Flujo de entrada y flujo desarrollado

1.3.- Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
FLUJO DE ENTRADA Y FLUJO DESARROLLADO. 1.3.1.- FLUJO LAMINAR
DESARROLLADO: Cuando se consideran los flujos internos el
interés se concentra principalmente en los flujos
desarrollados en tuberías. Se dice que un flujo laminar
desarrollado se presenta en el interior de una tubería
cuando el PERFIL de velocidad NO CAMBIA en la dirección
del flujo. La figura nos muestra un flujo laminar desde la
entrada a la tubería y donde se tiene un flujo
completamente uniforme (no cambia el perfil de velocidad con la
sección en 1) hasta la sección 3 ( a una distancia
LE de la entrada) y donde YA tenemos un flujo laminar
COMPLETAMENTE DESARROLLADO, existiendo entre estas dos secciones
una zona de transición definida en el esquema mostrado en
la sección 2. El flujo tiene una velocidad UNIFORME U en
la sección 1 de entrada a la tubería y en esta
sección existe una delgada capa viscosa en la pared del
tubo y en la zona de entrada y debido a la condición de NO
deslizamiento, la velocidad del fluido en contacto con la pared
es cero a lo largo de TODO el tramo de tubería. La capa
viscosa crece a lo largo del núcleo INVISCIDO Li (sin
viscosidad) debido a la fuerza de corte RETARDADORA que ejerce la
superficie sólida de la pared del tubo sobre el flujo
hasta que los esfuerzos viscosos dominan TODA la sección
transversal. 1

zona Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica En
secciones sucesivas a lo largo de la tubería en esta
sección de entrada Li , el efecto de la viscosidad y la
superficie sólida se siente cada vez mas lejos dentro del
flujo. Para flujo incompresible, la ecuación de
conservación de la masa requiere que la velocidad en la
línea central de la tubería sea MAXIMA y que esta
aumente con la distancia a partir de la entrada. La velocidad
promedio en cualquier sección de la tubería U, debe
ser igual a Uo, que es la velocidad uniforme en la entrada y
tenemos que: U = 1/A ?A u dA ; U = Uo Suficientemente lejos de la
entrada de la tubería (hasta Li), la capa limite que se
desarrolla en la pared de la tubería alcanza la
línea central de la misma y el flujo se vuelve ENTERAMENTE
VISCOSO. Luego el perfil de velocidades va cambiando en la de
DESARROLLO, a causa de los efectos viscosos, hasta que logra
transformarse en un perfil COMPLETAMENTE DESARROLLADO (distancia
LE) y de ahí en adelante el perfil se mantiene inalterable
si el flujo es estable. La longitud del núcleo inviscido
es de un cuarto a un tercio de la LONGITUD de ENTRADA (LE).
2

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica Para un flujo
laminar circulando por una tubería circular y con un
perfil UNIFORME en la entrada, la longitud de entrada (LE) esta
dada por: LE/D = 0.065 Re ; Re = UD/? D = Diámetro
tubería; U = Velocidad promedio; ? = Viscosidad
cinemática El flujo laminar en una tubería solo
puede esperarse para Re < 2300. Para esta situacion la
longitud de entrada para flujo laminar en tuberias puede llegar a
ser: LE = 0.065 Re D = 0.06 (2300) D = 138 D Para un flujo
laminar en un canal de alta relacion de aspecto(ancho dividido
por la altura) con un perfil uniforme a la entrada, LE es: LE/h =
0.04 Re ; Re = U h/? h = Profundidad del canal; U = Velocidad
promedio; ? = Viscosidad cinemática La longitud del nucleo
inviscido es aproximadamente un tercio de la longitud de entrada.
No puede existir flujo laminar por encima de Re = 7700. 3

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica DESARROLLO EN FLUJO
LAMINAR: 4

