Reflexiones sobre las funciones reales periódicas y la existencia del periodo principal
- Abstract
- Introducción
- Teorema
1 - Teorema
2 - Teorema
3 - Teorema
4 - Teorema
5 - Teorema
6 - Teorema
7 - Teorema
8 - Bibliografía
Abstract
In this paper we expose a sufficient criterion to the
existence about a principal period of a periodic
function:
It is also shown that in certain condition there is a
lower bound of the principal period. If a period is equal to this
lower bound then this period is the principal period.
Introducción
Por recurrencia se puede demostrar que la suma de un
número finito de períodos es un
período.
Observación 0:
La contradicción obtenida demuestra que 0 no
puede ser un punto de acumulación de M.
Teorema
1
Obviamente, en este caso M es el conjunto de los
números racionales estrictamente positivos y en M no
existe un elemento menor o igual que todos los otros. Por tanto
la función d de no tiene período
principal.
Lo mismo se puede afirmar de la función de
Dirichlet, definida por:
Por tanto, 1 es el período principal de la
función h.
A continuación se comprobará que en
ciertas condiciones existen cotas inferiores del período
principal. La existencia de una cota inferior del período
principal facilitará averiguar si un período es
principal.
Lema 2:
Lema 3:
Si m es el menor número natural cumpliendo la
condición (8),
Si m es el menor número natural cumpliendo (8'),
, y así el lema queda demostrado.
Lema 4:
Teorema
2
Observación 2:
Teorema
3
En los otros casos posibles la demostración se
hace de manera análoga.
Aplicación 1:
Teorema
4
Teorema 4":
Por ejemplo
Aplicación 2:
Para demostrar la desigualdad (19), hay que observar
que:
Teorema
5
Luego, de
Las contradicciones obtenidas en los apartados a) y b)
demuestran el teorema.
Teorema
6
Demostración: 1) Es evidente.
Pero, según (20), (22) y (23) son equivalentes
a
Observación 3:
Teorema
7
Demostración: Obviamente,
Supongamos ahora que
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Si
Entonces, según el teorema 3,
Evidentemente,
Por otra parte, de
Teorema
8
Demostración:
Ejemplo 4:
Observación 4:
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
Bibliografía
N. Bourbaki, Eléments de Mathématique, Livre
III, Topologie Général, Chapitre 7, (.1, 6.
Miron Nicolescu, Analiza matematica, I-III, Editura
Technica, 1958, Bucarest.
Autor:
Aladar Peter Santha