Resumen
Se ha intentado verificar la proposición de
Fermat para el caso de exponente n simple impar,
mediante consideraciones basadas en la divisibilidad de los
números, en el dominio de los números naturales,
expresables de acuerdo con el teorema fundamental de la
aritmética, como producto de factores simples enteros y
positivos.
Proposición de
Fermat
Si n es entero mayor que 2, no
existen tres números enteros positivos, m,
a, b, que verifiquen la
ecuación,
Escolio 1.
La resolución de la ecuación de Fermat requiere
que m – a divida a la potencia n-sima de un
entero que sea diferencia de potencias de igual grado de los
enteros m y a.
Las soluciones m, a, b, n
de (1), que aquí se consideran, así como los
valores numéricos de los símbolos que se emplean,
son números de la clase de los enteros positivos,
descomponibles según la forma canónica ordinaria y
única, en monomios producto de potencias de exponente
natural de factores simples enteros positivos, de acuerdo con el
teorema fundamental de la aritmética, por lo que quedan
excluidas todas las demás formas de factorización
de los números naturales.
Basta considerar, como es sabido, los casos en que m,
a y b son primos entre sí dos a dos y el
exponente n igual a 4, o simple mayor que 2, que es el
que se precisa probar, pues la proposición de Fermat es
verdadera para n = 4.
La ecuación (1) puede ponerse bajo la forma
Proposición 1.
Proposición 2
De estas dos relaciones se obtiene,
y también,
Corolario 1.
Escolio 2.
Escolio 3
Hasta aquí se ha demostrado que si n es simple
mayor que 2 y divisor de m – a, la proposición de
Fermat es verdadera, pues en este caso, la solución de la
ecuación (1) no estaría formada por tres enteros
positivos primos entre sí dos a dos, (Proposición
1).
Se ha demostrado que si m – a es divisor de
b o simple, la proposición de Fermat es
verdadera, y sólo tiene solución la ecuación
(1) en m, a, b enteros positivos, si
n = 2 en virtud de la Proposición 2.
Se ha demostrado igualmente que para todo exponente entero
n mayor que 2, b y m – a, no son
primos entre si, (Escolio 1) y son primos con el simple
n (Proposición 1) que, por tanto, no puede ser el
factor común requerido para resolver la ecuación de
Fermat.
Como el caso en que b es múltiplo de
c implica que n es igual a 2, se debe
considerar el supuesto en que b y c poseen un
factor común distinto de c.
Proposición 3
Conclusión
Mediante métodos de álgebra elemental y
criterios de divisibilidad de los números naturales en el
dominio regido exclusivamente por el teorema fundamental de la
aritmética, se demuestra que
Autor:
Juan Perez