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica 1 1-2 2-3 3- 8 ? ? ?
? Entrada (Flujo uniforme pues existe capa viscosa delgada en la
pared). La capa limite de pared viscosa CRECE a lo largo de la
longitud de centro NO VISCOSA (Li) hasta que los esfuerzos
viscosos DOMINAN toda la sección transversal del flujo. El
perfil de velocidades SIGUE cambiando en la región de
DESARROLLO (Ld) a causa de los efectos viscosos. El perfil de
velocidades SIGUE cambiando en la región de DESARROLLO
(Ld) a causa de los efectos viscosos. 5

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica 1.3.2.- FLUJO
TURBULENTO DESARROLLADO: Para flujo turbulento por una
tubería la situación es un poco diferente y vemos
lo que sucede con el perfil de velocidades entre la entrada y en
la zona de desarrollo en la figura mas abajo. La mezcla creciente
entre las capas de fluido, debido a la turbulencia, provoca el
CRECIMIENTO mas rápido de la capa limite. El núcleo
inviscido también existe y va seguido de la región
de desarrollo del perfil de velocidades, el cual termina cuando x
= Ld, sin embargo se requiere de una longitud adicional para que
se desarrolle la estructura detallada del flujo turbulento. Los
experimentos muestran que el perfil de velocidad media se vuelve
COMPLETAMENTE desarrollado dentro de 25 a 40 diámetros de
tubería desde la entrada. La estructura detallada es
importante en ciertos cálculos de transferencia de calor
por la pared del tubo 6

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica El núcleo
inviscido existe y va seguido de la región de desarrollo
del perfil de velocidad igual que en el caso laminar. Esta
región termina cuando x = Ld y después comienza la
zona de flujo turbulento completamente desarrollado,
requiriéndose para esto una longitud adicional para
obtener el desarrollo. Para un flujo con numero de Reynolds alto
( Re > 105 ) por una tuberia y donde las turbulencias se
inician cerca de x = 0, tenemos que se cumple: Li / D ˜ 10;
Ld / D ˜ 10 ; LE / D ˜ 10 Para flujos con Re = 4000,
las longitudes de desarrollo serán mayores
(aproximadamente por cinco), y esto es así pues con Re
bajos, la transición a flujo turbulento ocurre en la
región de desarrollo del perfil, pues una gran parte de la
región de entrada es laminar con un cortante en la pared
relativamente bajo. En la figura, se observa el desarrollo del
perfil de velocidad en flujo de un fluido turbulento por una
tubería. 7

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica DESARROLLO EN FLUJO
TURBULENTO 8

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica 1- 2? La capa limite
de pared viscosa CRECE a lo largo de la longitud de centro NO
VISCOSA (Li) hasta que los esfuerzos viscosos DOMINAN toda la
sección transversal del flujo. 2- 3? El perfil de
velocidades SIGUE cambiando en la región de DESARROLLO
(Ld) a causa de los efectos viscosos, y x = Ld. 3- 4? Distancia
ADICIONAL, para que el perfil NO cambie x = LE Para esta
región la ecuación del perfil de velocidades es:
U(y) = Umax (y / Ro)1/n 5 < n < 10 Li / D ˜ 10 ; Ld/D
˜ 40 ; LE/D ˜ 120 9

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica En la figura mas
abajo se muestra la variación de presión en
función de x desde la entrada a la tubería y se
puede observar que a una distancia x mas o menos alejada de la
entrada , la presión disminuye linealmente con x. Si la
transición a flujo turbulento ocurre cerca del origen
(altos Re), la transición se inicia cerca de Li y el
gradiente de presión, (pendiente) en la región de
entrada es mayor que en la zona de flujo desarrollado. Si la
transición ocurre cerca de Ld (Re bajos), la
variación lineal comienza al final del proceso de
transición y el gradiente de presión en la
región de entrada es menor que el del flujo desarrollado.
Para un flujo laminar la variación de la presión se
parece cualitativamente a la asociada con grandes Re y el
gradiente es mayor a la del flujo desarrollado a causa del MAYOR
esfuerzo cortante en la pared y el flujo de cantidad lineal de
movimiento creciente. 10

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica VARIACION DE LA
PRESION EN FLUJO DE TUBERIAS HORIZONTAL PARA FLUJO LAMINAR Y
TURBULENTO. 11

• Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
1.4.- FLUJO LAMINAR ENTRE PLACAS PARALELAS (FLUJO DE POISEUILLE).
Consideraremos el flujo laminar completamente desarrollado de un
fluido continuo incompresible entre placas paralelas infinitas y
ambas placas fijas (estacionarias) y el fluido moviéndose
a causa de un gradiente de presión en forma estable y
uniforme por las mismas y bajo un régimen laminar. Sean
dos laminas paralelas e infinitas, colocadas horizontalmente y
entre las cuales fluye un liquido viscoso incompresible de
densidad ? y viscosidad dinámica µ. Se supone que
las placas son infinitas y que existe un gradiente de
presión NO NULO, que mantiene al fluido en flujo
permanente y estable y el régimen es LAMINAR. Se postula,
en consecuencia, que el fluido se mueve paralelamente a las dos
laminas. Las ecuaciones funcionales fundamentales serán:
Campo cinemática general: u = ( ux ; uy ; uz ) = ux i + uy
j + uz k 12

• ( x Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica ux
= ux ( x , y, z, t ) ; uy = uy ( x , y, z, t ) ; uz = uz ( x , y,
z, t ) Las ecuaciones DINAMICAS del fluido se representan por las
ecuaciones de NAVIER-STOKES (Ecuaciones dinámicas de un
fluido Newtoniano) y cuya expresión vectorial y
componentes son: a = – 1/? p + G + ? 2u + 1/3 ? • u ) ax =
-1/? dp/dx + Gx + ? 2u + 1/3 ? dT/dx ay = -1/? dp/dy + Gy + ? az
= -1/? dp/dz + Gz + ? 2uy + 1/3 ? dT/dy 2uz + 1/3 ? dT/dz
13

• • Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica El
termino T es: . T = e xx + e yy + e zz = ?• u = dux / dx +
duy / dy + duz / dz Sabemos además que la ecuación
de continuidad (Conservación de la masa ) es: d?/ dt = d?/
dt + ?• (?u) ( ? = ? (x , y , z , t)) Si el fluido es
Incompresible ? d?/ dt = 0 (? = constante) Si el flujo es
PERMANENTE en el tiempo ? d?/ dt = 0. Por lo tanto la
ecuación de continuidad para un fluido incompresible,
permanente y uniforme es: ? ?• u = 0 ? ? • u = 0
14

• u • Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica La
aceleración del fluido producida por el gradiente de
presión expresada en forma vectorial (derivada sustancial
del vector velocidad en el tiempo) es: a = du / dt = d u / d t +
u • Las componentes en coordenadas cartesianas serán:
ax = dux / dt = dux/dt + uxdux/dx + uydux/dy + uzdux/dz ay = duy
/ dt = duy/dt + uxduy/dx + uyduy/dy + uzduy/dz az = duz / dt =
duz/dt + uxduz/dx + uyduz/dy + uzduz/dz Las componentes
generalizadas de las fuerzas de campo (gravitatorias) son: G = G
( Gx , Gy , Gz ) 15

1. 2. 3. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
Todas estas ecuaciones debemos adaptarlas al problema planteado y
asi tener el modelo matematico de dicho problema. La condicion de
frontera entre liquido y pared solida de las placas esta definida
por la condicion de NO DESLIZAMIENTO en la pared debido a las
fuerzas de corte viscosas: y = 0 ? ux = 0 ; y = b ? ux = 0 Para
el modelo sugerido en este problema tenemos que las condiciones
cinemáticas son: ux = ux (x , y) ; uy = 0 ; uz = 0 La
ecuación de continuidad aplicada a este problema nos
indica que: ? • u = dux / dx + duy / dy + duz / dz = 0 Como
uy = 0 ; uz = 0 ? dux / dx = 0 ? ux = ux (x ) Flujo TOTALMENTE
desarrollado en la direccion x 16

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica FLUJO ENTRE PLACAS
PARALELAS 17

