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Solución de una clase de ecuaciones diferenciales - Método algebraico




  1. Resumen
  2. Introducción
  3. Definición
  4. Proposición
  5. Demostración
  6. Ejemplos
  7. Conclusiones
  8. Bibliografía

Resumen

En este trabajo se presenta un método algebraico elemental para resolver ecuaciones diferenciales con factores lineales reducibles a homogéneas, evitando los procesos largos que involucran su solución por los métodos clásicos.

Palabras clave Ecuación diferencial, pendiente, recta tangente, problema de valor inicial

Abstract

This paper is to present an elementary algebraic method to solve differential equations with linear factors, avoiding the long processes that involve their solution by the classic methods.

Keywords Differential equations, slope, tangent line, initial value problem.

Introducción

En los cursos regulares de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) nos encontramos con ecuaciones diferenciales con factores lineales de la forma

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obtenemos una ecuación homogénea.

En este artículo, encontraremos la solución a este tipo de ecuaciones diferenciales, mediante un proceso algebraico, si en dicha ecuación se cumplen las siguientes condiciones:

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Definición

Una ecuación diferencial de la forma

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Nota. La condición (ii) hace que la ecuación diferencial (1) sea exacta y por lo tanto ésta puede ser resuelta por el método clásico.

2. Solución clásica

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Otra forma de resolver la ecuación (1), que resulta ser exacta, es mediante una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término.

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Ahora bien, nos proponemos a resolver la ecuación diferencial (1) usando sólo Algebra elemental, el cual, como veremos, evita realizar los largos cálculos que involucra resolver un tipo problema como el que se presenta por el método de las ecuaciones con coeficientes lineales o bien, por exactas.

Haremos el siguiente ejemplo (R. Nagle y E. Saff, 1991, pp. 74-76) de dos formas: 1. Usaremos el método clásico para su solución y 2. Usando el método algebraico, mediante unos pasos sencillos, sin hacer referencia al método como tal, solo como un ejercicio de algebra, después, se dará la fundamentación del método, esto se hace, para no perdernos en los detalles del mismo.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación diferencial

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Al separar variables obtenemos

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La última ecuación proporciona una solución implícita de (3).

Ahora utilicemos el resultado del método que propondremos. El cual realizaremos mediante los pasos siguientes:

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donde C es una constante. La última ecuación es precisamente la solución de la EDO (3) y coincide con la solución proporcionada por el método clásico. Deberá notarse que se ha igualado a una constante C, ya que la ecuación es exacta.

Las preguntas que surgen: ¿Dónde está el truco? y ¿Funciona para toda ecuación diferencial de la forma (1)?. La respuesta a estas dos preguntas es dada en la siguiente proposición.

Proposición

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Demostración

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O bien la ecuación (6).

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Con lo que la ecuación (9) es equivalente a

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Reorganizando

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Ejemplos

El primer ejemplo al que le aplicaremos el método algebraico, será una EDO separable y el segundo ejemplo será un problema de valor inicial (PVI), las cuales pueden ser fácilmente obtenidas mediante su solución clásica. Deberá observarse que no habrá necesidad de aprenderse la fórmula (6).

3.1. Ejemplo 1. Resolver la EDO

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3.2. Ejemplo 2. Resolver el problema de valor inicial (PVI)

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Pero según el método, hacemos el lado izquierdo de la ecuación igual a una constante, esto es,

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Derivando con respecto a y e igualando con la ecuación (B) tenemos

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La cual coincide con nuestra solución, encontrada algebraicamente.

Conclusiones

En este trabajo presentamos una forma alternativa de resolver una ecuación diferencial con factores lineales de la forma (1), bajo ciertas condiciones, evitando los procesos largos, los cuales ocurren cuando se resuelven con los métodos clásicos. Es claro que el método algebraico expuesto resulta ser muy restrictivo, pero resulta ser mucho más sencillo de resolver una vez se cumplan las condiciones (i) y (ii), las cuales son fáciles de verificar.

Bibliografía

Nagle, R.K. y Saff, E.B. (1992). Fundamentos de ecuaciones diferenciales. México, Addison-Wesley Iberoamericana.

O. García J., J. Villegas G., J.I. Bedoya, J.A. Sánchez C. (2010). Ecuaciones Diferenciales. Colombia, Fondo Editorial Universidad EAFIT.

 

 

Autor:

José Albeiro Sánchez Cano

Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT

josanche[arroba]eafit.edu.co


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