El mejor de todos los mundos posibles. La idea de la optimización

Prefacio • Esta es una corta y estrecha presentacion de una larga y amplia historia • Si usted desea una más larga y más amplia (y por lo tanto cerca de la verdad), versión de la historia, por favor vaya al libro: “The best of all possible worlds” Chicago University Press, 2007


El Renacimiento Galilei 1564 -1642 Leibniz 1646 - 1716 Descartes 1596 - 1650 Newton 1643 - 1727


Los dos pilares de la sabiduría • Y vio Dios todo lo que había hecho, y he aquí que era bueno – (Genesis, 1-31) • El universo no puede ser leído hasta que hayamos aprendido el idioma y familiarizarse con los caracteres en que está escrito. Lo que está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales los medios es humanamente imposible comprender una sola palabra – (Il Saggiatore, 1623)


Una cuestion basica: Esta el universo optimizado ? Un caso de prueba: La teoría de la luz:


Reflexion Angulo de incidencia = angulo de reflexion. i=r (camino real de la luz es de color verde - camino de prueba es de color rojo)


Heron de Alejandria (10-70 AD) demostró que la luz toma el camino más corto


Prueba de Heron Se basa en la prueba geometrica que el camino más corto entre dos puntos es una línea recta


Refraccion La Luz ya no toma el camino mas corto sin i = 1.3 sin r


Fermat (1601-1665) La luz no toma el camino mas corto, sino el mas rapido


El principio de Fermat del menor tiempo La luz viaja 1,3 veces más rápido en el aire que en el agua El camino verde no es el más corto, pero si el más rápido


La regla de Fermat y 12 10 8 6 4 2 •5 •4 •3 •2 •1 0 1 2 3 4 5 x En el punto mínimo, la derivada es nula (la tangente es horizontal) ‘ f (x) = 0 sin i = 3.2 sin r () ul ,2


Quien optimiza? El principio en que se construye la prueba, es decir, que la naturaleza siempre actúa por la forma más corta y sencilla, no es más que un principio moral, no físico, que no es ni puede ser la causa de cualquier efecto de la naturaleza. (Clerselier, carta a Fermat, 1662) De todo corazón abandonaré mi conquista pretendida en la física, siempre que me dejen en posesión de mi problema geométrico, toda pura y en abstracto, por la que se puede encontrar el camino de un objeto en movimiento que atraviesa dos medios diferentes, y que trata de poner fin a su movimiento tan pronto como sea posible (Fermat, carta a Clerselier, 1662)


Las encrucijadas Pierre Louis Moreau de Maupertuis 1698 - 1759 Leonhard Euler 1707 - 1783 Voltaire 1694 - 1778


El principio de mínima acción El principio general ... es que la cantidad de acción necesaria para cambiar algo en la naturaleza sea la menor posible (Maupertuis, 1745) La acción es proporcional a la distancia multiplicada por la velocidad a lo largo del camino (Maupertuis, 1744)


Euler demuestra que el principio de mínima acción contiene todas las leyes conocidas de la mecánica, además de algunas nuevas: el movimiento libre de un cuerpo rígido, movimiento en un campo gravitatorio constante, la atracción desde un centro fijo El joven Lagrange, formula en 1 754 las ecuaciones fundamentales de la mecanica: d ?L = ?L 1 = i = n dt ?xIi ?xI que son el equivalente moral de la regla de Fermat f ' (x) = 0 Ju uly , 7


Dios, el optimizador Desde que la constitucion del universo es perfecta, y completada por un muy sabio creador, absolutamente nada ocurre en este mundo que no pueda ser explicado por algún argumento de maximizacion o minimizacion (Euler, 1744) Cuando se reconozca que todas las leyes de la naturaleza se basan en el principio de la mejora, nadie podrá dudar de que deben su institución a un ser todopoderoso y omnisciente (Maupertuis, 1752)


Maupertuis sufrio dos muertes • En las manos de Voltaire – Historia del Dr. Akakia y el native de Saint-Malo (1753) – Candide (1759) • En las manos de Chevalier d’Arcy – refuta el principio de mínima acción, dando un contra-ejemplo (1752)


Voltaire • Acuso a Maupertuis de plagiar a Leibniz – El único testigo, Henzi, fue decapitado en Berna en 1749 • Ridiculiza a él como el doctor Pangloss: – Todo está bien cuando termina bien, en el mejor de los mundos posibles – "Porque si todo esto no hubiera ocurrido, no estaríamos aquí sentados a la sombra comiendo pistachos"


Le chevalier d’Arcy Un espejo esferico, con una fuente de luz en O B A 0 El rayo OA se refleja otra vez en O, pero no El rayo OB. Sin embargo, OB es más corto y más rápido que la OA


2 Estacionaridad versus optimizacion 20 •4 •4 •2 z 10 0 0 0 •2 Ju 4 y •10 •20 x2 4 uly


La posteridad de Maupertuis Henri Poincaré 1854 1912 Richard Feynman 1918 1988 Mikhail Gromov 1943-


La Optimización como una herramienta de modelado • Para optimizar, se necesita un conjunto de soluciones factibles X y un criterio U (x) • Una solucion optima xopt satisface: U(xopt) = U(x) para todo x • La naturaleza no optimiza: – El criterio fue encontrado, pero no se maximiza • Los seres humanos optimizan ? – El enfoque económico del comportamiento humano


¿Que es la racionalidad? • La habilidad para realizar elecciones coherentes: Si yo Prefiero A a B y B a C, preferiría A a C A C B


Racionalidad en el modelado • Dado un conjunto de decisiones factibles X, • Asignar una utilidad U (x) para cada x en X • Elija la x con la más alta U (x) • Este procedimiento asegura la coherencia: Si U(a) > U(b) y U(b) > U(c),entonces U(a) > U(c)


X = Los individuos tienen funciones de utilidad? Cada consumidor se supone elige un conjunto de bienes (x 1 ... x N) maximiza su utilidad u (x )s e g u n s u p r e s u p u e s t o ?Nn =1 pn x n < w , donde pn es el precio unitario del bien n y w es la riqueza individual El resultado de consumo del bien n es una function X n (p1 ... pN ) d e l Sistema de precios.Se observa que s e d e b e n satisfacer las relaciones: ?X i ?p J + ? pk k ?X i j ?pk ?Xj ?pi + ? pk k ?Xj ?pk X i Encuesta de gastos de una Familia Canadiense (7 dias desde 1974 a 1992) Browning and Chappori (1994) () uly 1 , 2 7 1 1


Toma de decisiones colectivas Un grupo se compone de las personas con: – Diferentes dotes (riqueza, talento), algunos de los cuales se pueden redistribuir – Diferentes utilidades – La capacidad de tergiversar: se puede ocultar información privada, o participar en acciones ocultas que se verán afectados diversamente por el resultado de las decisiones del grupo. La toma de decisiones ahora es un proceso


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Toma de decisiones colectivas Hay dos grandes problemas que enfrenta cualquier proceso de decisión colectiva: El problema de la incoherencia El problema de la implementacion


• El problema de la incoherencia • El dictador benevolente y omnisciente • Regla de la mayoría: la paradoja de Condorcet - La simple mayoría prefiere A a B - La simple mayoría prefiere B a C - La simple mayoría prefiere C a A Teorema de Arrow: una decisión colectiva depende tanto del procedimiento como de las preferencias individuales


El problema de la Implementación • 1000 individuos en un grupo G. • Cada uno contribuye con 0 or 100 CHF • Total se multiplica por 10 y se distribuye entre el G (no contribuyentes incluidos) • Potencial de ganancia: 900 CHF para cada


• La ganancia individual: - 900 CHF si todos contribuyen - 999 CHF si yo solo eludo - (1000 – n) CHF si hay n-1 de nosotros que eluden • Siempre estoy mejor eludiendo, y así es para todos los demás • Así que todos eludimos, y terminamos con las ganancias 0, renunciando a los beneficios potenciales de 999 CHF cada • Esto se conoce como free-riding


Algunas lecciones de la teoría Los grupos no optimizan: Personalización de los grupos es engañosa: ni "el pueblo" ni "la comunidad internacional" tiene una voluntad independiente del proceso por el cual se afirma Pequeños grupos que actúan por intereses especiales tienen muchas más probabilidades de influir en las políticas públicas de los grandes grupos que actúan por los intereses generales


• La solución de mercado Los precios de equilibrio que la sociedad pueda llegar a una solución colectiva a través de optimización individual – Cada consumidor o productor maximiza su propia utilidad en las restricciones presupuestarias – El resultado es eficiente en un sentido preciso – "Vicios privados por la Dirección diestra de un hábil político se puede convertir en beneficios Publicos" (Mandeville, 369).


• Supuestos especiales se requieren. si no se cumplen, hay fallas de mercado: – Externalidades: mi consumicion te influencia – Bienes públicos: los que se benefician incluso si yo no pago


El informe Stern sobre la economía del cambio climático (2007) El cambio climático es global en sus causas y consecuencias, y la acción colectiva internacional será crucial para una respuesta eficaz, eficiente y equitativa a la escala requerida. Esta respuesta requiere más cooperación internacional en muchas áreas [...] El cambio climático presenta un desafío único para la economía: es el fracaso del mercado más serio y amplio que jamás se haya visto.


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