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Capítulo
4. Resultados

1. Introducción

En este capítulo se reportan los resultados
más relevantes obtenidos a partir de la
implementación de los distintos métodos de
clasificación de objetos estudiados en el Capítulo
2, aplicados en el Trabajo de Tesina para el armado de conjuntos
moleculares balanceados. Además, se describe cada uno de
los algoritmos que fue necesario programar en Matlab para obtener
los resultados que a continuación se presentan.

A la hora de armar un conjunto molecular balanceado para
aplicaciones QSAR-QSPR, se busca que los errores cometidos por el
modelo en la etapa de calibración sean similares a los
encontrados durante la etapa de validación. Si esto se
cumple, el modelo funciona con un carácter más
general y predictivo sobre los datos, y se asigna igual
preferencia al ajuste de los datos en los conjuntos de
calibración y validación. De nada sirve, por
ejemplo, ajustar muy bien el conjunto de calibración si
luego las predicciones alcanzadas en el conjunto de
validación presentan errores grandes, o viceversa.
Sí resulta conveniente tratar de ajustar ambos conjuntos
por igual, con error comparable.

Después de realizar la aplicación de
alguno de los métodos de clasificación vistos,
quedan definidos los conjuntos de calibración y
validación. El error de cada conjunto está asociado
a la propiedad predicha para las moléculas pertenecientes
a dicho conjunto, resultante de la aplicación del modelo
QSAR-QSPR consistente en una regresión lineal univariable.
En este modelo, la variable dependiente es la propiedad
experimental () y la variable independiente es el descriptor
molecular que correlacione mejor con la propiedad:

(1)

donde a y b son los coeficientes de
regresión, es el descriptor molecular, y la propiedad predicha. El
error lo cuantificamos con el parámetro rrcm, la
raíz cuadrada del residuo cuadrático
medio:

(2)

(3)

Aquí, N es el número de
moléculas ajustadas y es el residuo para la molécula
i.

El problema que se presenta es el siguiente. Como se
aprecia de la Ecs. (2) y (3), el valor del parámetro
rrcm que mide el error en el conjunto depende de los
valores numéricos que adopta la propiedad experimental
modelada y de los valores que adopta el descriptor usado en la
Ec. (1). Por tanto, si queremos que los errores de
calibración y validación tengan magnitud
comparable, debemos considerar estos dos factores en el
diseño del conjunto balanceado. Obviamente, a la hora de
armar un modelo QSAR-QSPR no es lícito considerar la
propiedad experimental del conjunto de validación, pues
este conjunto se utiliza solamente para probar la habilidad
predictiva del modelo sin considerarlo durante la etapa de
entrenamiento.

Lo anteriormente expuesto conduce al motivo principal
por el cual decidimos usar dos conjuntos de calibración
(cal1 y cal2) y un conjunto de validación (val) durante
los análisis: usamos cal1 para calibrar el modelo
QSAR-QSPR, comparamos el error rrcm de cal1 y cal2 para
este modelo y así comprobar si se tienen conjuntos
balanceados, mientras que con el conjunto val solamente
verificamos el poder predictivo. De esta manera evitamos el
inconveniente anteriormente planteado. Además, el conjunto
cal2 sirve para pre-validar la relación cuantitativa
obtenida, y constituye una suerte de transición menos
abrupta entre los conjuntos de calibración y
validación.

En cada caso, el número de moléculas
incluidas en los conjuntos cal1 y cal2 representan el 70% del
número total de moléculas, mientras que el 30%
restante corresponde a moléculas de validación. Se
utiliza igual número de moléculas en cal1 y cal2.
Finalmente, cabe mencionar que el gran tamaño de los
conjuntos moleculares correspondientes a las tres propiedades
ensayadas en este trabajo, que poseen un número de
moléculas superior a 100, hace posible usar dos conjuntos
de calibración.

Una vez entendida la manera de obtener el error en los
conjuntos cal1, cal2, y val, procedemos a describir los
algoritmos basados en los distintos métodos de
clasificación estudiados. Estos algoritmos permiten
seleccionar los mejores descriptores para clasificar
moléculas en cada método, a partir del
análisis de 1497 descriptores provistos por Dragon para el
conjunto molecular ensayado. En todos los casos, para la medida
de distancia entre pares de moléculas se utiliza la
distancia Euclídea, aunque también podría
recurrirse a otras alternativas (ver Apéndice,
sección II).

