Matrices y Determinantes en forma manual y con Excel

Matrices

Se llama matriz de orden mxn, sobre un cuerpo de los
números reales a una "caja", "cuadro", etc. que contiene
mxn números reales dispuestos en m filas y n
columnas.

Las matrices se denotan usualmente por letras
mayúsculas, A, B, C,……., y los elementos de
las mismas por letras minúsculas, a, b,
c,…..

Operaciones con
matrices

SUMA Y RESTA

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben
tener el mismo orden, es decir, deben tener el mismo
número de filas y de columnas. Para sumar o restar se
suman o restan los términos que ocupan el mismo lugar en
las matrices.

Ejemplos ilustrativos

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran a
continuación:

a) Escribir las matrices A y B. Seleccionar las casillas
en donde se calculará la respuesta, que para este ejemplo
es E4:F5

b) Digitar el =, seleccionar las celdas de la matriz A
(B1:D2), digitar el +, y seleccionar las celdas de la matriz B
(G1:I2), es decir, digite la fórmula
=B1:D2+G1:I2

c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo

d) Los demás cálculos se
muestran en la siguiente figura:

Multiplicación de un escalar por una
matriz

Ejemplos ilustrativos

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran a
continuación:

a) Escribir la matriz y el escalar. Seleccionar las
casillas donde se calculará la
multiplicación

b) Escribir la fórmula B4*B1:C2, que
representa la multiplicación de 2 (B4) por la matriz A
(B1:C2)

c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo

d) Los demás cálculos se muestran en la
siguiente figura:

Multiplicación entre
matrices

Para poder multiplicar dos matrices, el número de
columnas de la primera matriz deber ser igual al número de
filas de la segunda matriz. La matriz resultado del producto
quedará con igual número de filas de la primera
matriz y con igual número de columnas de la segunda
matriz.

Es decir, si se tiene la primera matriz A de orden 2×3 y
una segunda matriz B de orden 3×2, si se puede multiplicar
ya que el número
de columnas de la matriz A es igual al número de filas de
la matriz B, y la matriz resultante de la multiplicación
tendrá orden 2×2.

Propiedades de la multiplicación de
matrices:

Ejemplos ilustrativos

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran a
continuación:

a) Escribir las matrices. Seleccionar las celdas donde
se calculará la multiplicación

b) Insertar función. En la ventana de Insertar
función, En seleccionar una categoría, escoger
Matemáticas y trigonométricas. En Seleccionar una
función, escoger MMULT.

c) Clic en Aceptar en la ventana de Insertar
función para que aparezca la ventana Argumentos de
función. En la ventana Argumentos de función, en la
casilla Matriz 1, seleccionar las celdas de la matriz A (B1:D2),
y en la casilla Matriz 2, seleccionar las celdas de la matriz B
(G1:H3).

d) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:

3) Los cálculos en Excel se muestran
en la siguiente figura:

Potencia de
matrices

La potencia es una multiplicación
abreviada

Ejemplo ilustrativo

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran en
la siguiente figura:

Determinantes

Un determinante de orden 3 es igual a la suma algebraica
de la multiplicación de los elementos de la diagonal
principal menos la suma algebraica de la multiplicación de
los elementos de la diagonal secundaria

Propiedades de
los determinantes

1) Si se intercambian las filas por las
columnas de un determinante su valor no se altera

3) Si se intercambian dos filas o dos
columnas continuas en un determinante, el valor de éste
cambia de signo

5) Si todos los elementos de una fila o una columna de
un determinante se multiplica por un mismo número k, el
valor del determinante queda multiplicado por k

6) Si todos los elementos de una fila o una columna son
expresados como la suma de dos o más números, el
determinante puede expresarse como la suma de dos o más
determinantes

7) Si a cada uno de los elementos de una fila o columna
se le multiplica por un número k, y a este resultado se le
suma a otra fila o columna, el valor del determinante no se
altera. Esta propiedad es utilizada en el método del
Pibote para calcular el valor de un determinante

Determinantes y
sistemas de ecuaciones

Ejemplo ilustrativo Nº 1

Resolver el siguiente sistema por el método
gráfico, método de Cramer y por el método de
Cayley

Solución:

1) Método gráfico

Graficando se obtiene:

Para resolver empleando el programa Graph se procede de
la siguiente manera:

a) Se abre el programa

b) Se inserta Función

c) En la casilla f(x) se escribe 4 -2x. En intervalo se
escoge los valores en la cual se desea que tenga la
función en el eje x, que en este caso es -2 hasta el 5. En
puntos extremos tanto en Inicio como en Fin se escoge las saetas
(flechas). En estilo de línea se escoge la línea
continua. En Color se escoge el color deseado, que para este
ejemplo es rojo. En Grosor se escoge el grosor de la
línea, que para este ejemplo es de grosor 2. Clic en
Aceptar

d) Para insertar cuadro de texto, clic en Función
y luego en Insertar cuadro de texto, o F8. En el cuadro de texto
escribir y = 4-2x

e) Clic en Aceptar en la ventana de cuadro de
texto.

f) Repetir los pasos anteriores para la función y
= 5-3x

g) Clic en Editar y luego clic en Ejes, o Ctrl+A, para
que aparezca la ventana Editar ejes

h) En la Ventana Editar Ejes, clic en
Configuración para agregar título. En título
escribir el nombre que se desea que aparezca como título
del gráfico, que en este caso es Sistema de
ecuaciones.

i) Clic en Aceptar en la ventana Editar Ejes, y aparece
el título del gráfico

j) Clic en Calcular, y luego en Evaluar para determinar
el punto de intersección entre las dos
funciones.