5. 2u 6. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
Ecuaciones del movimiento (Navier-Stokes): a = – 1/? p + G + ? ax
= dux/dt = dux/dt + uxdux/dx + uydux/dy + uzdux/dz = -1/? dp/dx +
Gx + ? ay = duy/dt = duy/dt + uxduy/dx + uyduy/dy + uzduy/dz =
-1/? dp/dy + Gy + ? az = duz/dt = duz/dt + uxduz/dx + uyduz/dy +
uzduz/dz = -1/? dp/dz + Gz + ? Campo de fuerzas gravitacionales:
Gx , Gy , Gz 2u 2u 2u x y z Gx = 0 ; Gy = -g ; Gz = 0 18

7. 1) 3) 8. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
Las ecuaciones de Navier-Stokes quedan finalmente como: 0 = -1/?
dp/dx + ? d2ux/ dy2 2) 0 = -1/? dp/dy – g 0 = -1/? dp/dz ? dp/dz
= 0 ? p = p (x,y) Derivando las ecuaciones 1) ; 2) y 3) respecto
a x tenemos que: 0 = -1/? d/dx (dp/dx) 0 = -1/? d2p/ dx dy =
-1/?d/dy (dp/dx) ? dp/dx = Constante 0 = -1/? d2p/ dx dz =
-1/?d/dz (dp/dx) 19

9. 10. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Se
puede escribir por lo tanto que: dp/dx = -K (K > 0) Esta
ecuacion nos indica que la presion DISMINUYE en la direccion del
movimiento y la causa es debido a las fuerzas disipativas
viscosas. De la ecuacion 1) tenemos que: ? d2ux/ dy2 = 1/? dp/dx
( se cambia d por d pues es unidimensional) d2ux/ dy2 = 1/ (??)
dp/dx = 1/µ dp/dx = – K / µ d/ dy (dux/dy) = – K /
µ ? ?d(dux/dy) = – ?K/µ dy ? dux/dy = – K/µ y +
C1 ?dux = – ? (K/µ)y dy + ? C1y ? ux = – (K/µ)y2/2 +
C1y + C2 20

12. 13. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
11. Condiciones de frontera: y = 0 ? ux = 0 ; y = b ? ux = 0 y =
0 ? ux = 0 ? C2 = 0 ? 0 = – (K/µ)b2/2 + C1b ? C1 = Kb /
(2µ) El campo de velocidades (distribución de
velocidades) será: ux = K/ (2µ) [ by – y2]
(distribucion parabolica) ux (max.) si y = b/2 ? ux (max.) =
Kb2/(8µ) En las paredes; ux = 0 (condicion de No
deslizamiento) Caudal o flujo Volumetrivo (Q) Q = ?b u • dA
= ?b ux dy = (1/12) Kb3/µ K = – dp/dx = – ?p / L y ?p = p2
– p1 ? ?p < 0 ? K = ?p/L Q = (1/12) Kb3/µ = (1/12) ?p/L
b3/µ (caudal es función de ?p) 21

14. 16. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
Distribucion de esfuerzos cortantes. ? xy = µ [ d uy / dx +
d ux / dy] = µ dux / dy ? xy = µ d/dy [ K/(2µ)
(by – y2)] = K/2 [ b – 2y] 15. Condiciones de
frontera. y = 0 = b ? ? max. ? ? xy max = Kb/2 = – Kb/2 ; si y =
b/2 ? ? xy = 0 DISTRIBUCION DE ESFUERZOS DE CORTE Y VELOCIDADES.
22

17. 18. f) Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
Disipacion de energia por unidad de tiempo (Potencia disipada) dW
= ? dux/dy dV = (µ dux/dy) dux/dy dV = µ (dux/dy)2dV
dW /dV = µ (dux/dy)2 = µ d/dy[K/(2µ) (by
– y2)]2 = K2/(4µ) (b – 2y)2 a) Las ecuaciones
del movimiento junto a la ecuacion de conservacion de la masa nos
dan: Campo de velocidades; campo de presiones; caudal volumico;
distribucion de los esfuerzos de corte. b) La velocidad maxima
ocurre en el centro de la tuberia y esta es proporcional al
gradiente de presion y al cuadrado de la separacion entre placas
e inversamente proporcional a la viscosidad dinamica del fluido.
c) El caudal volumico es proporcional al gradiente de presion, al
cubo de la separacion entre placas e inversamente proporcional a
la viscosidad del fluido. d) El factor K (constante) es
proporcional al gradiente de presion e inversamente a la longitud
de la tuberia. e) Los esfuezos de corte varian linealmente y son
proporcionales al factor K. La disipacion de energia por unidad
de volumen es proporcional al cuadrado del factor K e
inversamente proporcional a la viscosidad. 23