2. Algoritmos y Criterio Matemático
Utilizados

2.1. Algoritmo clusterskmeans.m

Permite realizar las mejores agrupaciones de
moléculas a partir de N consideradas, a
través de la aplicación del método K-Medias
y la exploración de D=1497 descriptores
moleculares. Descarta los descriptores que conduzcan a valores
negativos del parámetro silueta medio. A partir de los
K grupos generados con cada descriptor clasificador
y al considerar que
los integrantes del grupo son equivalentes entre sí, se
extraen moléculas representativas de cada uno de ellos y
se arman los conjuntos cal1, cal2, y val que respeten las
proporciones señaladas anteriormente (70% en cal1 y cal2,
y 30% en val). Luego, se obtiene el parámetro
rrcm en cada conjunto según la Ec. (2); este
error se calcula con el descriptor molecular que correlacione mejor con
la propiedad en el modelo de la Ec. (1). En consecuencia, el
descriptor que se
utiliza para realizar la clasificación molecular no
necesariamente debe ser el mismo a utilizado en la ecuación QSAR-QSPR para
calcular rrcm.

Es posible involucrar un mayor número de
descriptores clasificadores en clusterskmeans.m (o en los
algoritmos explicados en las siguientes secciones), que conduce a
una clasificación más estricta de los datos, pero
por razones de falta de tiempo no incluimos dichos resultados. A
pesar de ello, los resultados presentados aquí no
varían demasiado para descriptores clasificadores
adicionales. Además, para simplificar el análisis
tampoco consideramos modelos QSAR-QSPR que involucren un mayor
número de descriptores en la Ec. (1).

El algoritmo se ejecuta con la sentencia
siguiente:

[Resultkmeans]=clusterskmeans(p, tot,
nclusters, percent); (4)

Aquí, "p" es la propiedad experimental objeto de
estudio, "tot" es la matriz NxD, "nclusters" es K, y
"percent" corresponde al porcentaje de moléculas de
calibración (70%). El resultado "Resultkmeans" es una
matriz; el formato que se utiliza para presentar los resultados
del algoritmo clusterskmeans.m es el mismo al usado para los
algoritmos explicados en las siguientes secciones.

Por ejemplo, para el conjunto de 166 solubilidades
acuosas y la creación de 3 grupos, se muestran las
primeras 29 filas de "Resultkmeans" en la Tabla 1.

Tabla 1. Resultado obtenido con clusterskmeans.m
en 166 solubilidades acuosas. nclusters=3, percent=70. M
es el número de moléculas de cada grupo.

En esta tabla se definen los parámetros y necesarios para el
análisis.

(5)

(6)

Además, representa el número de moléculas
presentes en el grupo

Los resultados de "Resultkmeans" se hallan ordenados
según creciente. Este parámetro mide la
diferencia porcentual en el error para los dos conjuntos de
calibración: si los dos conjuntos están
balanceados, este porcentaje debe ser bajo. Ahora, se aprecia que
se tienen varias soluciones posibles (filas) en la matriz de
resultados, consecuencia de explorar 1497 descriptores
moleculares. Por tanto, debe especificarse un criterio
matemático que permita rescatar una solución
satisfactoria (balanceada) entre los varios resultados
disponibles. La definición de este criterio será
igualmente aplicable a los algoritmos presentados en las
siguientes secciones, en vista que los resultados presentados por
los diferentes métodos poseen el mismo formato al indicado
en la Tabla 1.

