Las matemáticas a través de los tiempos

Las matemáticas o la
matemática es una ciencia que, a partir de notaciones
básicas exactas y a través del razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas
entre los entes abstractos (números, figuras
geométricas, símbolos ). Mediante las
matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el
espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,
formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad
matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas
les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados
para dicho fin.

Existe cierto debate acerca de si los
objetos matemáticos, como los números y puntos,
realmente existen o si provienen de la imaginación humana.
El matemático Benjamin Peirce definió las
matemáticas como "la ciencia que señala las
conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein
declaró que "cuando las leyes de la matemática se
refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se
refieren a la realidad".

Mediante la abstracción y el uso de
la lógica en el razonamiento, las matemáticas han
evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y
las mediciones, junto con el estudio sistemático de la
forma y el movimiento de los objetos físicos. Las
matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin
práctico. Las explicaciones que se apoyaban en la
lógica aparecieron por primera vez con la
matemática helénica, especialmente con los
Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron
desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que
en el Renacimiento las innovaciones matemáticas
interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos.
Como consecuencia, hubo una aceleración en la
investigación que continúa hasta la
actualidad.

Introducción

En el pasado las matemáticas eran consideradas
como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como
en la geometría), a los números (como en la
aritmética), o a la generalización de ambos (como
en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las
matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de
las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones
necesarias. Esta última noción abarca la
lógica matemática o simbólica —ciencia
que consiste en utilizar símbolos para generar una
teoría exacta de deducción e inferencia
lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y
reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y
teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas
matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En
realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia
humanidad: en los diseños prehistóricos de
cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden
encontrar evidencias del sentido geométrico y del
interés en figuras geométricas. Los sistemas de
cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso
de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la
gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases
son los números 5 y 10.

Las
matemáticas en la antigüedad

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas
y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y
Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la
aritmética, con cierto interés en medidas y
cálculos geométricos y sin mención de
conceptos matemáticos como los axiomas o las
demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el
año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración
decimal con distintos símbolos para las sucesivas
potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema
utilizado por los romanos. Los números se representaban
escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades
tenía el número dado, el símbolo del 10
tantas veces como decenas había en el número, y
así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban
por separado las unidades, las decenas, las centenas… de
cada número. La multiplicación estaba basada en
duplicaciones sucesivas y la división era el proceso
inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (:),
junto con la fracción _, para expresar todas las
fracciones. Por ejemplo, _ era la suma de las fracciones _ y _.
Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver
problemas aritméticos con fracciones, así como
problemas algebraicos elementales. En geometría
encontraron las reglas correctas para calcular el área de
triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen
de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto,
pirámides. Para calcular el área de un
círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado del
diámetro del círculo, valor muy cercano al que se
obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era
bastante diferente del egipcio. En el babilónico se
utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de
cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba
al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los
números menores que 59 estaban formados por estos
símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las
matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se
representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de
ahí, el valor de un símbolo venía dado por
su posición en el número completo. Por ejemplo, un
número compuesto por el símbolo del 2, seguido por
el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 +
27 × 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la
representación de fracciones, de manera que el ejemplo
anterior podía también representar 2 × 60 +
27 + 10 × (), o 2 + 27 × () + 10 × ()-2.
Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan
útil como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas
matemáticas más sofisticadas que les permitieron
encontrar las raíces positivas de cualquier
ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de
encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer
grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando
el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una
gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de
dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés
compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de
progresiones aritméticas y de algunas geométricas,
sino también de sucesiones de cuadrados.

Las
matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas
de los babilonios y de los egipcios. La innovación
más importante fue la invención de las
matemáticas abstractas basadas en una estructura
lógica de definiciones, axiomas y demostraciones.
Según los cronistas griegos, este avance comenzó en
el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos.
Este último enseñó la importancia del
estudio de los números para poder entender el mundo.
Algunos de sus discípulos hicieron importantes
descubrimientos sobre la teoría de números y la
geometría, que se atribuyen al propio
Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más
importantes geómetras fueron el filósofo atomista
Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula
correcta para calcular el volumen de una pirámide, e
Hipócrates de Cos, que descubrió que el área
de figuras geométricas en forma de media luna limitadas
por arcos circulares es iguales a las de ciertos
triángulos. Este descubrimiento está relacionado
con el famoso problema de la cuadratura del círculo
(construir un cuadrado de área igual a un círculo
dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su
origen en el mismo periodo son la trisección de un
ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo
cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos
problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos,
utilizando instrumentos más complicados que la regla y el
compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX
para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden
resolver utilizando solamente estos dos instrumentos
básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego
descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de
medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las
dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen
dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la
proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los
griegos sólo utilizaban los números naturales (1,
2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este
cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este
número, f, es lo que hoy se denomina número
irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la
teoría pitagórica de la proporción, basada
en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no
numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C.
por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se
puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo,
además, descubrió un método para demostrar
rigurosamente supuestos sobre áreas y

volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.
Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso
Museo de Alejandría, también escribió
tratados sobre óptica, astronomía y música.
Los trece libros que componen sus elementos contienen la mayor
parte del conocimiento matemático existente a finales del
siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la
geometría de polígonos y del círculo, la
teoría de números, la teoría de los
inconmensurables, la geometría del espacio y la
teoría elemental de áreas y
volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran
auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los
trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven
contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes
utilizó un nuevo método teórico, basado en
la ponderación de secciones infinitamente pequeñas
de figuras geométricas, para calcular las áreas y
volúmenes de figuras obtenidas a partir de las
cónicas. Éstas habían sido descubiertas por
un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como
tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la
primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de
Arquímedes. También investigó los centros de
gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos
flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la
tradición que llevó, en el siglo XVII, al
desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio,
escribió un tratado en ocho tomos sobre las
cónicas, y estableció sus nombres: elipse,
parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de
base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta
los tiempos del filósofo y científico
francés René Descartes en el siglo XVII.
Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia
no tuvo ningún geómetra de la misma
talla.

Los escritos de Herón de Alejandría en el
siglo I d.C. muestran cómo elementos de la
tradición aritmética y de medidas de los babilonios
y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de
los grandes geómetras. Los libros de Diofante de
Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma
tradición, aunque ocupándose de problemas
más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones
enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias
incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan
diofánticas y se estudian en el análisis
diofántico.

Las
matemáticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemáticas
puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de
óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los
grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes,
también escribieron sobre temas astronómicos. A
principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos
adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de
fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las
cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio
determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en
función del ángulo central correspondiente, que
crecía con un determinado incremento. Eran similares a las
modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la
trigonometría. En la primera versión de estas
tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C. — los arcos
crecían con un incremento de 7°, de 0° a 180°.
En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la
maestría griega en el manejo de los números
había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de
incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un
círculo con incrementos de ° que, aunque expresadas en
forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra
decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos
para resolver problemas con triángulos planos y se
introdujo un teorema —que recibe el nombre del
astrónomo Menelao de Alejandría— para
calcular las longitudes de arcos de esfera en función de
otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las
herramientas necesarias para resolver problemas de
astronomía esférica, y para desarrollar el sistema
astronómico que sería utilizado hasta la
época del astrónomo alemán

Johannes Kepler.

Los Mayas y las
matemáticas

Los mayas fueron parcialmente avanzados en
matemáticas y en astronomía. Si bien el primer uso
documentado del cero es de los mayas (en el año 36 a. C.),
se quedaron estancados ya que no conocían otros avances
como los decimales, los números complejos, el
cálculo infinitesimal, etc. En matemáticas
desarrollaron un sistema de numeración utilizando tres
símbolos y de base 20.En astronomía realizaron
cálculos de ciclos con gran precisión considerando
que eran realizados a vista simple, sin emplear instrumentos como
los telescopios. Sin embargo, eran inferiores comparados con los
avances que pueden realizarse gracias a estos instrumentos.
Además tampoco conocían la esfericidad de la
Tierra, el modelo heliocéntrico, etc.

Las
matemáticas en la Edad media (siglo V y el
XV)

En Grecia, después de Tolomeo, se
estableció la tradición de estudiar las obras de
estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de
enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado
hasta nuestros días se debe principalmente a esta
tradición. Sin embargo, los primeros avances
matemáticos consecuencia del estudio de estas obras
aparecieron en el mundo árabe.

Los árabes proporcionaron a la cultura europea su
sistema de numeración, que reemplazó a la
numeración romana. Este sistema prácticamente no se
conocía en Europa antes de que el matemático
Leonardo Fibonacci lo introdujera en 1202 en su obra Liber abbaci
(Libro del ábaco). En un principio los europeos tardaron
en reaccionar, pero hacia finales de la Edad Media habían
aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez
estimuló y alentó el progreso de la
ciencia.

