Ternas pitagóricas y último teorema de Fermat

Partes: 1, 2

2. Ordenamiento de las ternas pitagóricas
3. Propiedades de algunas ternas numéricas de números primos entre sí
4. El último teorema de Fermat
5. Método para obtener ternas pitagóricas originales
6. Bibliografía

La fórmula   X n  + Y n = Z n   (1)

Corresponde a una terna de números enteros X, Y,  Z, y n es un número natural.

Si n = 2 , la terna se llama pitagórica

Por ejemplo  3, 4, 5 es una terna pitagórica, pues  3 2 + 4 2  = 5 2

Se puede observar que esto se puede escribir también  3 2 +  2 4 = 5 2 

La terna es pitagórica cuando los números X, Y, Z  sólo se expresan con exponente dos, es decir 3, 4, 5, es una terna pitagórica, pero no lo es 3, 2, 5

El ejemplo dado corresponde a una terna pitagórica primitiva, pues también existen las que no lo son, por ejemplo  6,8, 10,   9, 12, 15, e t c, es decir los números X, Y, Z son múltiplos de la terna dada en primer lugar. Fácil es ver que dada una terna pitagórica primitiva existen infinitas que no lo son.

Muchas de las cuestiones aquí mencionadas se darán sin demostración para no prolongar lo escrito, siempre que se consideren que no cambian la sustancia de la cuestión

Dadas las fórmulas para obtener una terna pitagórica, también es fácil ver que existen infinitas ternas primitivas.

2) Fórmulas para obtener ternas pitagóricas primitivas

Las fórmulas para obtener ternas pitagóricas seguramente tienen origen remoto, y se remontan seguramente al tiempo del mismo Pitágoras  (siglo VI, a c ), pero su escuela

se hizo famosa por el descubrimiento de números que no son enteros ni fracciones, es

decir de los números irracionales. También por que un cuadrado construido sobre la

hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un área igual a la suma de los construidos

sobre los catetos .

Las fórmulas para obtener ternas pitagóricas se dan digamos en forma vertical, es decir

separadamente para obtener X, Y, Z,  En foros de matemática he dado una forma digamos horizontal de obtenerlas, es decir surgen  simultáneamente al  tratar de resolver la igualdad  X 2 = Z 2  - Y 2

Existen dos grupos de éstas fórmulas que son completamente equivalentes:

Grupo I : Si a, b, son números enteros primos entre sí, uno par y el otro impar entonces

         X = 2 a b ,        Y =  a 2 - b 2 ,       Z = a 2 + b 2

Grupo II. Si  m, n, son números enteros impares primos entre sí, entonces

         Y =  m n ,          X = ( m 2 - n 2 ): 2,    Z = (  m 2 + n 2 ) : 2

 Desde la época de Félix Klein, o quizá antes,  un método es obtener éstas fórmulas, dibujando una circunferencia de radio unidad cortada por una secante.l

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  Al interceptar la secante a la circunferencia  se obtienen las fracciones X/Z, Y/Z, al tratar de resolver

                                                  (X/Z)2+(Y/Z)2=1

 En las fórmulas del grupo I, o del grupo II, se ve que a, b,  m, n son números enteros positivos o negativos, y el signo no interesa pues al estar elevados al cuadrado su resultado es siempre positivo. Lo mismo con X, Y, Z.

Si  X, Y, Z corresponden a una terna pitagórica entonces el triángulo que se construye con ésos valores  es rectángulo. Recíprocamente si se tiene un triángulo rectángulo y se

sabe que sus lados son números naturales, entonces los números corresponden a una terna pitagórica.

 Se podría generalizar el significado de terna pitagórica como aquellos números racionales o irracionales que se obtienen de aplicar las fórmulas del grupo I o bien II

 En el grupo II por ejemplo si m, n, o ambos son irracionales cuadráticos puros, entonces Y  es irracional cuadrático, pero X, Z son racionales. Si  m, n son racionales en dónde Corresponden a fracciones que tienen  sus numeradores primos entre sí, entonces X, Y, Z, son números racionales.

 Si se colocan en una fila los números impares, se verá que son diferencias de dos cuadrados como se indica a continuación:

        1         3         5        7        9         11         13……….

             1       4          9        16      25          36…………

 Esto es fácil demostrarlo recurriendo a las propiedades de las diferencia de cuadrados. Por lo mismo es fácil de obtener ternas por la aplicación de ésas propiedades.

Entre las consecuencias se puede señalar:

c-1)Todos los impares pertenecen a una terna pitagórica primitiva

c-2) Todos los primos pertenecen a una terna pitagórica primitiva original

c-3) Todos los primos pertenecen a una única terna

c-4)Los números compuestos impares X dan lugar a varias ternas a las que ellos pertenecen.

c-5) Los números compuestos impares X  formados por el producto de k factores primos dan lugar a 2 k-1 ternas distintas primitivas

c-6)Los números 4u 2 pertenecen a una terna pitagórica