2.2. Criterio Matemático

La especificación del criterio tiene su base en
el estudio del comportamiento numérico de los datos, por
lo que es aplicable en principio a cualquier conjunto molecular
ensayado (cualquier propiedad experimental, independiente de la
diversidad estructural molecular). La solución balanceada
se busca entre los varios resultados posibles con el siguiente
procedimiento:

a- se ordena la matriz de resultados según
creciente.

b- la solución principal (prin) es la primer
solución que tenga y sus parámetros son y

c- es posible encontrar una solución diferente
(secundaria, sec) a la solución principal si para lo cual se
define:

(7)

La solución secundaria es una situación de
compromiso entre los siguientes requisitos, en ese
orden:

i. con
y alto

ii. y
alto

iii. de la
solución secundaria debe ser bajo.

iv. bajo

En algunos casos, si se cumple apreciablemente iii) para
la solución secundaria y entonces igual se acepta este resultado como
solución.

Por ejemplo, si se aplica el criterio a los datos de la
Tabla 1, se encuentra que la solución principal se
caracteriza con:

y

Es posible encontrar una solución secundaria
(sombreada en gris) que cumple las condiciones i.-iv. y posee
(2.52%):

y

Este criterio matemático adoptado para el
análisis de las soluciones demuestra funcionar bastante
bien y de carácter general para el armado de conjuntos
moleculares balanceados, en las tres propiedades estudiadas en
este trabajo. Como se observa de las condiciones del criterio,
ninguna de ellas considera a parámetros derivados del
conjunto de validación, por lo que estas reglas resultan
válidas. El criterio tiene en cuenta que sea bajo entre los varios
resultados. Además, el hecho de considerar que se atribuye a que esta
elección evita soluciones en las que se ajusta
extremadamente bien ambos conjuntos de calibración y se
ajusta peor el conjunto de validación. Por ejemplo, este
es el caso para la primera fila:

y

En definitiva, el criterio establecido no sólo
permite rescatar una solución aceptable de la matriz de
resultados, sino que también permite arribar a particiones
moleculares en las que los modelos QSAR-QSPR resultantes de
dichas particiones resultan más predictivos en el conjunto
de validación.

2.3. Algoritmo clustersknn.m

La implementación del método K-Vecinos
Más Cercanos se efectúa a través del
desarrollo y posterior aplicación del algoritmo
clusterknn.m, que funciona de manera similar a clusterskmeans.m y
busca el descriptor clasificador entre los D disponibles
que consiga las mejores agrupaciones. Sin embargo, a diferencia
de K-Medias, la aplicación del método requiere
conocer de antemano un conjunto de entrenamiento. Si se utiliza
como conjunto de entrenamiento los centroides proporcionados por
el método K-Medias, entonces los grupos formados por K-NN
y K-Medias coinciden. Este resultado permitió definir el
conjunto de entrenamiento a utilizar en la técnica K-NN,
es decir, en vez de usar centroides de K-Medias se definieron
nuevos centroides. Por ejemplo, para el caso de un descriptor
clasificador, si se quieren formar dos grupos, los centros se
ubican en los valores máximo y mínimo del
descriptor. Si se busca generar tres grupos, entonces los centros
se posicionan en los valores máximo, medio y mínimo
del descriptor considerado. Para mayor cantidad de grupos, los
centros se ubican en iguales intervalos del descriptor. La
siguiente figura presenta la definición de los nuevos
centros.

Figura 1. Esquema de
selección de nuevos centroides de d1 en
clustersknn

El algoritmo se ejecuta con la sentencia
siguiente:

[Resultknn]=clustersknn(p, tot, nclusters,
percent); (8)

El criterio matemático adoptado para la
elección del resultado se mantiene. La descripción
de las variables de entrada del algoritmo es la misma que para
clusterskmeans.m.

2.4. Algoritmo clusterslda.m

La implementación del Análisis
Discriminante Lineal a través del algoritmo clusterlda.m
se lleva a cabo de la misma manera que para clusterknn.m. Al
igual que en K-NN, el conjunto de entrenamiento está
constituido por los nuevos centroides definidos en la Figura 1, y
establecen las clases con las cuales el método
discriminará a las moléculas.

