Novo: 
2.1 Determinación de la distancia en el momento de la observación
Supongamos que O sea el centro de la Tierra, C el centro del Sol y V1 y V2 los centros observados de la proyección de Venus visto desde M1 y M2, respectivamente. Los ángulos D1 y D2 serán las separaciones angulares entre los centros de Venus y el Sol vistas desde M1 y M2, respectivamente, es decir, los ángulos de paralaxis CM1V1 y CM2V2. Análogamente, podemos definir los ángulos πs y πv como las separaciones angulares entre M1 y M2 vistas desde el Sol y desde Venus, respectivamente, es decir, los ángulos M1CM2 y M1VM2.
Puesto que los cuatro puntos M1, M2, C y V no están en el mismo plano (el caso más común será no tener las dos localizaciones M1 y M2 sobre el mismo meridiano, ni la Tierra, Venus y el Sol perfectamente alineados), la geometría del problema se complica un poco. En la figura 2 se puede ver claramente. La distancia ∆π entre los dos centros de Venus es precisamente la única cantidad observable y, correspondiente a ∆π = πv – πs, permite calcular la distancia al Sol.
La realización práctica de la medida de ∆π a partir de las dos fotografías se puede hacer midiendo la posición del centro de Venus en cada fotografía en relación a un punto de referencia en el disco solar (una mancha, por ejemplo) y compararlo con la medida de este disco. Las medidas sobre las fotografías se realizan en unidades de longitud, en mm por ejemplo, y deberán transformarse a un ángulo que se pueda obtener sabiendo la medida del Sol.
Sean (x1,y1) y (x2,y2) las separaciones en mm entre el centro del disco de Venus y la mancha de referencia en las direcciones horizontal y vertical para cada una de las fotografías. Las separaciones en segundos de arco se obtienen multiplicando cada una de las cantidades x1 e y1 por el factor Ø(segundos de arco)/Ø1(mm) y las cantidades x2 e y2 por Ø(segundos de arco)/Ø2(mm) donde Ø(segundos de arco) y Ø(mm) son el diámetro del Sol expresado en segundos de arco y en mm, respectivamente. Ø1(mm) y Ø2(mm) tienen el mismo valor si la escala de las fotografías es la misma.
La distancia entre los centros de Venus en las dos fotografías será:
∆π(segundos de arco) = [ (x2 – x1)2+ (y2 – y1)2 ]1/2 [1]
Si las dos fotografías se toman con dos telescopios que proporcionan la misma escala y el disco del Sol se sitúa exactamente en el mismo lugar de la fotografía, entonces se puede tomar como punto de referencia una esquina de la misma y no una mancha. Además, en este caso Ø1(mm) = Ø2(mm) y entonces la ecuación anterior se puede plantear como:
∆π(segundos de arco) = [ (x2 – x1)2+ (y2 – y1)2 ]1/2·Ø(segons d'arc)/Ø(mm) [1bis]
Este es el supuesto adoptado de ahora en adelante.
http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
- http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
Figura 2. Posiciones de las proyecciones de Venus sobre el disco del Sol.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher (
IMCCE )
Suponemos que rV y rT son las distancias entre el centro del Sol y los de Venus y la Tierra, respectivamente, en el momento t de la observación. Puesto que la proyección d de la distancia entre M1 y M2 en el plano perpendicular a OC es pequeña en comparación a las distancias Tierra-Sol y Tierra-Venus, podemos aproximar:
πs = d/rT
πv = d/(rT -rV)
y de aquí se deduce que:
πv = πs rT/(rT -rV)
∆π = πs (rT/(rT -rV)-1) = πs rv/(rT -rV)
y por tanto,
πs = d/rT = ∆π (rT/rV - 1)
Esta última fórmula expresa claramente que, conocida la distancia angular ∆π entre los dos centros V1 y V2, y la relación rT/rV entre las distancias Tierra-Sol y Venus-Sol, se puede deducir la paralaxis πs y que, conocida la distancia proyectada d entre las dos localizaciones, se puede deducir la distancia rT. (En todas estas expresiones los valores de πv, πs y ∆π vienen dados en radianes. Para convertirlos a segundos de arco y hacerlos compatibles con la ecuaciσn [1], sólo se necesita multiplicar por 64800 y dividir por el número π).
∆π es la cantidad observable, d se puede determinar como se explica más abajo y por tanto, la única cantidad que falta para resolver el problema es la relación rT/rV entre las distancias Tierra-Sol y Venus-Sol.
