Ternas pitagóricas y último teorema de Fermat

2. Ordenamiento de las
   ternas pitagóricas
3. Propiedades de
   algunas ternas numéricas de números primos entre
   sí
4. El
   último teorema de Fermat
5. Método para
   obtener ternas pitagóricas originales
6. Bibliografía

La fórmula   X n  + Y
n = Z n   (1)

Corresponde a una terna de números enteros X, Y, 
Z, y n es un número natural.

Si n = 2 , la terna se llama pitagórica

Por ejemplo  3, 4, 5 es una terna pitagórica,
pues  3 2 + 4 2  = 5
2

Se puede observar que esto se puede escribir
también  3 2 +  2 4 = 5
2 

La terna es pitagórica cuando los números X, Y,
Z  sólo se expresan con exponente dos, es decir 3, 4,
5, es una terna pitagórica, pero no lo es 3, 2, 5

El ejemplo dado corresponde a una terna pitagórica
primitiva, pues también existen las que no lo son, por
ejemplo  6,8, 10,   9, 12, 15, e t c, es decir los
números X, Y, Z son múltiplos de la terna dada en
primer lugar. Fácil es ver que dada una terna
pitagórica primitiva existen infinitas que no lo son.

Muchas de las cuestiones aquí mencionadas se
darán sin demostración para no prolongar lo
escrito, siempre que se consideren que no cambian la sustancia de
la cuestión

Dadas las fórmulas para obtener una terna
pitagórica, también es fácil ver que existen
infinitas ternas primitivas.

2) Fórmulas para
obtener ternas pitagóricas primitivas

Las fórmulas para obtener ternas pitagóricas
seguramente tienen origen remoto, y se remontan seguramente al
tiempo del mismo Pitágoras  (siglo VI, a c ), pero su
escuela

se hizo famosa por el descubrimiento de números que no
son enteros ni fracciones, es

decir de los números irracionales. También por
que un cuadrado construido sobre la

hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un
área igual a la suma de los construidos

sobre los catetos .

Las fórmulas para obtener ternas pitagóricas se
dan digamos en forma vertical, es decir

separadamente para obtener X, Y, Z,  En foros de
matemática he dado una forma digamos horizontal de
obtenerlas, es decir surgen  simultáneamente al 
tratar de resolver la igualdad  X 2 = Z
2  - Y 2

Existen dos grupos de éstas fórmulas que son
completamente equivalentes:

Grupo I : Si a, b, son números enteros primos entre
sí, uno par y el otro impar entonces

         X = 2 a b
,        Y =  a
2 – b 2
,       Z = a 2 + b
2

Grupo II. Si  m, n, son números enteros impares
primos entre sí, entonces

         Y =  m n
,          X = ( m
2 – n 2 ): 2,    Z = ( 
m 2 + n 2 ) : 2

 Desde la época de Félix Klein, o
quizá antes,  un método es obtener
éstas fórmulas, dibujando una circunferencia de
radio unidad cortada por una secante.l

  Ternas pitagóricas y el último teorema de
Fermat                                 

  Al interceptar la secante a la circunferencia  se
obtienen las fracciones X/Z, Y/Z, al tratar de resolver

                                                 
(X/Z)2+(Y/Z)2=1

 En las fórmulas del grupo I, o del grupo II, se
ve que a, b,  m, n son números enteros positivos o
negativos, y el signo no interesa pues al estar elevados al
cuadrado su resultado es siempre positivo. Lo mismo con X, Y,
Z.

Si  X, Y, Z corresponden a una terna pitagórica
entonces el triángulo que se construye con ésos
valores  es rectángulo. Recíprocamente si se
tiene un triángulo rectángulo y se

sabe que sus lados son números naturales, entonces los
números corresponden a una terna pitagórica.

 Se podría generalizar el significado de terna
pitagórica como aquellos números racionales o
irracionales que se obtienen de aplicar las fórmulas del
grupo I o bien II

 En el grupo II por ejemplo si m, n, o ambos son
irracionales cuadráticos puros, entonces Y  es
irracional cuadrático, pero X, Z son racionales. Si 
m, n son racionales en dónde Corresponden a fracciones que
tienen  sus numeradores primos entre sí, entonces X,
Y, Z, son números racionales.

 Si se colocan en una fila los números impares, se
verá que son diferencias de dos cuadrados como se indica a
continuación:

       
1        
3        
5       
7       
9        
11      
  13……….

            
1      
4         
9       
16     
25         
36…………

 Esto es fácil demostrarlo recurriendo a las
propiedades de las diferencia de cuadrados. Por lo mismo es
fácil de obtener ternas por la aplicación de
ésas propiedades.

Entre las consecuencias se puede señalar:

c-1)Todos los impares pertenecen a una terna pitagórica
primitiva

c-2) Todos los primos pertenecen a una terna pitagórica
primitiva original

c-3) Todos los primos pertenecen a una única terna

c-4)Los números compuestos impares X dan lugar a varias
ternas a las que ellos pertenecen.

c-5) Los números compuestos impares X  formados
por el producto de k factores primos dan lugar a 2 k-1
ternas distintas primitivas

c-6)Los números 4u 2 pertenecen a una terna
pitagórica