Análisis de varianza

El análisis de varianza es una técnica que
se puede utilizar para decidir si las medias de dos o más
poblaciones son iguales. La prueba se basa en una muestra
única, obtenida a partir de cada población. El
análisis de varianza puede servir para determinar si las
diferencias entre las medias muestrales revelan las verdaderas
diferencias entre los valores medios de cada una de las
poblaciones, o si las diferencias entre los valores medios de la
muestra son más indicativas de una variabilidad de
muestreo.

Si el valor estadístico de prueba
(análisis de varianza) nos impulsa a aceptar la
hipótesis nula, se concluiría que las diferencias
observadas entre las medias de las muestras se deben a la
variación casual en el muestreo (y por tanto, que los
valores medios de población son iguales). Si se rechaza la
hipótesis nula, se concluiría que las diferencias
entre los valores medios de la muestra son demasiado grandes como
para deberse únicamente a la casualidad (y por ello, no
todas las medias de población son iguales).

Los datos para el análisis de varianza se
obtienen tomando una muestra de cada población y
calculando la media muestral y la variancia en el caso de cada
muestra.

Supuestos

Existen tres supuestos básicos que se deben
satisfacer antes de que se pueda utilizar el análisis de
variancia.

1) Las muestras deben ser de tipo aleatorio
independiente.

2) Las muestras deben ser obtenidas a partir de
poblaciones normales.

3) Las poblaciones deben tener variancias
iguales

Procedimiento
para calcular una varianza muestral

El análisis de varianza, como su nombre lo
indica, comprende el cálculo de varianzas. La varianza de
una muestra es el promedio de las desviaciones elevadas al
cuadrado de la media del grupo. Simbólicamente, esto se
representa de la siguiente manera:

varianza de la muestra= s2=xi-x2n-1

Cabe observar que se debe utilizar n – 1, ya que se
está trabajando con datos muestrales. De ahí que,
para obtener la varianza muestral, el procedimiento sea el
siguiente:

1) Calcular la media muestral

2) Restar la media de cada valor de la
muestra.

3) Elevar al cuadrado cada una de las
diferencias.

4) Sumar las diferencias elevadas al
cuadrado.

5) Dividir entre n – 1

Estimación interna de varianza (within
estímate) sw2

Aunque parezca extraño un examen de las varianzas
puede revelar si todas las medias de la población son
iguales o no. El análisis de varianza utiliza dos
métodos un poco diferentes para estimar las varianzas de
la población (iguales). Si las dos estimaciones son
aproximadamente iguales, esto tiende a confirmar H0; si una de
las dos estimaciones es mucho mayor que la otra, esto tiende a
confirmar H1. Si la hipótesis nula es verdadera, entonces
las muestras se habrán obtenido de poblaciones con medias
iguales. Y como se supone que todas las poblaciones son normales
y poseen variancias iguales, cuando H0 es verdadera se presenta
una situación conceptualmente idéntica a otra en la
que todas las muestras hayan sido tomadas realmente a partir de
una población única. Si H0 es falsa, entonces las
muestras provendrán de poblaciones que no presentan todas
la misma media, sin embargo, cabe observar que, aún en ese
caso, se debe suponer que las poblaciones son normales y tienen
variancias iguales.

Una forma de calcular la varianza poblacional es sacar
el promedio de las varianzas de las muestras. Es evidente que se
podrá utilizar cualquiera de las varianzas muestrales,
pero el promedio de todas ellas por lo general
proporcionará la mejor estimación debido al mayor
número de observaciones que representa. Como cada varianza
muestral sólo refleja la variación dentro de una
muestra en particular, la estimación de la varianza basada
en el promedio de las varianzas muestrales se llama
estimación interna de variancia. La
estimación interna de variancia se calcula de la siguiente
manera:

sw2=s12+s22+s32+..……….sk2k

Donde:

s12 = variancia de variancia de una muestra

s22 = variancia de variancia de dos muestras

s32 = variancia de variancia de tres muestras

sk2 = variancia de variancia de k muestras

k = número de muestras

Estimación intermediante de varianza (between
estímate) sx2

Como se supone que las varianzas de la población
son iguales, independientemente de si las medias lo son o no, la
estimación interna de varianza no se altera por la verdad
o falsedad de H0. Por tanto, no se puede utilizar por
sí misma para determinar si las medias de la
población podrían ser iguales. No obstante,
sirve como una norma de comparación respecto a la cual
puede evaluarse una segunda estimación llamada
estimación intermediante de varianza. Esta segunda
estimación es sensible a diferencias entre las medias de
población.

La estimación interna de varianza sirve como una
norma respecto a la cual se puede comparar la estimación
intermediante de varianza.

La estimación de varianza entre muestras
determina una estimación de las varianzas iguales de la
población de una forma indirecta a través de una
distribución de muestreo de medias. Recuérdese que
si H0, es verdadera, esto equivale a tomar todas las muestras de
la misma población normal. Además, por el Teorema
del Límite Central, se sabe que la distribución de
muestreo de medias, obtenida de una población normal,
estará distribuida normalmente, y que la desviación
estándar de la distribución de muestreo
(raíz cuadrada de su varianza) está directamente
relacionada con el tamaño de la desviación
estándar de la población (raíz cuadrada de
la varianza de la población). Es decir,

Ejemplos ilustrativos

1) Calcular la varianza muestral de 16, 19,
17, 16, 20, 19, 20

Solución:

Calculando la media aritmética se
obtiene:

x=xin=16+19+17+16+20+19+207=1277=18,143

Llenando la tabla para obtener datos para reemplazar
valores de la fórmula de la varianza se
obtiene:

Reemplazando valores en la fórmula y realizando
las operaciones respectivas se tiene:

s2=xi-x2n-1=18,8547-1=18,8546=3,14

Los cálculos en Excel se muestran en
la siguiente figura:

2) Dado la siguiente tabla con datos acerca del peso en
kg por 1,7 m de estatura

a) Calcular la estimación interna de
variancia

b) Calcular la estimación intermediante de
variancia

Solución:

Calculando las medias aritméticas se
obtiene:

x=xin

x1=70+75+74+72+68+596=4186=69,667

x2=74+77+70+80+72+766=4496=74,833

x3=68+70+65+60+72+736=4086=68

x4=75+70+73+72+71+726=4336=72,167

Se llena la siguiente tabla:

Reemplaza los datos en la fórmula de
la varianza se obtienen las varianzas de las 4
muestras.

s2=xi-x2n-1

Varianza de la muestra 1

s12=169,3345=33,867

Varianza de la muestra 2

s22=64,8345=12,967

Varianza de la muestra 3

s32=1185=23,6

Varianza de la muestra 4

s42=14,8335=2,967

a) Calculando la estimación interna
de varianza se obtiene:

sw2=s12+s22+s32+…+sk2k

sw2=33,867+12,967+23,6+2,9674=73,4014=18,35

Nota: La estimación interna
de varianza es la media aritmética de la
varianzas.

b) Para calcular la estimación intermediante de
varianza primero se calcular la varianza de las medias
aritméticas

sx2=x-x2k-1

Para calcular la varianza de las medias
aritméticas se calcula la media aritmética de las
medias aritméticas, la cual es:

x=xik=69,667+74,833+68+72,1674=284,6674=71,167

Se llena la siguiente tabla:

Se reemplaza los datos de la tabla para calcular
varianza de las medias aritméticas

sx2=x-x2k-1=26,723=8,907

Finalmente se calcula es estimación intermediante
de varianza, la cual queda:

sx2=n·sx2=6·8,907=53,44

Los cálculos en Excel se muestra la
siguiente figura:

Autor:

Enviado por:

Mario Orlando Suárez
Ibujes