Las
matemáticas en el mundo islámico

Después de un siglo de expansión en la que
la religión musulmana se difundió desde sus
orígenes en la península Arábiga hasta
dominar un territorio que se extendía desde la
península Ibérica hasta los límites de la
actual China, los árabes empezaron a incorporar a su
propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los
traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría
de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones
de particulares, escribieron versiones árabes de los
trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de
incorporación se había completado y los estudiosos
musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos
adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos
árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales
en aritmética de números enteros,
extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII,
el matemático persa Omar Jayyam generalizó los
métodos indios de extracción de raíces
cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas,
quintas y de grado superior. El matemático árabe
Al-JwDrizm­; (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el
título de uno de sus libros es el origen de la palabra
álgebra) desarrolló el álgebra de los
polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso
con infinito número de términos. Los
geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las
investigaciones de Arquímedes sobre áreas y
volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría
de las cónicas a la resolución de problemas de
óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir
ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y
esférica utilizando la función seno de los indios y
el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se
convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta
la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del
astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes
lograron importantes avances en la teoría de
números, mientras otros crearon una gran variedad de
métodos numéricos para la resolución de
ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas
adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el
siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los
árabes, junto con las traducciones de los griegos
clásicos fueron los principales responsables
del

crecimiento de las matemáticas durante la edad
media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci
y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en
álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar
en el comercio), se basaron principalmente en fuentes
árabes para sus estudios.

Las
matemáticas durante el Renacimiento

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de
importantes estudios matemáticos sobre problemas del
infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios
del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático
de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica
para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto
grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano
Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a
los matemáticos a interesarse por los números
complejos y estimuló la búsqueda de soluciones
similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta
búsqueda la que a su vez generó los primeros
trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo
XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático
francés Évariste Galois a principios del
XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a
utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El
matemático francés François Viète
llevó a cabo importantes estudios sobre la
resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran
influencia en muchos matemáticos del siglo posterior,
incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en
Inglaterra.

Avances en el
siglo XVII

Los europeos dominaron el desarrollo de las
matemáticas después del renacimiento. Durante el
siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en
las matemáticas desde la era de Arquímedes y
Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los
logaritmos por el matemático escocés John Napier
(Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo
francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos
más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los
astrónomos a

la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que
había permanecido aletargada desde la época
medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el
siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad
clásica. La obra Las aritméticas de Diofante
ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en
la teoría de números. Su conjetura más
destacada en este campo fue que no existen soluciones de la
ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n
es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último
teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el
álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes
acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la
publicación, en el Discurso del método (1637) de
Descartes, de su descubrimiento de la geometría
analítica, que mostraba cómo utilizar el
álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para
investigar la geometría de las curvas (Fermat había
hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El
Discurso del método, junto con una serie de
pequeños tratados con los que fue

publicado, ayudó y fundamentó los trabajos
matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo
acontecimiento que afectó a la geometría fue la
publicación, por el ingeniero francés Gérard
Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva
en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el
científico y filósofo francés Blaise Pascal,
su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que
había causado la aparición de la geometría
analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta
principios del siglo XIX, con los trabajos del matemático
francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del
siglo XVII fue la aparición de la teoría de la
probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat
sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado
problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero
llevó al científico holandés Christian
Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad
en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi
(1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto
Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su
Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién
descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su
teoría, que para entonces tenía grandes
aplicaciones en pujantes compañías de
seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático
más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el
descubrimiento por parte de Newton de los cálculos
diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó
en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e
Isaac Barrow, así como en los estudios de otros
matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura
Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de
Roberval. Unos ocho años más tarde, el
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió
también el cálculo y fue el primero en publicarlo,
en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el
que se usa hoy en el cálculo.

Situación
en el siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII,
los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus
trabajos para resolver diversos problemas de física,
astronomía e ingeniería, lo que les
permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de
las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques
Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el
matemático francés Gaspard Monge la
geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange,
también francés, dio un tratamiento completamente
analítico de la mecánica en su gran obra
Mecánica analítica (1788), en donde se pueden
encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas
dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al
estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de
números, y desarrolló la teoría de grupos.
Su contemporáneo Laplace escribió Teoría
analítica de las probabilidades (1812) y el clásico
Mecánica celeste (1799-1825), que le valió
el sobrenombre de "el Newton
francés".