Las órbitas de la Tierra y Venus en torno al Sol son ligeramente elípticas y por tanto, la relación de distancias rT/rV no se mantiene constante a lo largo del tiempo. Para saber esta relación en el instante t de observación es necesario remitirse a la primera ley de Kepler que dice que el Sol es uno de los focos de la elipse y que por tanto, la distancia entre el Sol y un planeta rp(t) se obtiene como:
rp(t)=Rp (1 - ep cos Ep(t))
donde Rp es el semieje mayor de la órbita, ep la excentricidad y Ep(t) la anomalía excéntrica en el instante t. Según esto:
rT/rv=[RT (1 - eT cos ET)] / [RV (1 - eV cos EV)]
La tercera ley de Kepler relaciona los semiejes mayores de las órbitas con los períodos de revolución Pp:
(RT / RV)3 = (PT / PV)2
de manera que
rT/rv=(PT / PV)2/3 (1 - eT cos ET) / (1 - eV cos EV) [2]
Hasta aquí, pues, hemos sido capaces de determinar πs y rT que son la paralaxis y la distancia Tierra-Sol en el instante t de observación.
2.2 Determinación de la distancia media
Para determinar la distancia media Tierra-Sol (RT) y la correspondiente paralaxis media πo, que se relacionan mediante el radio ecuatorial terrestre R por:
πo ≈≈ R/RT
es necesario hacer alguna consideración adicional:
Si se expresa la proyección d de la distancia entre M1 y M2 en el plano normal a la dirección Tierra-Sol en unidades del radio ecuatorial terrestre, y la distancia Tierra-Sol en unidades de la distancia media, tendremos:
πs = [(d/R) / (rT /RT)] (R/RT) ≈ [(d/R) / (rT /RT)] πo
El cociente rT /RT se puede deducir de la primera ley de Kepler como:
rT/RT = 1 - eT cos ET(t)
y por tanto, sólo nos falta calcular d/R (ver Figura 3).
http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
- http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
Figura 3. Proyección de la distancia entre M1 y M2
en el plano normal a la dirección Tierra-Sol.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher (
IMCCE )
Haciendo el producto vectorial entre los vectores M1M2 y OC, obtendremos el valor de sin θ, porque
M1M2 × OC = |M1M2| rT sin θ
En la figura 3 se puede ver que:
d = |M1M2| cos (90 – θ) = |M1M2| sin θ
y por tanto,
d = M1M2 × OC / rT
Ahora necesitamos calcular M1M2 × OC.
Cálculo del vector OC
Este vector se puede expresar a partir de las coordenadas ecuatoriales del Sol (α,δ) en el instante de la observaciσn como:
x=rT cos δ cos α
y=rT cos δ sin α
z=rT sin δ
Cálculo del vector M1M2
La posición de cada observador se puede expresar como (ver figura 4):
x=R cos φ cos (λ+TG)
y=R cos φ sin (λ+TG)
z=R sin φ
siendo φ y λ las coordenadas geogrαficas (latitud y longitud) del observador y TG=TG(0) + 1.00273791 t. El tiempo t de la observación se ha de expresar en la escala de Tiempo Universal (TU). Para la mayoría de Europa TU = tiempo oficial – 2h en junio.
http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
- http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
Figura 4. Posiciones de un astro (por ejemplo el Sol) y de un observador
en la Tierra en coordenadas ecuatoriales.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher (
IMCCE )
Las coordenadas del vector M1M2 se pueden encontrar fácilmente como:
X=x1 – x2
Y=y1 – y2
Z=z1 – z2
Ejemplo práctico
Uno de los programas disponibles en http://serviastro.am.ub.es/venus2004/ está basado en esta formulación y se puede utilizar como ejemplo práctico. El segundo programa se basa en la comparación de la duración de los tránsitos vistos desde dos lugares diferentes.
Referencias
- http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n05_08_eng.html
- http://www.imcce.fr/vt2004/en/fiches/fiche_n04b_06.htm (en francés)
- The solar parallax with the transit of Venus. F. Mignard, Observatoire de la Côte d’Azur, febrero 2004
Por
Dra. Carme Jordi i Neub.esbot
Departamento de Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona
2 de junio de 2004
Serviastro. Departamento Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona
 Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |
Trabajos relacionados
Ver mas trabajos de Matematicas |
|
Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.
Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.