k) Seleccionar una función. En la parte inferior
izquierda aparece una ventana, en esta ventana en Ver en,
seleccionar intersección. Clic en cualquier parte del
gráfico, y aparece dos líneas que señalan el
punto de intersección, que en este ejemplo es
(1,2)

l) Para escribir el punto de intersección, clic
en función y luego en Insertar serie de puntos.

m) En la ventana Insertar serie de puntos escribir 1 en
X y 2 en Y. Escoger el Estilo, Color y Tamaño del
Marcador, que en este ejemplo es un círculo color negro de
tamaño 3. En Rótulos seleccionar ver coordenadas y
escoger la posición Derecha o cualquier otra.

n) Clic en Aceptar

El gráfico en Excel se procede de la siguiente
manera:

a) Se realiza los cálculos respectivos. Luego
clic en Insertar, escoger Gráfico de
Dispersión.

b) En gráfico de Dispersión, escoger
Dispersión con líneas rectas y
marcadores.

c) Realizar todas las mejores respectivas

2) Método de Gabriel Cramer

Este método consiste en resolver sistemas de
ecuaciones aplicando los determinantes, este método fue
desarrollado por el matemático Suizo Gabriel Cramer
(1704-1752).

Los cálculos en Excel se proceden de la siguiente
manera:

a) Insertar función. En esta ventana, en
Seleccionar una categoría, escoger Matemáticas y
trigonométricas. Seleccionar MDETERM.

b) Clic en Aceptar en la ventana anterior y aparece la
ventana Argumentos de función

c) En la ventana Argumentos de función, en
Matriz, seleccionar las celdas del determinante que en este ejemplo es
B6:C7

d) Clic en Aceptar, y queda calculado el determinate

e) Repetir los pasos anteriores para terminar de
resolver el sistema

3) Método de Arthur Cayley

Este método consiste en resolver sistemas de
ecuaciones lineales aplicando la matriz inversa, este
método fue desarrollado por el matemático
Inglés Arthur Cayley (1821-1895).

La solución del sistema se obtiene
aplicando

Para calcular la matriz inversa, uno de los
métodos es empleando la siguiente
fórmula:

Se anula la fila y columna del 2 (sobra el 1). El
número que sobra se escribe en el lugar del 2.

Se anula la fila y columna del 1 (sobra el 3), El
número que sobra se escribe en el lugar del 1.

Se anula la fila y columna del 3 (sobra el 1), El
número que sobra se escribe en el lugar del 3.

Se anula la fila y columna del 1 (sobra el 2), El
número que sobra se escribe en el lugar del 1.

Se obtiene la matriz de los cofactores:

Luego se calcula la Matriz Adjunta de la matriz A, la
cual es la matriz traspuesta de la matriz de los cofactores, es
decir, la primera fila de la matriz de los cofactores se
transforma en la primera columna de la matriz inversa, y la
segunda fila de la matriz de los cofactores se transforma en
segunda columna de la matriz adjunta.
Obteniéndose:

Nota: Comparando la matriz adjunta con la matriz
A se observa que los elementos de la diagonal principal de la
matriz A se intercambian con respecto a los elementos de la
diagonal principal de la matriz adjunta, y los elementos de la
diagonal secundaria conservan en el mismo puesto pero cambian de
signo en la matriz adjunta.

Para calcular la matriz inversa en Excel se procede de
la siguiente manera:

a) Se selecciona las celdas donde se calculará la
respuesta

b) Se inserta función. En la ventana Insertar
función en seleccionar una categoría se selecciona
Matemáticas y trigonométricas. En
Matemáticas y trigonométricas se escoge MINVERSA.
Clic en Aceptar

c) En la ventana Argumentos de función, en
Matriz, seleccionar las celdas de la matriz A, que en este
ejemplo es C4:D5

d) Presionar al mismo tiempo CTRL+SHIFT+ENTER

Los demás cálculos en Excel para resolver
el sistema por el método de Arthur Cayley se muestran en
la siguiente figura:

Ejemplo ilustrativo Nº 2

1) Método de Gabriel Cramer

Recuerde que para resolver un determinante de orden 3 se
puede emplear los siguientes métodos de
resolución:

a) Método de Sarrus

b) Método del triángulo

c) Método de Por Menores. Se emplea
cualquier fila o columna de la matriz de los signos. En este
ejemplo se empleó la primera fila. Se realiza la
respectiva ley de los signos con la primera fila del determinante
de la matriz A

d) Método del Pibote

Multiplicando la segunda fila por -2 y sumando el
resultado a la tercera fila.

El sistema resuelto mediante el método de Gabriel
Cramer empleando Excel se muestra en la siguiente
figura:

2) Método de Arthur Cayley

Para calcular la matriz inversa, uno de los
métodos es empleando la siguiente
fórmula:

Calculando la Matriz de los cofactores MC dada la matriz
A, se anula la fila y columna del 4, luego la fila y columna del
-1, y así con los demás elementos de la matriz
A.

Calculada la matriz de los cofactores se procede a
calcular la matriz adjunta de la matriz A, la cual es la matriz
traspuesta de la matriz de los cofactores, siendo la
siguiente:

Resolviendo el sistema con el método de Arthur
Cayley se obtiene aplicando la siguiente
fórmula:

Los cálculos en Excel empleando el método
de Arthur Cayley para resolver el sistema se muestran en la
siguiente figura:

Ejemplo ilustrativo Nº 3

1) Método de Gabriel Cramer

Los cálculos hechos en Excel se muestran en la
siguiente figura:

2) Método de Arthur Cayley

Los cálculos hechos en Excel se muestran en la
siguiente figura:

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes