Resumen
En este artículo se demuestra una
propiedad de las integrales iteradas y su
aplicación
Abstract
In this paper one demostrates to a property
of the nested integrals and its applications.
Palabras claves: Integrales iteradas,
Transformada de Laplace
Keys words: Nested integrals,
Laplace transforms,
Introducción
La integral anidada es una integral evaluada
múltiple veces sobre una misma variable en contraste a las
integrales múltiples, que consiste de un número de
integrales evaluadas con respecto a variables
diferentes.
Para su demostración ver (ver [G.
Shilov]).
En particular, se resolverá el PVI (2) integrando
repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las
condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la
ecuación (1) para llegar a la solución general en
forma cerrada, esto es, la obtención de una
formula.
Demostración.
Ver [José A. Sánchez
_Integrales anidadas]
Propiedades de las transformadas de
Laplace usando integrales anidadas
Usaremos la convolución de las
funciones
Propiedad 1.
Dem. Usaremos la siguiente
propiedad:
(transformada de una
convolución)
Aplicando Transformadas a ambos miembros de
la ecuación (1) y usando la linealidad de la transformada
de Laplace, obtenemos
Utilicemos la propiedad anterior para
resolver el siguiente problema de valor inicial
Ejemplo. Resolver el PVI.
Solución:
Despejando e integrando dos veces, usando
las condiciones iniciales, se tiene:
Ejemplo 1. Resolver el
PVI:
(segunda forma)
Despejando e integrando dos veces, usando
las condiciones iniciales, se tiene:
Ejemplo 3. Usando (TL.1) encuentre
la Transformada de Laplace de las siguientes
Ejemplo. Demuestre la
fórmula:
Resolveremos ahora un sistema de
ecuaciones diferenciales:
Ejemplo 4. Consideremos el sistema
acoplado
Usando transformadas de Laplace en ambas
lados de las ecuaciones anteriores obtenemos:
Conclusiones
Al resolver un problema de valor inicial se
encontró la solución general en forma cerrada
más…….
Bibliografía
[1] Chilov, G. E. Analyse Mathématique, Fonctions
de plusieurs variables réelles, Éditions Mir,
moscou, 1975.
[2] García J. O,Villegas G. ,J.
Castaño B., J, Sánchez C., J. Ecuaciones
Diferenciales. Fondo Editorial Universidad EAFIT,
2010.
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Autor:
José Albeiro Sánchez
Cano
Departamento de Ciencias Básicas_
Universidad EAFIT