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Recopilación de apuntes que tratan sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias



    REPASO
    CÁLCULO DIFERENCIAL Y CALCULO INTEGRAL

    En este capitulo recordamos las reglas que introducen al
    calculo diferencial, esto es solo una introduccion breve, un
    recordatorio de lo que ya el lector deberia saber, en todo curso
    introductorio a ecuaciones diferenciales se asume que el lector
    posee ya una base solida de como integrar y derivar funciones, lo
    primero que debemos recordar es la definicion de limite, y las
    propiedades del limite

    1.1 Definicion
    Limite y Propiedades

    Informalmente, decimos que el límite de la
    función ƒ (x) es
    L cuando x tiende a a, y
    escribimos

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    (1.1)

    si se puede encontrar x suficientemente cerca
    de a tal que ƒ (x)
    es tan cerca de L como se quiera. (a puede ser
    finito o infinito.) Es decir, el límite es L si
    ƒ (x) tiende a L
    cuando x tiende a a. Más precisamente,
    decimos que

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    (1.2)

    Propiedades o Reglas de Los Limites.

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    1.2 Calculo
    Diferencial

    Asumimos que sabes lo que es una funcion ƒ
    (x) : ƒ toma los valores de
    x, y resulta un valor para ƒ , el valor de
    ƒ depende de x, por lo tanto nos referimos
    a ƒ como la variable dependi- ente y x
    como la variable independiente.

    Como un ejemplo considera ƒ
    (x) = x2 + 5 si x =
    5 el valor de ƒ es

    ƒ (5) = 52
    + 5 = 30

    Evaluando la funcion para diferentes valores de la
    variable x se puede crear un grafica que muestra la
    relacion f(x):f Asumimos que la funcion es continua esto
    significa que puedes dibujar la grafica de ƒ sin la
    necesidad de remover el lapiz del papel o mas
    formalmente

    Definicion 1.1 se dice que una función
    ƒ es continua en un punto a si existe
    ƒ (a), si existe el límite
    de ƒ (x) cuando x
    tiende hacia a por la derecha, si existe el
    límite de ƒ (x)
    cuando x tiende hacia a por la izquierda, y
    además coinciden con ƒ
    (a)

    La derivada de una funcion denotado por el
    operador D() , d/ dx o
    ƒ
    1(x)
    , el cual actua es una funcion ƒ
    (xi ) : ƒ se define por el
    siguiente limite

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    (1.9)

    observamos la derivada mide la razon de
    cambio de la variable independiente respecto la variable
    dependiente. demos un ejemplo como calcular la derivada usando la
    ecuacion 1.9

    calcular la derivada de ƒ
    (x) = x2

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    (1.10)

    Resolviendo el algebra y el limite en
    1.10

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    claramente la funcion debe ser continua
    antes de poder calcular la derivada.

    Una vez obtenido la derivada, puedes tomar la derivada
    de la derivada apelando a la defini- cion anterior, como un
    ejemplo la derivada de la derivada de ƒ
    (x) = x2 que recibe el nombre de la
    segunda derivada se calcula a continuacion

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    La extencion para derivadas de mayor orden es
    obvio

    1.2.1 La derivada un operador lineal

    Uno puede decir que el calculo de la derivada es una
    operacion lineal como referencia consid- era L =
    + bg donde a y
    b son escalares e ƒ y g son
    funciones que dependen de x, calcular la derivada de
    L respecto de x es como sigue

    D(L) =
    D( + bg) =
    aD(ƒ ) +
    bD(g) (1.13)

    la ecuacion anterior nos dice que la derivada de una
    combinacion lineal de funciones es equivalente a la combinacion
    lineal de sus derivadas, lo anterior se puede comprobar usando la
    1.9

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    1.2.2 Regla del producto

    Otra definicion util para calcular la
    derivada del producto dos funciones L =
    ƒ g se demuestra a continuacion

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    En conclusion la derivada del producto de dos funciones
    es igual a la primera función multiplicada por la derivada
    de la segunda function, más la segunda function
    multplicada por la derivada de la primera funcion.

    D(L) =
    D(ƒ g) = ƒ
    D
    (g) +
    gD(ƒ ) (1.22)

    1.2.3 Regla de la Cadena

    Usando los mismos principios uno puede deducir la regla
    de la cadena

    En términos intuitivos, si una variable,
    ƒ , depende de una segunda variable, u,
    que a la vez depende de una tercera variable, x;
    entonces, el ratio de cambio de ƒ con respecto a
    x puede ser computado como el producto del ratio de
    cambio de ƒ con respecto a u multiplicado
    por el ratio de cambio de u con respecto a x.la
    definicion se muestra a continuacion

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    mencionemos un ejemplo. Sea
    u(x) = x2 + 1 y
    ƒ (u) = u2 para encontrar la
    derivada de ƒ respecto de x
    aplicamos la regla de la cadena

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    se puede comprobar el resultado usando
    fuerza bruta, expresando u en terminos de x,
    asi la variable ƒ es explicita en funcion de
    x y podemos tomar la derivada

    1.2.4 Regla del cociente

    Utilizando la defincion de la derivada del
    producto de dos funciones y la regla de la cadena encontramos la
    regla del cociente para esto definamos L =
    ƒ / g

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    1.2.5 Tablas Derivacion

    Depues de las anteriores generalidades, se considera
    casos especiales que son usados fre- cuentemente. primero
    considera ƒ (x) =
    xn siendo n un entero positivo. calcular la
    derivada de ƒ es como sigue.

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    Es util considerar lo que uno puede hacer
    para calcular la derivada de ƒ
    (x) = xn sin la
    necesidad de usar la expansion binomial por intuicion en la
    expancion de un binomio (x
    +Ax)n
    = xn +
    mxnxn1 +
    mxn al factorisar el factor comun mx el unico termino
    sobrevive al aplicar el Monografias.comla ecuacion anterior tambien puede extenderse
    para numeros irracionales y para numeros negativos
    exceptuando x = 1. Afortunadamente hace
    tiempo atras. Los matematicos han elaborado tablas
    donde se encuentra la derivacion de funciones elementales, como
    lo son las funciones trigonomatricas, exponenciales,
    logartimicas, etc. Por referencia adjunto una parte de estas
    tablas que podran ser utiles. En la lituratura existen tablas
    matematicas contiene mucho mas informacion un ejemplo de esos
    libros es Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables
    and Formulae
    , 31st Edition, CRC Press

    1.3
    Derivación funciones implícitas

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    Hasta ahora se sabe como encontrar la derivada de
    dy/ dx cuando y(x), en otras
    palabras la variable dependiente esta relacionada explicitamente
    por la variable independiente, pero que sucede si las variables
    y e x estan realacionadas por una ecuacion por
    ejemplo : x2 + y2 = R2 y te preguntan encontrar la
    derivada dy/ dx.

    Existen dos formas de atacar el problema, la primera es
    intentar expresar y en funcion de x,luego
    calcular la razon de dy/ dx haciendo que x
    cambie infinitesimalmente. La segunda es imaginar que y
    e x cambien infinitesimalmente mientras se preserva la
    forma de las restric- ciones ( por ejemplo un circulo
    )

    Considera la funcion implicita ax6 + 2×3 y – y7
    x = 10 y se procede a calcula la derivada de variable
    y con respecto de la variable x

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