin Schrödinger, podemos construir una combinación de estas soluciones en la siguiente forma

A la acción de combinar las soluciones en esta forma se le conoce como superposición

Para probar que esta combinación de funciones es también solución de la ecuación de erwin schrödinger basta con aplicar el operador hamiltoniano a esta expresión para tener

Que es lo que queríamos probar, en virtud de estos resultados nos damos cuenta de que el principio de superposición es una buena forma de construir soluciones

También se puede probar que las combinaciones

Nuestro objetivo es

Reemplazando llegamos a

Que es la expresión matemática para calcular las constantes de la combinación lineal

Resolución de algunos sistemas cuánticos

LA PARTICULA LIBRE

La partícula libre se describe fisicamente como una partícula sobre la cual no actua campo potencial alguno de modo que su energia potencial es igual a cero, la resolucion de la ecuación de schrödinger para este sistema se resuelve en la siguiente forma

Para este caso se tienen dos soluciones para la función de onda

Si calculamos el momentun lineal cuántico para cada una de estas funciones de onda tenemos

De donde llegamos a

que es una típica relación de operadores y valores propios

Ahora intentemos averiguar algo sobre la posición de la partícula

Basta con calcular la densidad de probabilidad de ubicar la partícula en algún lugar del espacio, haciendo este cálculo para las dos funciones de onda que describen la partícula libre llegamos a

Estas ecuaciones nos dicen que la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en alguna posición del espacio es constante dado que A es constante al igual que B

Estos resultados nos estarían diciendo que la probabilidad de encontrar la partícula en alguna posición del espacio es constante a lo largo de su trayectoria

De todo este análisis llegamos al resultado de que si bien es cierto para la partícula libre tenemos certeza en su momentun lineal su posición es completamente indeterminada hay una incertidumbre en la posición de la partícula, si le preguntamos a la partícula cuántica libre sobre su ubicación, esta respondería, en algún lugar a lo largo de mi trayectoria línea dado que la probabilidad de mi existencia en algún lugar del espacio es constante a lo largo de mi trayectoria

Este es otro ejemplo del principio de incertidumbre de Werner Heisenberg ,para una partícula cuántica si intentamos mejorar la medición del momentun lineal cuántico el simple hecho de hacerlo produce una indeterminación en la medición de su posición

Partícula en una caja

En vista de la imposibilidad de medir la posición de la partícula cuántica libre ,ahora restringiremos la partícula a una caja de modo que tendremos información de donde se puede encontrar la partícula ,y desarrollaremos un modelo de solución de la ecuación de Schrödinger para esta restricción , como dijimos anteriormente cuando restringimos las soluciones de la ecuación de schrödinger entonces puede suceder que la energía presente un espectro continuo o que presente un espectro discreto ,el efecto de restringir una partícula libre a una caja es que la energía se cuantiza es decir solo toma valores discretos ,tal y como veremos en los resultados del análisis matemático de la caja

La partícula libre se restringe a una caja como se ve en el siguiente esquema

En el interior de la caja no debe haber campos potenciales, supongamos que en el interior de la caja hay un campo potencial repulsivo, entonces la partícula se vería forzada a abandonar la caja lo cual contravendría la restricción que hemos impuesto de que la partícula este solo en el interior de la caja

De modo que la solución de la ecuación de schrödinger de la partícula en la caja es la misma que para la partícula libre, es decir

Que nos dice que "A" es igual a cero y como a es la constante que acompaña a la función de onda esto significaría que la función de onda es cero en todo el espacio, es decir la partícula no se encuentra en ninguna parte, esto no es correcto, las soluciones no describen en forma correcta el fenómeno cuántico de la partícula en la caja, así que plantearemos una solución basados en el principio de superposición ,de acuerdo a este principio una solución de la ecuación de schrödinger para la partícula en la caja es

A partir de teoría de números complejos, se puede escribir la exponencial compleja en la forma

Reemplazando en la condición de contorno llegamos a

De modo que reemplazando en la solución de la función de onda llegamos a

Reemplazando llegamos a

De la identidad trigonométrica

Reemplazando en la función de onda llegamos a

Como dijimos antes lo que hemos hecho aquí es restringir la particula libre a una caja, es equivalente a decir que hemos restringido el espectro de soluciones de la ecuacion de Schrödinger, el resultado de hacer esto es que la energia puede adquirir un espectro continuo o un espectro discreto de valores propios, veamos que es lo que sucede en realidad, a partir de la ecuacion

Que nos hace aseverar con toda seguridad que la energia esta cuantizada y solo puede tomar valores discretos dados por la ecuacion

Ahora surge la pregunta de cuál es el nivel más bajo de energía

Lo que nos dice que la densidad de probabilidad de que exista la particula en algun lugar del espacio en la caja es identicamente cero, es decir la particula no puede existir en ninguna parte de la caja, por ende la energia es cero,

Si quisiéramos calcular la distancia energética entre niveles entonces escribiríamos

Si quisiéramos calcular el valor del momentun lineal entonces tendríamos que escribir

Esta es un tipica relacion de operadores y valores propios de esta ecuacion notamos que el modulo del momentun lineal cuantico viene dado por

Resultado que nos dice que debe encajarse exactamente un numero entero de semilongitudes de onda en la longitud L

Análisis gráfico de los resultados

Si quisiéramos graficar la densidad de probabilidad versus la coordenada X entonces tendríamos que hacer un análisis de la expresión matemática de la densidad de probabilidad para la partícula cuántica

Esta expresion es la primera derivada de la densidad de probabilidad, si igualamos a cero esta expresion la solucion de la singularidad nos dara los puntos exactos donde la densidad de probabilidad es maxima y donde es minima, de hecho si igualamos a cero tenemos

Al igualar a cero la primera derivada, nos dara una solucion en X que nos dira donde es exactamente maxima la densidad probabilistica y donde es minima, de hecho al resolver la ecuacion

Ahora determinaremos de estos tres puntos quien produce un maximo en la densidad de probabilidad y quien produce un minimo, reemplazando en la funcion de onda llegamos a

Todo este problema se resuelve con dos ideas que ya hemos planteado con anterioridad

• La idea de la particula dispersa nace de forma natural de los calculos de fisica cuantica dado que los calculos cuanticos indican que en todo lugar del espacio en que se confina la particula hay una probabilidad de encontrar la particula entonces como en todas partes hay probabilidad de encontrar la particula ,en todas partes debe haber el potencial de ver la particula ,en algunos partes como la probabilidad es baja esta dispersion es menos densa por lo tanto el potencial de ver la particula es borroso y en otros lugares como la probabilidad es alta la dispersion es mas densa por lo tanto el potencial para ver la particula es claro.

Principio de incertidumbre de Werner Heisenberg

Hemos llegado al resultado de que para una particula en la caja el momentun lineal tiene los mismos valores que para una particula cuantica libre,

Pero del operador cuántico para el momentun lineal se puede escribir

La solución queda en la forma

Reemplazando

Ahora a partir de la funcion de onda para la particula en la caja tenemos

Sabemos que reemplazando llegamos a

Ahora calculemos el valor esperado para el momentun lineal, para esto se debe escribir

Reemplazándolas en las ecuaciones llegamos a

Podemos sacar a parte la expresión

Por ser constantes

Reemplazando llegamos a

Resolviendo las integrales podemos llegar a

Podriamos haber obtenido este resultado usando la funcion de onda espresada en la funcion seno para la particula en la caja

El calculo del valor esperado para el momentun lineal cuantico en esta forma podria llevarnos al error de interpretar que el momentun lineal cuantico es cero lo cual no debe ser interpretado de esa forma

Como ya hemos visto en los calculos cuanticos sobre la particula libre ,si bien es cierto para la particula libre el momentun lineal es completamente determinado acerca de la posicion no podemos decir absolutamenente ,recalco que si le preguntaramos a una particula libre sobre su posicion en alguna region del espacio ,esta responderia ,lo siento solo te puedo decir que en cualquier lugar de mi trayectoria tengo la misma probabilidad de existir ,en la teoria de la particula en la caja restringimos a la particula a un intervalo de modo que ahora ya podemos conocer algo sobre la ubicación de la particula ,como dijimos la particula en la caja es una particula libre que ha sido restringida a un intervalo ademas los calculos demuestran que la particula en la caja tiene los mismos valores propios para el momentun que para la particula libre

Ahora supongamos que deseamos saber el valor esperado de la posicion de la particula en la caja entonces tendriamos que escribir

Ahora resolveremos la integral

Para resolver esta integral usaremos la tecnica de integracion por partes, dare una demostracion aquí de esta tecnica de integracion

Si escribimos convenientemente tenemos

Resolveremos a parte la integral

Integrando llegamos a

Reemplazando en la ecuación de integración por partes tenemos

De estos resultados notamos que la posicion mas probable de la particula en la caja es en el punto medio

Definición de la imprecisión de Werner Heisenberg

Definamos rigurosamente aquí la impresicion en el momentun lineal como la desviacion con respecto al valor esperado del momentun lineal

Notemos la definicion logica de la incertidumbre, logico la incertidumbre en una medida del momentun lineal es la diferencia entre la medida del momentun y el valor esperado

Toda incertidumbre elevada al cuadrado se hace mucho mas pequeña

Por lo que es mas conveniente elevar al cuadrado la expresion

Desarrollando el cuadrado tenemos

Que es la expresion final para evaluar la incertidumbre

Si quisieramos completar el calculo de la incertidumbre en el momentun necesitamos conocer

Podemos tener

Llegamos a

Además sabemos que

Entonces tenemos que la incertidumbre en el momentun viene dada por la expresión

Que se puede hacer en la siguiente forma

Haciendo el siguiente cambio de variable

Aplicaremos aquí la regla de la integracion por partes para resolver esta integral

Ahora resolvamos a parte la integral

Resolviendo la integral definida llegamos a

Reemplazando en la ecuacion de cálculo de la incertidumbre en la posicion tenemos

Esta es la expresion final de la incertidumbre en la posicion de la particula.

Ademas sabemos que

Esta es la expresion para el principio de incertidumbre de Werner Heisenberg

El principio de incertidumbre de Werner Heisenberg expresa la imposibilidad de poder hacer mediciones precisas en el momentun y en la posicion simultaneamente si intentamos mejorar nuestras mediciones en el momentun lineal de la particula entonces se introduce inmediatamente una indeterminacion en la posicion y la relacion entre las indeterminaciones se muestra en la ecuacion

Entonces de inmediato la indeterminacion en el momentun se hace infinita.

Otra version del principio de incertidumbre puede derivarse en la siguiente forma

Eliminando la funcion de onda tenemos

Pero sabemos que

Que expresa la imposibilidad de poder hacer mediciones precisas de la energía y el tiempo .

 

 

Autor:

Clareobaldo Junior Soto Garay