c-7)Todas las potencias de un impar son diferencia de
cuadrados.
c-8) Todas las potencias de un primo de la forma 4k+1 son suma
de dos cuadrados
c-9) Los números m 1=2,
m 2 =10, m 3 = 26,,
…… , m K+8 (k -1) son suma de la unidad
más un cuadrado
c-10) Del cuadrado de una resta entre dos números se
pasa a al cuadrado de la suma agregando cuatro veces el producto
de los números de la suma.
c-11) Los números Z de las ternas que no son primos,son
productos de zetas de otras ternas
Ternas pitagóricas y último teorema de
Fermat
Algunos acostumbran a llamar ternas originales a
aquellas en dónde para Y, par, Z
impar resultan números enteros
consecutivos ( X es impar), es decir Z= Y-1.
Aquí se acepta que Z( el mayor de los
números, X, Y, Z, )es impar, pues esto surge de
las fórmulas del grupo I y II .Los números
X, Y, no pueden ser ambos pares pues sino
también sería par Z , entonces la terna no
sería primitiva. Tampoco X, Y pueden ser ambos impares
pues sus cuadrados serían de la forma 2k+1,y la suma de
ambos sería de la forma 2j con j = impar, lo cual es
imposible para el cuadrado de Z que debería ser
múltiplo de cuatro.
Es decir una terna pitagórica tendría
para X, Y, un término par y otro impar, y , Z
debería ser impar
Se puede demostrar que X, o bien Y debe ser alguno de
ellos múltiplo de tres.
También se puede demostrar que X, o bien Y, o
bien Z debe ser múltiplo de cinco.
.
3) Ordenamiento de
las ternas pitagóricas
Puesto que los números impares pertenecen todos a
una terna pitagórica entonces las
ternas se podrían ordenar en forma creciente de
los números X impares, sabiendo además que si
X es compuesto con k factores primos se obtienen 2 k-1
ternas distintas
primitivas.
4) Propiedades de
algunas ternas numéricas de números primos entre
sí
Lo siguiente tiene la particularidad que no lo he visto
señalado en ningún escrito sobre éstas
cuestiones.
p-1) Si e es impar entonces por la propiedad siete
de la página dos se tiene:
e = f 1 2 – g 1
2 , e
2= f
2 2 - g 2
2 , e 3 = f 3
2 - g 3
2 ,…….
Se observa que la segunda igualdad que
correspondería a una terna pitagórica, es un caso
particular de los infinitos casos que se pueden presentar.
p-2) Si el número e es un número par
múltiplo de cuatro y mayor que él
p-3) Lo mismo si se aplica la propiedad c-8 a los primos
de la forma 4k+1
para la suma de dos cuadrados Se puede observar también
que los cuadrados que son suma de dos cuadrados es un caso
particular entre los infinitos casos que se pueden
presentar
Como éstas propiedades no se pueden pensar que
existan para exponentes mayores que dos en la
ecuación (1), deben haber originado la idea en
muchos que la suma de dos potencias de igual exponente es una
potencia del mismo exponente sólo es válida para
exponente dos. Es más, la propiedad ocho se obtiene de
aplicar otra propiedad que algunos llaman de Diofanto
.Justamente se dice que Fermat (1601-1665) matemático
francés, se encontraba leyendo el libro de Diofanto
escrito por Bachet, cuando súbitamente se le
ocurrió escribir en el margen de la hoja de lectura :" se
me acaba de ocurrir una demostración maravillosa en
dónde se puede probar que una potencia es
suma de otras dos potencias de igual exponente en los casos de
números enteros para
X, Y, Z, sólo cuando el exponente n vale
dos "
Ternas pitagóricas. Y último teorema de
Fermat
5) El último
teorema de Fermat
éste escrito que he mencionado dio origen a una
carrera histórica por demostrarlo,incluso hubo un premio
para el que lo consiguiera , el hecho es que a través de
varios siglos nadie pudo hacerlo, hasta que en los últimos
años Wiles por medio de un método muy
laborioso lo consiguió. Como nadie había
podido realizarlo en forma general, se trató de
conseguirlo exponente por exponente. Para la cuarta potencia el
mismo Fermat al parecer lo había intentado,también
se supone para el exponente tres..
Para la ecuación (1,página 1) Rademacher y
Toeplitz dicen en su librito Números y Figura s "
ésa ecuación no tiene resultados en números
enteros x, y, z, para n mayor que dos. ésta
afirmación que nunca ha sido demostrada en sentido
favorable o contrario, es denominada teorema de Fermat o el
último teorema de Fermat. No obstante, la
afirmación sí ha sido demostrada para ciertos
valores de n. Por ejemplo, fue demostrado para todos los valores
de de n de 3 a 100 por Kummer(1810-1893) y sus seguidores.
Anteriormente , Euler ( 1707- 1783 ) lo había demostrado
para el exponente tres y el exponente cuatro "
La anécdota me hace suponer que la
solución del problema no puede ser tan complicado,
quizás lo que vislumbró Fermat fue que las ternas
pitagóricas se obtienen por la aplicación de
propiedades especiales y particulares de los cuadrados y que
éstas propiedades no se pueden manifestar en otros
exponentes. Eso es lo que trato de mostrar en uno de los
métodos que se me ocurren de obtener las ternas
pitagóricas.