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo
Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el
cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo,
mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a
seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin
embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos
para resolver problemas tanto matemáticos como
físicos utilizando el cálculo sólo
sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y
justificado de las ideas básicas del cálculo. La
teoría de Newton estaba basada en la cinemática y
las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el
tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en
el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran
inadecuados en comparación con el modelo lógico de
la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta
el siglo posterior.

Las
matemáticas en el siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin
Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y
apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión
del cálculo sólo en cantidades finitas y el
concepto de límite. Sin embargo, esta solución
planteó un nuevo problema, el de la definición
lógica de número real. Aunque la definición
de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no
fue él sino el matemático alemán Julius W.
R. Dedekind quien encontró una definición adecuada
para los números reales, a partir de los números
racionales, que todavía se enseña en la actualidad;
los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W.
Weierstrass también dieron otras definiciones casi al
mismo tiempo. Un problema más importante que surgió
al intentar describir el movimiento de vibración de un
muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII—
fue el de definir el significado de la palabra función.
Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph
Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático
alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su
definición en los términos actuales. Además
de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a
partir de entonces a las técnicas del cálculo, los
matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes
avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich
Gauss dio una explicación adecuada del concepto de
número complejo; estos números formaron un nuevo y
completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos
de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán
Bernhard Riemann.

Otro importante avance del análisis fue el
estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de
expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se
conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy
útiles tanto en las matemáticas puras como en las
aplicadas. Además, la investigación de funciones
que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a
Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una
aritmética de números infinitos. La teoría
de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y
criticada como "enfermedad de la que las matemáticas se
curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de las
matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva
aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en
fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se
consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la
geometría no euclídea. En esta geometría se
pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que
pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque
descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la
controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos
resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el
matemático ruso Nikolái Ivánovich
Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las
geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su
forma más general por Riemann, con su descubrimiento de
las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los
trabajos de Einstein, se le han encontrado también
aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes
matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud
muestran que ya en sus primeros años había
realizado grandes descubrimientos en teoría de
números, un área en la que su libro Disquisitiones
arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su
tesis doctoral presentó la primera demostración
apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo
combinó investigaciones científicas y
matemáticas. Por

ejemplo, desarrolló métodos
estadísticos al mismo tiempo que investigaba la
órbita de un planetoide recién descubierto,
realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios
del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies
curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones
topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la
demostración del teorema fundamental por Gauss fue la
transformación que ésta sufrió durante el
siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al
estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso
importante en esa dirección fue la invención del
álgebra simbólica por el inglés George
Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas
algebraicos que tienen muchas propiedades de los números
reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del
matemático irlandés William Rowan Hamilton, el
análisis vectorial del matemático y físico
estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n
dimensiones del matemático alemán Hermann
Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de
la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange.
Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar
una teoría sobre qué polinomios pueden ser
resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en
su momento el álgebra para estudiar la geometría,
el matemático alemán Felix Klein y el noruego
Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo
XIX. Klein la utilizó para clasificar las
geometrías según sus grupos de transformaciones (el
llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una
teoría geométrica de ecuaciones diferenciales
mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como
grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a
una forma general de la geometría conocida como
topología.

También los fundamentos de las matemáticas
fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre
todo por el matemático inglés George Boole en su
libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854)
y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia
finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la
teoría de Cantor. El matemático inglés
Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que
afectaba al propio concepto de conjunto.

Los matemáticos resolvieron este problema
construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas
como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin
determinar si podrían aparecer otras paradojas —es
decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes.
Hasta nuestros días, sólo se han encontrado
demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B
es consistente entonces la teoría A también lo es).
Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en
1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel,
según la cual en cualquier sistema de axiomas lo
suficientemente complicado como para ser útil a las
matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya
certeza no se puede demostrar dentro del sistema.

