Solución de una clase de ecuaciones diferenciales – Método algebraico
Resumen
En este trabajo se presenta un
método algebraico elemental para resolver ecuaciones
diferenciales con factores lineales reducibles a
homogéneas, evitando los procesos largos que involucran su
solución por los métodos
clásicos.
Palabras clave Ecuación
diferencial, pendiente, recta tangente, problema de valor
inicial
Abstract
This paper is to present an elementary
algebraic method to solve differential equations with linear
factors, avoiding the long processes that involve their solution
by the classic methods.
Keywords Differential equations,
slope, tangent line, initial value problem.
Introducción
En los cursos regulares de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (EDO) nos encontramos con ecuaciones
diferenciales con factores lineales de la forma
obtenemos una ecuación
homogénea.
En este artículo, encontraremos la
solución a este tipo de ecuaciones diferenciales, mediante
un proceso algebraico, si en dicha ecuación se cumplen las
siguientes condiciones:
Definición
Una ecuación diferencial de la
forma
Nota. La condición (ii) hace
que la ecuación diferencial (1) sea exacta y por lo tanto
ésta puede ser resuelta por el método
clásico.
2. Solución
clásica
Otra forma de resolver la ecuación
(1), que resulta ser exacta, es mediante una agrupación
adecuada de sus términos. La ecuación así
ordenada se puede integrar término a
término.
Ahora bien, nos proponemos a resolver la
ecuación diferencial (1) usando sólo Algebra
elemental, el cual, como veremos, evita realizar los largos
cálculos que involucra resolver un tipo problema como el
que se presenta por el método de las ecuaciones con
coeficientes lineales o bien, por exactas.
Haremos el siguiente ejemplo (R. Nagle y E.
Saff, 1991, pp. 74-76) de dos formas: 1. Usaremos el
método clásico para su solución y 2. Usando
el método algebraico, mediante unos pasos sencillos, sin
hacer referencia al método como tal, solo como un
ejercicio de algebra, después, se dará la
fundamentación del método, esto se hace, para no
perdernos en los detalles del mismo.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación
diferencial
Al separar variables obtenemos
La última ecuación
proporciona una solución implícita de
(3).
Ahora utilicemos el resultado del
método que propondremos. El cual realizaremos mediante los
pasos siguientes:
donde C es una constante. La última
ecuación es precisamente la solución de la EDO (3)
y coincide con la solución proporcionada por el
método clásico. Deberá notarse que se ha
igualado a una constante C, ya que la ecuación es
exacta.
Las preguntas que surgen:
¿Dónde está el truco? y ¿Funciona
para toda ecuación diferencial de la forma (1)?. La
respuesta a estas dos preguntas es dada en la siguiente
proposición.
Proposición
Demostración
O bien la ecuación (6).
Con lo que la ecuación (9) es
equivalente a
Reorganizando
Ejemplos
El primer ejemplo al que le aplicaremos el
método algebraico, será una EDO separable y el
segundo ejemplo será un problema de valor inicial (PVI),
las cuales pueden ser fácilmente obtenidas mediante su
solución clásica. Deberá observarse que no
habrá necesidad de aprenderse la fórmula
(6).
3.1. Ejemplo 1. Resolver la EDO
3.2. Ejemplo 2. Resolver el problema
de valor inicial (PVI)
Pero según el método, hacemos
el lado izquierdo de la ecuación igual a una constante,
esto es,
Derivando con respecto a y e igualando con
la ecuación (B) tenemos
La cual coincide con nuestra
solución, encontrada algebraicamente.
Conclusiones
En este trabajo presentamos una forma
alternativa de resolver una ecuación diferencial con
factores lineales de la forma (1), bajo ciertas condiciones,
evitando los procesos largos, los cuales ocurren cuando se
resuelven con los métodos clásicos. Es claro que el
método algebraico expuesto resulta ser muy restrictivo,
pero resulta ser mucho más sencillo de resolver una vez se
cumplan las condiciones (i) y (ii), las cuales son fáciles
de verificar.
Bibliografía
Nagle, R.K. y Saff, E.B. (1992).
Fundamentos de ecuaciones diferenciales. México,
Addison-Wesley Iberoamericana.
O. García J., J. Villegas G., J.I.
Bedoya, J.A. Sánchez C. (2010). Ecuaciones
Diferenciales. Colombia, Fondo
Editorial Universidad EAFIT.
Autor:
José Albeiro Sánchez
Cano
Departamento de Ciencias Básicas_
Universidad EAFIT