Recopilación de apuntes que tratan sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias

REPASO CÁLCULO DIFERENCIAL Y CALCULO INTEGRAL

En este capitulo recordamos las reglas que introducen al calculo diferencial, esto es solo una introduccion breve, un recordatorio de lo que ya el lector deberia saber, en todo curso introductorio a ecuaciones diferenciales se asume que el lector posee ya una base solida de como integrar y derivar funciones, lo primero que debemos recordar es la definicion de limite, y las propiedades del limite

1.1 Definicion Limite y Propiedades

Informalmente, decimos que el límite de la función ƒ (x) es L cuando x tiende a a, y escribimos

(1.1)

si se puede encontrar x suficientemente cerca de a tal que ƒ (x) es tan cerca de L como se quiera. (a puede ser finito o infinito.) Es decir, el límite es L si ƒ (x) tiende a L cuando x tiende a a. Más precisamente, decimos que

(1.2)

Propiedades o Reglas de Los Limites.

1.2 Calculo Diferencial

Asumimos que sabes lo que es una funcion ƒ (x) : ƒ toma los valores de x, y resulta un valor para ƒ , el valor de ƒ depende de x, por lo tanto nos referimos a ƒ como la variable dependi- ente y x como la variable independiente.

Como un ejemplo considera ƒ (x) = x2 + 5 si x = 5 el valor de ƒ es

ƒ (5) = 52 + 5 = 30

Evaluando la funcion para diferentes valores de la variable x se puede crear un grafica que muestra la relacion f(x):f Asumimos que la funcion es continua esto significa que puedes dibujar la grafica de ƒ sin la necesidad de remover el lapiz del papel o mas formalmente

Definicion 1.1 se dice que una función ƒ es continua en un punto a si existe ƒ (a), si existe el límite de ƒ (x) cuando x tiende hacia a por la derecha, si existe el límite de ƒ (x) cuando x tiende hacia a por la izquierda, y además coinciden con ƒ (a)

La derivada de una funcion denotado por el operador D() , d/ dx o ƒ 1(x) , el cual actua es una funcion ƒ (xi ) : ƒ se define por el siguiente limite

(1.9)

observamos la derivada mide la razon de cambio de la variable independiente respecto la variable dependiente. demos un ejemplo como calcular la derivada usando la ecuacion 1.9

calcular la derivada de ƒ (x) = x2

(1.10)

Resolviendo el algebra y el limite en 1.10

claramente la funcion debe ser continua antes de poder calcular la derivada.

Una vez obtenido la derivada, puedes tomar la derivada de la derivada apelando a la defini- cion anterior, como un ejemplo la derivada de la derivada de ƒ (x) = x2 que recibe el nombre de la segunda derivada se calcula a continuacion

La extencion para derivadas de mayor orden es obvio

1.2.1 La derivada un operador lineal

Uno puede decir que el calculo de la derivada es una operacion lineal como referencia consid- era L = aƒ + bg donde a y b son escalares e ƒ y g son funciones que dependen de x, calcular la derivada de L respecto de x es como sigue

D(L) = D(aƒ + bg) = aD(ƒ ) + bD(g) (1.13)

la ecuacion anterior nos dice que la derivada de una combinacion lineal de funciones es equivalente a la combinacion lineal de sus derivadas, lo anterior se puede comprobar usando la 1.9

1.2.2 Regla del producto

Otra definicion util para calcular la derivada del producto dos funciones L = ƒ g se demuestra a continuacion

En conclusion la derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda function, más la segunda function multplicada por la derivada de la primera funcion.

D(L) = D(ƒ g) = ƒ D(g) + gD(ƒ ) (1.22)

1.2.3 Regla de la Cadena

Usando los mismos principios uno puede deducir la regla de la cadena

En términos intuitivos, si una variable, ƒ , depende de una segunda variable, u, que a la vez depende de una tercera variable, x; entonces, el ratio de cambio de ƒ con respecto a x puede ser computado como el producto del ratio de cambio de ƒ con respecto a u multiplicado por el ratio de cambio de u con respecto a x.la definicion se muestra a continuacion

mencionemos un ejemplo. Sea u(x) = x2 + 1 y ƒ (u) = u2 para encontrar la derivada de ƒ respecto de x aplicamos la regla de la cadena

se puede comprobar el resultado usando fuerza bruta, expresando u en terminos de x, asi la variable ƒ es explicita en funcion de x y podemos tomar la derivada

1.2.4 Regla del cociente

Utilizando la defincion de la derivada del producto de dos funciones y la regla de la cadena encontramos la regla del cociente para esto definamos L = ƒ / g

1.2.5 Tablas Derivacion

Depues de las anteriores generalidades, se considera casos especiales que son usados fre- cuentemente. primero considera ƒ (x) = xn siendo n un entero positivo. calcular la derivada de ƒ es como sigue.

Es util considerar lo que uno puede hacer para calcular la derivada de ƒ (x) = xn sin la necesidad de usar la expansion binomial por intuicion en la expancion de un binomio (x +Ax)n = xn + mxnxn-1 + ...mxn al factorisar el factor comun mx el unico termino sobrevive al aplicar el la ecuacion anterior tambien puede extenderse para numeros irracionales y para numeros negativos exceptuando x = -1. Afortunadamente hace tiempo atras. Los matematicos han elaborado tablas donde se encuentra la derivacion de funciones elementales, como lo son las funciones trigonomatricas, exponenciales, logartimicas, etc. Por referencia adjunto una parte de estas tablas que podran ser utiles. En la lituratura existen tablas matematicas contiene mucho mas informacion un ejemplo de esos libros es Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st Edition, CRC Press

1.3 Derivación funciones implícitas

Hasta ahora se sabe como encontrar la derivada de dy/ dx cuando y(x), en otras palabras la variable dependiente esta relacionada explicitamente por la variable independiente, pero que sucede si las variables y e x estan realacionadas por una ecuacion por ejemplo : x2 + y2 = R2 y te preguntan encontrar la derivada dy/ dx.

Existen dos formas de atacar el problema, la primera es intentar expresar y en funcion de x,luego calcular la razon de dy/ dx haciendo que x cambie infinitesimalmente. La segunda es imaginar que y e x cambien infinitesimalmente mientras se preserva la forma de las restric- ciones ( por ejemplo un circulo )

Considera la funcion implicita ax6 + 2x3 y - y7 x = 10 y se procede a calcula la derivada de variable y con respecto de la variable x

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