El algoritmo se ejecuta con la sentencia
siguiente:

[Resultlda]=clusterslda(p, tot, nclusters,
percent); (9)

2.5. Algoritmo clusterspca.m

La aplicación del método PCA utiliza el
algoritmo clusterspca.m. En este caso, se establecen las
agrupaciones luego de analizar el signo de las coordenadas de los
componentes principales. Por tanto, si L es el
número de componentes principales, será el número de
agrupamientos obtenidos. A modo de ejemplo, si se utiliza
únicamente el primer componente principal se obtienen dos
grupos, uno correspondiente a moléculas con coordenadas
PC1>0 y otro correspondiente a moléculas con
PC1<0. La Figura 2 ilustra esta idea.

Figura 2. Especificación de
agrupaciones en clusterspca.m

Con objeto de calcular los componentes principales, se
requiere disminuir la dimensión de la matriz de
descriptores a tratar. En nuestro caso D=1497, y la
aplicación directa de la técnica PCA no es posible.
Por tanto, se considera solamente un conjunto de descriptores
clasificadores tal que el coeficiente de correlación entre
cada par de descriptores i y j () sea menor al
valor límite 0.5. De esta manera, se evita utilizar
descriptores que se encuentren muy correlacionados, pues
varían de la misma forma y no contribuyen al proceso de
clasificación.

Una vez que se tiene una matriz reducida de descriptores
linealmente independientes, se buscan todas las combinaciones
posibles de 2 descriptores, cada una de las cuales permite
obtener al primer y segundo componente principal y, por tanto, a
2 y 4 grupos, respectivamente. Para obtener el tercer componente
principal, se requiere la combinación de 3 descriptores.
La búsqueda combinatorial exacta de 3 descriptores
requiere una mayor demanda computacional, y el problema resulta
más complejo aún si el número de
descriptores aumenta. Por tanto, una vez que se elige la mejor
solución de 2 descriptores clasificadores, se busca el
tercer descriptor que mejor se combine con los 2 descriptores
previamente elegidos.

El algoritmo se ejecuta con la sentencia
siguiente:

[Resultpca]=clusterspca(p,tot,rlim,nclusters,percent);
(10)

donde rlim es 0.5 en nuestro caso.

2.6. Método HCA

Al tratarse el Análisis de Agrupamiento
Jerárquico de un método gráfico, no se lo
utiliza en este trabajo por la dificultad que presenta a la hora
de programar su algoritmo para la exploración de
más de mil descriptores clasificadores. Sí puede
aplicarse, en cambio, al tratamiento de unos pocos descriptores
de unas pocas moléculas, lo cual no es ninguno de los
casos aquí tratados.

3. Resultados

A continuación se presentan en tablas los
principales resultados encontrados para cada propiedad ensayada,
luego de aplicar los algoritmos basados en las distintas
técnicas de clasificación. Cada uno de estos
resultados se basó en el criterio matemático
establecido previamente para seleccionar una solución
balanceada.

Por otro lado, también se calcularon algunas
soluciones en las que se aplican los métodos K-Medias,
K-NN y LDA con el mismo descriptor clasificador. Esto se hizo a
fines comparativos y de discusión de los resultados
hallados si se considera la misma variable
clasificadora.

El número de agrupamientos considerados en los
cálculos para los distintos métodos fue K
= 2, 3, 4, 10, 15, 20, 25, y 30, a excepción del
método PCA, que admite 2, 4, 8, y 16.

Tabla 2. Actividad
anti-VIH

Tabla 3. Solubilidades
acuosas

Tabla 4. Toxicidades
acuosas

4. Discusión

Se observa de las Tablas 2-4 que, para un número
de agrupamientos determinado, los errores obtenidos en cal1 con
los métodos de clasificación K-Medias, K-NN, LDA y
PCA tienden a ser parecidos en las tres propiedades ensayadas,
sin observar discrepancias apreciables. Lo mismo sucede para el
caso de las comparaciones en cal2 y val. A su vez, los conjuntos
de calibración y validación tienden a tener errores
que no se diferencian demasiado entre sí, por lo que los
conjuntos obtenidos para estos cuatro métodos tienden a
ser balanceados.