Las
matemáticas a finales del siglo XX

En la Conferencia Internacional de Matemáticos
que tuvo lugar en París en 1900, el matemático
alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert
era catedrático en Gotinga, el hogar académico de
Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial
en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su
clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su
Fundamentos de la matemática en colaboración con
otros autores. La conferencia de Hilbert en París
consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos
que él creía podrían ser las metas de la
investigación matemática del siglo que empezaba.
Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los
trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen
noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido
resuelto, la comunidad matemática internacional espera los
detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos
problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la
invención del ordenador o computadora digital programable,
primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los
orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de
relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue
Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX,
diseñó una máquina capaz de realizar
operaciones matemáticas automáticamente siguiendo
una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o
cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la
tecnología de su tiempo, y no fue hasta la
invención del relé, la válvula de
vacío y después la del transistor cuando la
computación programable a gran escala se hizo realidad.
Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las
matemáticas, como el análisis numérico y las
matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de
investigación matemática como el estudio de los
algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en
campos tan diversos como la teoría de números, las
ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta.
Además, el ordenador ha permitido encontrar la
solución a varios problemas matemáticos que no se
habían podido resolver anteriormente, como el problema
topológico de los cuatro colores propuestos a mediados del
siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes
para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos
países limítrofes deben tener distintos colores.
Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de
gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois
(Estados Unidos).

Las
matemáticas en la actualidad

Hoy en día, las Matemáticas se usan en
todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos,
entre los que se encuentran las ciencias naturales, la
ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso
disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con
ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de
resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas,
rama de las matemáticas destinada a la aplicación
de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos,
inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos
matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de
nuevas disciplinas. Los matemáticos también
participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta
la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones
prácticas de las matemáticas puras suelen ser
descubiertas con el paso del tiempo.

El conocimiento matemático del mundo moderno
está avanzando más rápido que nunca.
Teorías que eran completamente distintas se han reunido
para formar teorías más completas y abstractas.
Aunque la mayoría de los problemas más importantes
han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann
siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo
nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las
matemáticas más abstractas están encontrando
aplicación.

Algunos grandes
matemáticos de la historia

Algunos de los matemáticos
más emblemáticos han sido:

• Tales de Mileto: (hacia el 600
  a.C.). Matemático- Geomatra griego. Considerado uno de
  los siete sabios de Grecia.

Inventor del Teorema de Tales, que
establece, que si a un triángulo cualquiera le trazamos
una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2
triángulos semejantes. Dos triángulos son
semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son
proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes
equivale al paralelismo. Este teorema establece así una
relación entre el álgebra y la
geometría.

• Pitágoras: (582-500
  a.C.). Fundador de la escuela Pitagórica, cuyos
  principios se regían por el amor a la
  sabiduría, a las matemáticas y
  música.

Inventor del Teorema de Pitágoras,
que establece que en un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del
triángulo rectángulo: los que conforman el
ángulo recto). Además del teorema anteriormente
mencionado, también invento una tabla de
multiplicar.

• Euclides: (aproximadamente
  365-300 a.C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de
  Geometría", esta considerada como el texto
  matemático más importante de la
  historia.

Los teoremas de Euclides son los que
generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos
de los más conocidos:

– La suma de los ángulos interiores
de cualquier triángulo es 180°.

– En un triángulo rectángulo
el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos, que es el famoso teorema de
Pitágoras.

• Arquímedes: (287-212
  a.C.). Fue el matemático más importante de la
  Edad Antigua. También conocido por una de sus frases:
  "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro, fue el
  descubrimiento de la relación entre la superficie y el
  volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su
  principio más conocido fue el Principio de
  Arquímedes, que consiste en que todo cuerpo sumergido
  en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba
  igual al peso de fluido que desaloja.

• Fibonacci: (1170-1240).
  Matemático italiano que realizo importantísimas
  aportaciones en los campos matemáticos del
  álgebra y la teoría de números.
  Descubridor de la Sucesión de Fibonacci, que consiste
  es una sucesión infinita de números
  naturales.

• René Descartes:
  (1596-1650). Matemático francés, que
  escribió una obra sobre la teoría de las
  ecuaciones, en la cual se incluía, la regla de los
  signos, para saber el número de raíces
  positivas y negativas de una ecuación. Invento una de
  las ramas de las matemáticas, la geometría
  analítica.

• Isaac Newton: (1643-1727).
  Matemático inglés, autor de los Philosophiae
  naturalis principia mathematica. Abordó el teorema del
  binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y
  desarrolló un método propio denominado
  cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del
  cálculo a partir de la geometría
  analítica desarrollando un enfoque geométrico y
  analítico de las derivadas matemáticas
  aplicadas sobre curvas definidas a través de
  ecuaciones.

Partes: 1, 2