Recopilación de apuntes que tratan sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias
REPASO
CÁLCULO DIFERENCIAL Y CALCULO INTEGRAL
En este capitulo recordamos las reglas que introducen al
calculo diferencial, esto es solo una introduccion breve, un
recordatorio de lo que ya el lector deberia saber, en todo curso
introductorio a ecuaciones diferenciales se asume que el lector
posee ya una base solida de como integrar y derivar funciones, lo
primero que debemos recordar es la definicion de limite, y las
propiedades del limite
1.1 Definicion
Limite y Propiedades
Informalmente, decimos que el límite de la
función ƒ (x) es
L cuando x tiende a a, y
escribimos
(1.1)
si se puede encontrar x suficientemente cerca
de a tal que ƒ (x)
es tan cerca de L como se quiera. (a puede ser
finito o infinito.) Es decir, el límite es L si
ƒ (x) tiende a L
cuando x tiende a a. Más precisamente,
decimos que
(1.2)
Propiedades o Reglas de Los Limites.
1.2 Calculo
Diferencial
Asumimos que sabes lo que es una funcion ƒ
(x) : ƒ toma los valores de
x, y resulta un valor para ƒ , el valor de
ƒ depende de x, por lo tanto nos referimos
a ƒ como la variable dependi- ente y x
como la variable independiente.
Como un ejemplo considera ƒ
(x) = x2 + 5 si x =
5 el valor de ƒ es
ƒ (5) = 52
+ 5 = 30
Evaluando la funcion para diferentes valores de la
variable x se puede crear un grafica que muestra la
relacion f(x):f Asumimos que la funcion es continua esto
significa que puedes dibujar la grafica de ƒ sin la
necesidad de remover el lapiz del papel o mas
formalmente
Definicion 1.1 se dice que una función
ƒ es continua en un punto a si existe
ƒ (a), si existe el límite
de ƒ (x) cuando x
tiende hacia a por la derecha, si existe el
límite de ƒ (x)
cuando x tiende hacia a por la izquierda, y
además coinciden con ƒ
(a)
La derivada de una funcion denotado por el
operador D() , d/ dx o
ƒ
1(x)
, el cual actua es una funcion ƒ
(xi ) : ƒ se define por el
siguiente limite
(1.9)
observamos la derivada mide la razon de
cambio de la variable independiente respecto la variable
dependiente. demos un ejemplo como calcular la derivada usando la
ecuacion 1.9
calcular la derivada de ƒ
(x) = x2
(1.10)
Resolviendo el algebra y el limite en
1.10
claramente la funcion debe ser continua
antes de poder calcular la derivada.
Una vez obtenido la derivada, puedes tomar la derivada
de la derivada apelando a la defini- cion anterior, como un
ejemplo la derivada de la derivada de ƒ
(x) = x2 que recibe el nombre de la
segunda derivada se calcula a continuacion
La extencion para derivadas de mayor orden es
obvio
1.2.1 La derivada un operador lineal
Uno puede decir que el calculo de la derivada es una
operacion lineal como referencia consid- era L =
aƒ + bg donde a y
b son escalares e ƒ y g son
funciones que dependen de x, calcular la derivada de
L respecto de x es como sigue
D(L) =
D(aƒ + bg) =
aD(ƒ ) +
bD(g) (1.13)
la ecuacion anterior nos dice que la derivada de una
combinacion lineal de funciones es equivalente a la combinacion
lineal de sus derivadas, lo anterior se puede comprobar usando la
1.9
1.2.2 Regla del producto
Otra definicion util para calcular la
derivada del producto dos funciones L =
ƒ g se demuestra a continuacion
En conclusion la derivada del producto de dos funciones
es igual a la primera función multiplicada por la derivada
de la segunda function, más la segunda function
multplicada por la derivada de la primera funcion.
D(L) =
D(ƒ g) = ƒ
D(g) +
gD(ƒ ) (1.22)
1.2.3 Regla de la Cadena
Usando los mismos principios uno puede deducir la regla
de la cadena
En términos intuitivos, si una variable,
ƒ , depende de una segunda variable, u,
que a la vez depende de una tercera variable, x;
entonces, el ratio de cambio de ƒ con respecto a
x puede ser computado como el producto del ratio de
cambio de ƒ con respecto a u multiplicado
por el ratio de cambio de u con respecto a x.la
definicion se muestra a continuacion
mencionemos un ejemplo. Sea
u(x) = x2 + 1 y
ƒ (u) = u2 para encontrar la
derivada de ƒ respecto de x
aplicamos la regla de la cadena
se puede comprobar el resultado usando
fuerza bruta, expresando u en terminos de x,
asi la variable ƒ es explicita en funcion de
x y podemos tomar la derivada
1.2.4 Regla del cociente
Utilizando la defincion de la derivada del
producto de dos funciones y la regla de la cadena encontramos la
regla del cociente para esto definamos L =
ƒ / g
1.2.5 Tablas Derivacion
Depues de las anteriores generalidades, se considera
casos especiales que son usados fre- cuentemente. primero
considera ƒ (x) =
xn siendo n un entero positivo. calcular la
derivada de ƒ es como sigue.
Es util considerar lo que uno puede hacer
para calcular la derivada de ƒ
(x) = xn sin la
necesidad de usar la expansion binomial por intuicion en la
expancion de un binomio (x
+Ax)n
= xn +
mxnxn–1 +
…mxn al factorisar el factor comun mx el unico termino
sobrevive al aplicar el la ecuacion anterior tambien puede extenderse
para numeros irracionales y para numeros negativos
exceptuando x = –1. Afortunadamente hace
tiempo atras. Los matematicos han elaborado tablas
donde se encuentra la derivacion de funciones elementales, como
lo son las funciones trigonomatricas, exponenciales,
logartimicas, etc. Por referencia adjunto una parte de estas
tablas que podran ser utiles. En la lituratura existen tablas
matematicas contiene mucho mas informacion un ejemplo de esos
libros es Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables
and Formulae, 31st Edition, CRC Press
1.3
Derivación funciones implícitas
Hasta ahora se sabe como encontrar la derivada de
dy/ dx cuando y(x), en otras
palabras la variable dependiente esta relacionada explicitamente
por la variable independiente, pero que sucede si las variables
y e x estan realacionadas por una ecuacion por
ejemplo : x2 + y2 = R2 y te preguntan encontrar la
derivada dy/ dx.
Existen dos formas de atacar el problema, la primera es
intentar expresar y en funcion de x,luego
calcular la razon de dy/ dx haciendo que x
cambie infinitesimalmente. La segunda es imaginar que y
e x cambien infinitesimalmente mientras se preserva la
forma de las restric- ciones ( por ejemplo un circulo
)
Considera la funcion implicita ax6 + 2×3 y – y7
x = 10 y se procede a calcula la derivada de variable
y con respecto de la variable x
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