INTRODUCCIÓN: En el estudio de la descomposición de
fracciones racionales en fracciones parciales, es importante
analizar diferentes características involucradas en ellos.
Ayuda en este sentido el concepto de fracción propia y el
proceso de factorización de polinomios. En la siguente
presentación se selecciona un grupo de ejercicios que
abarcan en general los diferentes casos en la
descomposición de una fracción en fracciones
simples.
2 El estudiante en los cursos tradicionales de matemática
realiza la operación de sumar dos o más fracciones,
ejemplo: (Gp:) Sumar
3 Es frecuente que en cursos de cálculo, sea conveniente
poder invertir este proceso, es decir, ser capaz de expresar una
fracción como la suma de dos o más expresiones
racionales más simples denominadas fracciones parciales,
ejemplo: (Gp:) Descomposición en fracciones simples
4 Para tener éxito en este proceso, estableceremos algunas
preliminares: Polinomios – Los polinomios son expresiones de la
forma:
5 Igualdad de polinomios son iguales si y solo si sus grados son
iguales (n = m) y sus coeficientes también, es decir: Dos
polinomios
6 Ejemplo: (A + 2 B) X + B = 5 X – 3 A + 2 B=5 B=–3 A
+ 2 (–3)=5 A = 11 Si: P(x) = (A + 2 B) X y Q (x) = 5 X
– 3 Entoncés, P(x) = Q (x)
7 Fracción de la forma: ax2+bx+c (irreducible) polinomio
de grado dos m y n son números naturales px+q polinomio de
grado uno A y B son números reales Fracción
simple
8 Fracción racional Teóricamente cualquier
función racional se puede descomponer en suma de
fracciones simples f(x) y g(x) son polinomios de cualquier
grado
9
10 Fracción propia Si la fracción es propia se
descompone en suma de fracciones simples, de la siguiente manera:
Cada término Fk de la suma es de la forma:
11 1) Descomponer el denominador g(x) en un producto de factores:
lineales cuadráticos irreducibles lineales y
cuadráticos 2) Por cada factor de la forma (p x + q)m,
m=1. La descomposición en fracciones simples contiene una
suma de m fracciones simples de la forma: Por cada factor de la
forma (ax2+bx+c)n, n=1. La descomposición en fracciones
simples contiene una suma de n fracciones simples de la forma 3)
Los restantes pasos se explican directamente en los ejemplos
resueltos DESARROLLO: Pasos para descomponer una fracción
propia en suma de fracciones simples
12 Ejemplos Descomponer en fracciones simples: Paso 1: Factorizar
el denonimador Paso 2: Descomponer en suma de fracciones
(Factores lineales que no se repiten)
13 Paso 3: Calcular las constantes A y B Efectuamos la suma Como
los denominadores son iguales, los numerados deben serlo
también: Aplicando la igualdad de polinomios tenemos:
Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 5 y B = 2
Solución:
14 El procedimiento introducido en este ejemplo se llama
método de los coeficientes indeterminados, pues se
introducen coeficientes que no se conocen y cuyo valor se
determina aplicando la definición de igualdad. Otra
variante de solución: Como la ecuación es una
identidad, debe cumplirse para todos los valores de x, en
particular si se hace:
15 Para calcular B como no tenemos más ceros, damos a la x
un valor cualquiera. Normalmente hacemos (x = 0) que es lo
más sencillo. Solución: (Factores lineales
repetidos)
(Factores cuadráticos que no se repiten) Igualando los
numeradores, obtenemos: Aplicando la igualdad de polinomios
tenemos:
17 A = 0 C = 0 B = – 3 D = 3 Solución: Otra vía de
solución, es emplear la utilizada en los dos primeros
incisos. Como el denominador no tiene ceros, para calcular el
valor de las constantes, le damos a la variable x valores
convenientes *INTENTELO* Solución del sistema
planteado
Igualando los numeradores, obtenemos: Aplicando la igualdad de
polinomios tenemos:
Igualando los numeradores, obtenemos: Aplicando la igualdad de
polinomios tenemos:
Fracción impropia Efectuamos la división y se
obtiene un polinomio y una fracción propia que escribimos
en la forma deseada Ejemplo:
21 Se divide el numerador f(x) entre el denominador g(x),
obtenemos:
22 Para descomponer se debe prestar gran atención al tipo
de Fracción Conclusiones:
23 Estudio Independiente Descomponer las siguientes fracciones en
fracciones simples:
24 Soluciones