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica 1.5.- FLUJO LAMINAR
EN CILINDRO (FLUJO TUBERIA). Consideraremos el flujo laminar
completamente desarrollado de un fluido continuo incompresible
desplazándose por una tubería y el fluido
moviéndose a causa de un gradiente de presión en
forma estable y uniforme por las mismas y bajo un régimen
laminar. Por la geometría del problema es conveniente
expresar las ecuaciones de Navier–stokes (ecuacion del
movimiento) y la ecuacion de continuidad en coordenadas
cilindricas. FLUJO LAMINAR POR UNA TUBERIA 24

1. 2. 3. 4. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
Ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible en
coordenadas cilindricas (Componente de la aceleracion en la
direccion z). az = duz/dt + urduz/dr + (duz/d?)u?/r + uz(duz/dz)
= -1/?(dp/dz) + Gz + ? [1/r d/dr (rduz/dr) + 1/r2(d2uz/d?2) +
d2uz/dz2] Ecuacion de continuidad para un fluido incompresible en
coordenadas cilindricas. d(r ur)/dr + du?/d? +d(r uz)/dz = 0
Condiciones del problema. u? = 0 ; ur = 0 ; uz = uz (r, z, t) ;
Gz = 0 De la ecuacion de continuidad y con las condiciones del
problema. duz/dz = 0 ? uz = uz (r, t) ; Como el flujo es
permanente ? uz = uz ( r ) 25

5. 6. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica La
ecuación de Navier-Stokes, tomando en cuenta las
condiciones del problema nos queda como: 0 = -1/?(dp/dz) + ? 1/r
d/dr (rduz/dr) Sabemos que dp/dz = -K ( K>0) y como uz = uz (
r ) ? 0 = K/? + ?/r d/ dr (r duz / dr) ? d/ dr (r duz / dr) = –
(K/µ) r ? ? d (r duz / dr) = – ? (K/µ) r dr ? r duz /
dr = – (K/2µ) r2 + C1 ? duz / dr = – (K/2µ) r + C1/r
? ? duz = – (K/2µ) ?r dr + ?(C1/r) dr ? uz = – (K/2µ)
r2/2 + C1 ln r + C2 26

7. 8. 9. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica
Condiciones de frontera (contorno). uz = 0 ? r = R ; uz finito ?
r = 0 ? C1 = 0 ? 0 = – (K/2µ) r2/2 + C2 ? C2 = (K/4µ)
R2 Distribución de velocidades (Campo velocidades). uz = –
(K/4µ) r2 + (K/4µ) R2 = K/4µ [R2 – r2 ] Si r =
0 ? uz = K R2 / 4µ ; r = R ? uz = 0 Caudal volúmico
(Q). Q = ? u • dA = ?R uz 2 p r dr = K 2p/4µ ?R (R2 –
r2) r dr 27

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica Q = Kp/ (2 µ)
?R (R2r – r3)dr = Kp/(2 µ) [R2 r2/2 – r4/4]0R =
Kp/(2 µ)[R4/2 – R4/4] Q = Kp/(2 µ) [ ( 2R4 –
R4) / 4] POISEULLI) = Kp/(2 µ) R4/ 4 = Kp/(8 µ) R4
(Formula 10. Velocidad media. Um = Q / A = Q / (p R2) = Kp R4 /
(8 µ p R2) = KR2 / (8 µ) 11. Perdida de Carga ( hf )
Un aspecto importante del flujo de fluidos por tuberías es
la evaluación de la PERDIDA DE PRESION a lo largo de ella,
debido a los EFECTOS VISCOSOS y de TURBULENCIA y en este paso
encontraremos una formula para evaluarla para un régimen
de fluido laminar circulando por el interior de una
tubería. 28