MéTODO PARA
OBTENER TERNAS PITAGÓRICAS ORIGINALES
1) Considerar un número impar,
por ejemplo tres. Llamarlo X. Hallar su cuadrado, en éste
caso nueve
2 )obtener la mitad del número anterior y llamarlo Y,la
mitad
del número siguiente y llamarlo Z,en el ejmplo Y=4,
Z=5
3) X,Y,Z es una terna pitagórica,en éste caso es
3,4,5
4) Probar que es una terna pitagórica original
Si es original entonces Y = Z – 1
5)
X2 + Y 2 = Z 2
6)
X 2 +(Z-1)
2 = Z 2
7)
X 2 + Z
2 -2Z +1= Z 2
8)
X 2 – 2Z
+1 = 0
(&)
Aplicando las propiedades c-8, c-9 mencionadas en la
página dos es, si Z=5,13,25,..
Con 13= 5 +4.2 , 25 = 13+4.3, 41= 25+ 4.4, etc
Entonces los 2Z son 1+ un cuadrado ,en el ejemplo 2Z=10=
9+1
10)luego en (&) es para X cuadrado = 9 es 0 =
0
Es decir se prueba que X=3, Y=4, Z= 5 es una terna
p.p.original
ACLARACIÓN: como la terna surge de aplicar las
prop.c-8, c-9 9, que son
válidas sólo para los cuadrados, resulta
que las ternas sólo son válidas
para los exponentes dos.
11) Igualmente se ve que X 2 + {( X
2 – 1 ) /2} 2= {4X
2 + X 4 – 2 X2 + 1}: 4
=
( X 2 + 1) 2 / 4 = Z
2, por aplicación de c-11, sólo valido
para cuadrados.
Lo anterior se
refirió a las llamadas ternas originales, en dónde
Z es un
número
primo, pero
los Z que no lo son se obtienen de aplicar la regla de Diofanto
que es
indudablemente aplicable
sólo a los exponentes
dos.
Se me ocurre un
método de producir ternas en X 2 en
dónde es claro que sólo
Sirve para las
diferencias de cuadrados en los valores compuestos de X
2
:
X 2 = Z 2 – Y
2 , X
2 = ( Z – Y )( Z + Y )
X k 2 = { ( Z + (8
T)/2 - ( Y – (8T)/2 }{ ( Z + (8T)/2 + ( Z -(8 T)/2
}
Con T = número triángulo =n(n+1)/2
, T = 1, 3, 6, 10, 15,
…….
Con el caso por
ejemplo 7 2 = 25 2 – 24
2 se obtienen dos ternas más pues a
24 = 4.6 ( T = 6)
sólo se le puede restar 12 =4.3 ( T = 3) y 4=
4.1 ( T = 1)
En las ternas originales
Y siempre es de la forma 4T/2, pues Y = ( Z 2-
1)/2
Pero los cuadrados
impares son de la forma 8T+1, luego Y =
4T
X 3 2 = {(25 + 12) –
(24 -12 )}( 25 +12 )+( 24 – 12)}= (37 – 12)(37 + 12) =35
2
X 2 2 = {(25 +4) – (24-4)}{ ( 25 + 4)+
( 25-4) } = ( 29 – 20)( 29 + 20) = 21 2
Esto es así
pues en la terna original es Z – Y = 1, luego como 1+
8 T = Ck2 resulta
Sumando 8T/2
a Z e Y : ( Z + 8T/2) – ( Y – 8T/2 ) = C 2
Siendo en la terna original Z+Y = C 2 ,
ése cuadrado se mantiene constante pues
Z + Y =
(Z+8T/2) + ( Z – 8T/2 )
Se puede concluir que ésta propiedad es sólo valida
para las diferencias de
cuadrados en
dónde el segundo paréntesis (factor) permanece
invariable.
Al variar los X k, también
variarán los Z en dónde figurarán los Z que
no son
Primos, pero
como he mencionado ellos se obtienen de aplicar la regla de
Diofanto
El primer Z que es compuesto es Z = 25, y luego Z= 65 = 5.13
y con él se
obtienen dos
ternas.:16, 63, 65, y 33, 56, 65. Si se aplica la
regla de Diofanto se
observará
que los zetas son productos de zetas.
Bibliografía:
1) H. Rademacher y O.
Torplitz: "Números y Figuras" Alianza Editorial,Madrid
2) Julio Rey Pastor," La
Matemática Superior" Editorial Ibero Americana 1951
3) E. Hofmann: "Historia
de la Matemática".Uteha, México, 1961
4) Enzo Gentile,
Monografías UNESCO
6) H. Bell, Historia de
Matemáticos
7) Felix Klein:
"Aritmética y Álgebra". Editorial Ibero- Americana,
1948
8) Nota sobre el
último teorema de Fermat y su demostración por
Andrew Wiles.
. por Pable kilt, 1999.
Diciembre de 2007.
Autor:
Rubén Ricardo Rosas
Profesor de Matemática Física y
Cosmografía, egresado del Instituto Superior del
Profesorado de Paraná (E.R.)
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