Índice y período de los elementos de un semigrupo

Abstract

In this paper we expose a sufficient and necessary criterion so that the index of an element of a semigroup will be 1.

Lastly, we show how these results, obtained for semigroups, can be used to prove some wellknown theorems concerning the groups.

Introducción

A continuación examinaremos el caso contrario, es decir cuando existen

Puesto que el conjunto N está linealmente ordenado y cumple la condición de la minimalidad, sea m el elemento más pequeño de M.

El número k es único puesto que en el caso contrario m no podría ser el elemento más pequeño de M.

Así, cuando i toma sucesivamente los valores

Para hallar el orden, el índice y el periodo de una matriz cuadrada, en el semigrupo al cual pertenece ésta matriz, se podría utilizar el programa siguiente, escrito en el lenguaje VISUAL-BASIC.

Por ejemplo, si en el semigrupo M4 de las matrices cuadradas de orden 4 se consideran las matrices

, según el programa anterior, las potencias de estas matrices serán las siguientes:

, luego el orden, el índice y el periodo de estos elementos son:

	orden			índice			periodo
A	3			3			1
B	3			2			2
C	4			1			4

Para hallar el orden, el índice y el periodo de los elementos de un anillo de clases de restos, se podría utilizar el programa siguiente:

Por ejemplo, utilizando el programa anterior, en el anillo de las clases de restos respecto el módulo 640, la clase de 8 tiene el orden 6 el índice 3 y el periodo 4.

Así el lema queda demostrado.

Teorema 1:

Obviamente, de la fórmula (1) ahora resulta que

Teorema 1':

Teorema 2:

Demostración: Dos casos son posibles.

Cuando i toma sucesivamente los valores

, estos valores se repetirán indefinidamente, de manera cíclica.

Teorema 3:

En lo sucesivo, los resultados anteriores se utilizarán para demostrar algunas proposiciones concernientes a los grupos.

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Demostración:

Teorema 7:

Bibliografia

Frobenius G., Uber endliche Gruppen, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1895, 163194

A.H.Clifford and G.B.Preston, The algebraic theory of semigroups, volume 1, & 1.6, 1964, AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY.

B.Huppert, Endliche Gruppen, I, Berlin: Springer-Verlag, 1979.

 

 

Autor:

Aladár Péter Sántha.