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica Sabemos que el
gradiente de presión en flujos desarrollados, tanto
laminares como turbulentos esta dado por la siguiente
expresión. dp/dz = -K ? – dp/dz = K ? (p1 – p2 )/L =
(8 Umµ)/R2 = (8 Um µ)/(D/2)2 K = (8 Um µ)/R2 =
?p / L = (p1 – p2 )/L = (32 Um µ) / D2 ( perdida de
presión por unidad de longitud a lo largo de la
tubería). Por otro lado sabemos que: hf = ?p / ? (perdida
de carga o perdida de energía por unidad de peso de fluido
transportado) ? ?p = ? hf Como K = ?p / L = ? hf / L = (32 Um
µ) / D2 ? hf = (32 Um µ L ) / ( ?D2 ) hf = (32
µ L Um) / ( ?D2 ) * (Um / Um ) = 32 µ L / (? g D2) *
( Um2 / Um ) * ( 2 / 2 ) hf = ( µ / ? ) / ( Um D) 64 (L /
D) (Um2 / 2g ) = ? / ( Um D) 64 (L / D) (Um2 / 2g ) Sabemos que
el numero de Reynolds es: Re = Um D / ? 29

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica Introduciendo el
numero de Reynolds tenemos finalmente que: hf = ( 64/ Re ) (L /
D) (Um2 / 2g ) Esta es la formula para calcular la perdida de
carga (perdida de energia por unidad de peso de fluido
transportado por la tuberia) para un fluido newtoniano en regimen
laminar. Si llamamos f = 64 / Re ( adimensional), tenemos que. hf
= f (L / D) (Um2 / 2g ) Donde f se conoce como el factor de
friccion y es funcion de el numero de Reynolds y de la rugosidad
relativa de la tuberia f = f ( Re ; e / D ) 30

DIAGRAMA DE MOODY

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica 1.6.- FLUJO LAMINAR
ENTRE CILINDROS ROTATORIOS. Un flujo laminar de fluido totalmente
desarrollado y continuo entre cilindros concéntricos
rotatorios también tiene solución exacta de las
ecuaciones de Navier – Stokes. Este modelo es el que se
utiliza en la teoria de la lubricacion (Tibologia), donde el
fluido es un aceite lubricante. La solucion para flujo laminar es
valida para Re = 1700 y la velocidad angular del cilindro externo
? = 0. Se ignoran las fuerzas de campo ya que se supone los
cilindros en posición vertical. 32

1. 2. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica El
momento de torsión resultante que actúa sobre este
elemento de fluido es cero porque no existe aceleración
angular, por lo tanto: ?2prL x r – (? + d?)2p(r + dr)L x (r
+ dr) = 0 La longitud L debe ser GRANDE respecto a la holgura (R2
–R1), asi se puede modelar en el plano cilindrico
(consistente con la realidad). Si ignoramos los terminos de mayor
grado y en el limite la ecuacion anterior se reduce a: 2? + r d?
/ dr = 0 La ecuación constitutiva unidimensional del
esfuerzo de corte en coordenadas cilíndricas es (Ver tabla
5.1 Potter). ?r? = µ [ r d/dr (v?/r) + 1/r (dvr /d?) ]
33

3. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica Sabemos que los
esfuerzos de corte son: ? = – ?r? , por lo tanto de la
ecuación constitutiva tenemos que: ? = – ?r? = – µ r
d/dr (v?/r) (vr = vz = 0) Reemplazando en la ecuación de
apartado 1 tenemos que: – 2 µ r d/dr (v?/r) –
rµ d/dr [r d/dr (v?/r)] = 0 Dividiendo entre µr y
multiplicando por dr e integrando, tenemos que: 2 (v?/r) + r d/dr
(v?/r) = A d/dr (v?/r) = 1/r (dv? / dr) – v? / r2 34

4. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica dv? / dr + v?/r = A
? 1/r d/dr ( r v? ) = A Multiplicando por rdr e integrando
nuevamente tenemos que: v? ( r ) = (A/2) r + B/r Las condiciones
limites son: v? = R1? si r = R1 y v? = R2? si r = R2. Con estas
condiciones evaluamos las constantes A y B. A = 2 [ (?2 R22
– ?1 R12)/ (R22 – R12) ; B = R12 R22 (?1 – ?2 ) /
(R22 – R12) Aplicando Navier – Stokes en coordenadas
cilindricas y suponiendo flujo uniforme y que las lineas de
corriente son circulares y concentricas con los cilindros
giratorios de modo que : vr = vz = 0 ; v? = v?( r ) y dp/d? = 0)
35

5. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica La ecuación
de Navier – Stokes para la componente ? en coordenadas
cilíndricas es: dv?/ dt + vr dv?/ dr + (v?/r ) dv?/ d? +
vz dv?/ dz + vr v? / r = – 1/r (dp/d?) + + µ [d2v?/ dr2 +
1/r (dv?/ dr) + 1/r2 (d2v?/ d?2) + d2v?/ dz2 + 2/r2 (dv?/ d?)
– v?/r2 Condiciones del problema, flujo estable y uniforme:
dv?/ dt = 0 ( Flujo permanente); vr = vz = 0 (líneas
corrientes circulares y concéntricas con los cilindros
giratorios); dv?/ d? = 0 (flujo simétrico) ; dp/d? = 0 (no
existe gradiente de presión en la dirección de
rotación, no hay aceleración en esa
dirección); d2v?/ dz2 = 0 (cilindros largos por lo tanto
la longitud L es mucho mayor que la holgura entre cilindros). Con
estas condiciones la ecuación del movimiento queda como: 0
= d2v?/ dr2 + 1/ r (dv?/ dr) – v?/r2 36

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica Reescribiendo la
ecuación, tenemos que: d2v?/ dr2 + d/ dr (v?/ r) = 0
Integrando obtenemos que: dv?/ dr + v?/ r = A ? (1/r) d/dr( r v?
) = A Una segunda integración nos da: v? = (A/2) r + B/r y
aplicando condiciones de borde: A = 2 [ (?2 R22 – ?1 R12)/
(R22 – R12) ; B = R12 R22 (?1 – ?2 ) / (R22 – R12)
Mismo resultado anterior 37

6. 7. 8. Universidad Central de Venezuela Facultad de
Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Si
el cilindro externo NO rota ? ?2 = 0 y la distribución de
velocidades seria: v? = (R12 ?1) / (R22 – R12) [ (R22/ r) –
r ] El esfuerzo cotante ?1 en el cilindro interno es: ?1 = – ?r?
= – [µ r d/dr (v?/r)]r=R1 = µ (2 / R12) [ (R12 R22
?1/ (R22 – R12)] ?1 = 2 µ R22 ?1/ (R22 – R12)
El momento de torsión T necesario para hacer girar el
cilindro interno de longitud L es: T = ?1A1 R1 = [2 µ R22
?1/ (R22 – R12)] 2pR1LR1 38

9. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica T = (4p µ R12
R22 L ?1) / (R22 – R12) La potencia necesaria W para hacer
girar el cilindro interno se encuentra multiplicando el momento
de torsión por la velocidad angular de rotación: W
= T ?1 W = [(4p µ R12 R22 L ?1) / (R22 – R12)] ?1 W =
(4p µ R12 R22 L ?12) / (R22 – R12) Se requiere esta
potencia para poder vencer la resistencia producida por la
viscosidad y como resultado de esto se incrementa la
energía interna y por lo tanto la temperatura del fluido
lubricante. Esa es la razón fundamental de la importancia
de la lubricación y los lubricantes. 39

ESTA PRESENTACIÓN CONTIENE MAS DIAPOSITIVAS DISPONIBLES EN
LA VERSIÓN DE DESCARGA