Ahora, cómo se explica que diferentes
métodos tiendan a generar soluciones parecidas, para un
número de agrupamiento determinado? Para responder a este
interrogante, debemos plantear lo que sucede con el
desempeño de estos métodos si utilizan el mismo
descriptor clasificador. Las Tablas 5-7 muestran discrepancias
mayores en el error de los conjuntos de calibración y
validación, dependiente del método que se use, por
lo que no se obtienen conjuntos balanceados en estas condiciones.
Esto sucede especialmente en los conjuntos moleculares de
solubilidades acuosas y actividades anti-VIH-1, que al parecer
son conjuntos más heterogéneos para el modelo
QSAR-QSPR.

La conclusión a la que se llega es que la
aplicación del criterio matemático para la
selección de la mejor solución entre varias
posibilidades, que surgen de explorar un gran número de
descriptores, permite unificar el funcionamiento de los
métodos clasificadores aquí estudiados. Esto surge
de las tres propiedades estudiadas en el trabajo actual y
podría extenderse al tratamiento de otras
propiedades.

Capítulo
5. Conclusiones

El objetivo principal del Trabajo de Tesina consiste en
establecer una correcta clasificación molecular que
permita seleccionar de manera racional conjuntos moleculares
balanceados para su posterior aplicación en la
Teoría QSAR-QSPR.

En función de los resultados obtenidos, se puede
concluir que:

• A la hora de armar conjuntos moleculares
  balanceados, resulta necesario buscar el mejor resultado de
  clasificación de manera que tenga en cuenta tanto las
  características estructurales de las moléculas
  como a la propiedad experimental objeto de
  estudio.

• El criterio matemático establecido resulta
  funcionar de manera general sobre los distintos datos, y
  permite unificar los métodos estudiados. Esto es
  valioso si para un determinado problema de
  clasificación uno no sabe a cual método
  recurrir.

• Al tratarse HCA de un método gráfico,
  no se lo utilizó en este trabajo por la dificultad que
  presenta a la hora de programar su algoritmo para la
  exploración de más de mil
  descriptores.

Apéndice

I. Discriminación y Clasificación en
LDA

Si consideramos una matriz de atributos o variables
independientes para
cada objeto que pertenece a una clase G1 determinada, este
conjunto de muestras es el llamado conjunto de entrenamiento o
calibración. El problema consiste entonces en hallar una
buena predicción de la clase G1 de un objeto considerado,
con el uso de la misma distribución del conjunto de
entrenamiento, a través de los valores de las variables

La obtención de la función discriminante
incluye una serie de aproximaciones, a saber:

i. las funciones densidad de probabilidad, y son ambas distribuciones normales,
G1.

ii. si y
son los
parámetros media y covarianza de G1=0 y G1=1,
respectivamente, se supone que las covarianzas son
iguales.

Función Discriminante Lineal

Es posible encontrar una relación lineal que
caracterice a cada objeto según los valores de sus
atributos. De esta manera, si tenemos un conjunto de N
objetos de los que se conocen D variables explicativas,
y se observa que N1 de ellos pertenecen a la clase C1, y
los N2 restantes a la clase C2, con N1+N2=N, es
posible construir una función lineal en base a las
D variables y puede usarse para predecir si pertenece a
un grupo u otro con una probabilidad determinada. En la
función lineal:

(AI.1)

es una
variable clasificadora, es la i-ésima variable
atributo, y es su
coeficiente. El objetivo principal de tal función lineal
desde el punto de vista de la varianza consiste en responder a la
pregunta de si dos o más grupos son significativamente
distintos uno a otro respecto a la medida de una variable en
particular. Debe tenerse presente que si la media de una variable
es significativamente diferente en varios grupos, puede decirse
que esta variable discrimina bien entre grupos.

En caso de que sea posible identificar más de dos
grupos en los datos, pueden estimarse funciones discriminantes
múltiples, cada una de ellas similares a la presentada en
la Ec. (AI.1). Por ejemplo, cuando se tienen tres grupos, puede
estimarse: 1) una función para discriminar entre el grupo
1 y los grupos 2 y 3 combinados; y 2) otra función para
discriminar entre el grupo 2 y el grupo 3. Además, se
pueden considerar sólo las funciones discriminantes
múltiples que resulten más significativas: si se
observan los coeficientes estandarizados de las variables de cada
una de las funciones escogidas, cuanto mayor sean estos
coeficientes, más alta es la contribución a la
discriminación especificada. Finalmente, pueden
considerarse las medias de las funciones discriminantes
significativas para analizar entre cuales grupos éstas
discriminan.

II. Tipos de Medida de Distancia

Sea una matriz X (mxn) que es tratada como
m vectores fila x1, x2, …, xm. Varios
tipos de medida de distancia que son posibles definir para el par
de objetos r y s, con xr y
xs, se incluyen a continuación:

i. Distancia Euclídea: es la distancia entre dos
puntos que se mide en el espacio euclídeo, se define
como

(AII.1)

ii. Distancia Euclídea Estandarizada: cada
coordenada en la suma cuadrática se pesa inversamente por
la varianza muestral de esa coordenada.

(AII.2)

donde es
la matriz con elementos diagonales dados por vj2, que se refiere
a la varianza de la variable sobre los m objetos.

iii. Distancia Mahalanobis: es una forma de determinar
la similitud entre dos variables aleatorias multidimensionales. A
diferencia de la distancia Euclídea, esta medida tiene en
cuenta la correlación de las variables.

(AII.3)

donde es
la matriz de covarianza muestral.

iv. Distancia Manhattan: aquí la distancia entre
dos puntos es la suma de las diferencias (absolutas) de sus
coordenadas.

(AII.4)

v. Distancia Minkowski

(AII.5)

En el caso especial p=1, la distancia Minkowski
coincide con la distancia Manhattan, y para el caso especial
p=2, la distancia Minkowski coincide con la distancia
Euclídea.

vi. Distancia Coseno: uno menos del ángulo
incluido entre los puntos (en forma de vector).

(AII.6)

vii. Distancia de Correlación: uno menos la
correlación entre los puntos (tratado como secuencias de
valores).

(AII.7)

donde y

viii. Distancia Hamming: es el porcentaje de coordenadas
que difieren.

(AII.8)

III. Métodos de Enlace o
Vinculación

En el método HCA, se utiliza una función
vinculante que crea un árbol de agrupamiento
jerárquico a partir de las distancias entre pares de
objetos previamente obtenidas. La función puede utilizar
diversos métodos de vinculación, los cuales
difieren en la forma que se calculan las distancias entre los
agrupamientos.

La solución que se obtiene en HCA es una matriz
(m-1)x3 llamada Q, donde m es
el número de observaciones en el conjunto original de
datos. Las primera y segunda columnas de Q contienen a los
índices de los agrupamientos vinculados de a pares, para
formar el árbol binario. La tercera columna contiene la
distancia de vinculación entre los agrupamientos
formados.

La siguiente notación se utiliza para describir
los distintos métodos de vinculación:

• Un agrupamiento r es formado a partir de
  los agrupamientos p y q

• nr es el número de objetos en el
  agrupamiento r.

• xir es el i-ésimo objeto en el
  agrupamiento r.

a. Vinculación individual,
también llamado vecino más cercano,
utiliza la menor distancia entre dos objetos en los dos
agrupamientos.

(AIII.1)

b. Vinculación completa, también
llamado vecino más lejano, utiliza la mayor distancia
entre dos objetos en los dos agrupamientos.

(AIII.2)

c. Vinculación promedio, utiliza la
distancia promedio entre todos los pares de objetos en cualquiera
de los dos agrupamientos.

(AIII.3)

d. Vinculación centroide, utiliza la
distancia Euclídea entre los centroides de los dos
agrupamientos.

(AIII.4)

donde y
se refiere a la
distancia Euclídea.

e. Vinculación media, utiliza la
distancia Euclídea entre los centroides ponderados de los
dos agrupamientos,

(AIII.5)

donde y
son los centroides
pesados para los agrupamientos r y s. Si el
agrupamiento r fue creado por la combinación de
los agrupamientos p y q, es definido recursivamente
como

f. Vinculación de Ward, utiliza la suma
incremental de los cuadrados, es decir, el incremento en la suma
total de los cuadrados dentro del agrupamiento, como resultado de
la unión de dos grupos. La suma de los cuadrados dentro
del agrupamiento es definida como la suma del cuadrado de las
distancias entre todos los objetos en el agrupamiento y el
centroide del agrupamiento. La distancia equivalente
es:

(AIII.6)

g. Promedio ponderado de vinculación,
utiliza una definición recursiva para la distancia entre
dos agrupamientos. Si el agrupamiento r fue creado
mediante la combinación de los agrupamientos p y
q, la distancia entre r y otro agrupamiento
s se define como el promedio de las distancias entre
p y s y la distancia entre q y
s:

(AIII.7)

IV. Eliminación de Mínimos Locales y
Descripción del Cálculo Iterativo en el
Método K-Medias.

Eliminación de mínimos
locales

Al igual que sucede en muchos otros problemas de
optimización numérica, la solución que se
alcanza con el método K-Medias depende a menudo del punto
de partida, en este caso la posición inicial del centroide
de cada agrupamiento. Es posible así alcanzar un
mínimo local, donde la reasignación de cualquier
punto a un nuevo agrupamiento debería incrementar la suma
total de distancias centroide-punto, pero donde puede existir
realmente una mejor solución. Para solucionar este
problema, es posible especificar en el método el
número de "réplicas", es decir, el número de
veces en que se repetirá el proceso de agrupación,
cada uno con un nuevo conjunto de posiciones iniciales del
centroide del agrupamiento. Por supuesto, la mejor
solución será aquella para la cual la suma de las
distancias centroide-punto para cada uno de los agrupamientos sea
mínima.

Descripción del algoritmo

El algoritmo consta de dos partes:

Primera fase. Cada iteración consiste en la
reasignación colectiva de elementos al centroide del
agrupamiento más cercano, todos a la vez, seguida de un
nuevo cálculo de las posiciones de los centroides. La
primera fase ocasionalmente converge a soluciones que son un
mínimo local; es más probable alcanzar un
mínimo global si se trabaja con pequeños grupos de
datos. La fase de actualización colectiva es
rápida, pero posiblemente sólo aproxime una
solución que sea el punto de partida de la segunda
fase.

Segunda fase. Los elementos son reasignados
individualmente si con ello se reduce la suma de distancias, y en
cada reasignación se calcula la ubicación del
centroide del agrupamiento. Cada iteración consiste en la
ubicación de todos los elementos. En esta fase la
solución converge a un mínimo local, aunque puede
haber otro mínimo local con menor suma total de
distancias. Generalmente el problema de hallar un mínimo
global puede ser resulto únicamente por medio de una
selección exhaustiva de los puntos de partida, aunque la
utilización de varias réplicas con puntos de
partida aleatorios generalmente converge a una solución
que es un mínimo global.

V. Definición del Parámetro
Silueta

La definición de los valores silueta es la
siguiente: dado un grupo G1 y un objeto i asignado a
éste, la disimilitud promedio de i para todos los
objetos j en G1 está dada por:

número de objetos en G1
(AV.1)

donde es
la distancia de cada objeto i a cada objeto j
en G1. La menor disimilitud correspondiente a i respecto
a cualquier otro agrupamiento, b(i), también es
calculada. Si i es más similar a los objetos en
un grupo G2 que a los del grupo G1, entonces:

número de objetos en G2
(AV.2)

Por lo tanto, el valor silueta s(i)
definido para un objeto i es:

(AV.3)

donde se
refiere al mayor valor entre y

VI. El Clasificador del Método K-Vecinos
Más Cercanos

Si se quiere conocer la clase a la que pertenece un
objeto dado, entre varias clases posibles, se introduce el
concepto de clasificador. Un clasificador es una función
que asigna un objeto a una clase determinada, para lo cual se
basa en el conocimiento de sus variables atributo. Existen dos
tipos de clasificadores:

• Paramétricos: asumen que la
  distribución estadística que sigue el conjunto
  de variables es conocido, y trata de estimar los
  parámetros de dicha distribución.

• No-paramétricos: no asume ninguna
  distribución en particular. El clasificador se
  construye únicamente con los datos del conjunto de
  entrenamiento.

Entre los clasificadores no-paramétricos, el
más conocido es el basado en el método K-vecinos
más cercanos: si Ki es el número de objetos que
pertenecen a la clase Gi entre los K vecinos más cercanos
al objeto considerado x, la probabilidad a
posteriori (la
probabilidad de que la clase sea Gi cuando x se describe
con el conjunto de variables d ) se estima como De esta manera, el
clasificador asigna x a la clase más frecuente
entre sus K vecinos más cercanos, según una cierta
medida de distancia.

VII. Algunos Algoritmos Utilizados en
Matlab

Algoritmo
clusterskmeans.m

function [Resultkmeans] =
clusterskmeans(p,tot,nclusters,percent)

% INPUT:

% p = experimental property

% tot = data matrix with pool of
descriptors

% nclusters = number of clusters to be
created

% percent = percent of total compounds to
be used as part of train and

% val sets

% OUTPUT:

% Resultkmeans = returns in each row in the
following order:

% the descriptor number, mean silhouette
value, minimum silhouette

% value, rmse(train), rmse(val),
rmse(test), rmse(train)-mse(val),

% the within-cluster sums of
point-to-centroid distances, the

% sum of within-cluster sums of
point-to-centroid distances, and

% the number of objects in each
cluster

% Pablo R. Duchowicz

% INIFTA, La Plata, Argentina

% Created: 2nd March 2011

warning off

resj=[];

[d1, d2]=size(tot);

for j=1:d2

apt=0;

vecto=[j];

[IDX0, C, sumd, D, silh3, msilh3, ncomp] =
kmca(tot(:,vecto), nclusters, 'distance', 'sqEuclidean', 'off',
50);

if msilh3==-999

apt=1;

else

if msilh3==1

apt=1;

else

if silh3>0

apt=0;

else

apt=1;

end

end

end

if apt==0

res=sumd';

[Idmol Ncomp] = idmol(IDX0,
nclusters);

vari=0;

for k=1:nclusters

if Ncomp(k)==0

vari=1;

end

end

if vari==0

[train, val, test] =
analysis2(Idmol,percent);

[Res] = rmsr(p(train), [1], tot0(train,:),
1);

[rsstrain rssval rsstest] =
trainvaltestrss(train,val,test,p,tot0,Res(2));

resj=[resj;[vecto,msilh3,min(silh3),Res(2),rsstrain,rssval,rsstest,abs(rsstrain-rssval),
(1-rsstrain/rssval)*100, res,sum(res),ncomp]];

end

end

end

if size(resj,1)>0

resj=sortrows(resj,(dv+9));

end

Resultkmeans=resj;

Algoritmo clustersknn.m

function [Resultknn] =
clustersknn(p,tot,nclusters,percent)

% INPUT:

% p = experimental property

% tot = data matrix with pool of
descriptors

% nclusters = number of clusters to be
created

% percent = percentage of total compounds
to be used as part of train and

% val sets

% OUTPUT:

% Resultknn = returns in each row the
results in the following order:

% the classifying descriptor's number, the
best descriptor of

% linear model, rmse(train), rmse(val),
rmse(test), rmse(train)-

% rmse(val), the percentage difference
between train and val, and

% the number of objects in each
cluster

% Pablo R. Duchowicz

% INIFTA, La Plata, Argentina

% Created: 15th March of 2011

warning off

resj = [];

[d1, d2] = size(tot);

for j=1:d2

vecto = [j];

[CN] =
centers(tot(:,vecto),nclusters);

c =
knnclassify(tot(:,vecto),CN,(1:nclusters)');

[Idmol Ncomp] = idmol(c,
nclusters);

vari=0;

for k = 1:nclusters

if Ncomp(k)==0

vari=1;

end

end

if vari == 0

[train, val, test] =
analysis2(Idmol,percent);

[Res] = rmsr(p(train), [1], tot(train,:),
1);

[rsstrain rssval rsstest] =
trainvaltestrss(train,val,test,p,tot,Res(2));

resj=[resj;[vecto,Res(2),rsstrain,rssval,rsstest,abs(rsstrain-rssval),(1-rsstrain/rssval)*100,Ncomp]];

end

end

if size(resj,1)>0

resj=sortrows(resj,(dv+7));

end

Resultknn=res