Didáctica de la geometría

Objetivo # 1:

Objetivos
específicos y contenidos de
geometría

Actividad 1: Haga una lista de los
objetivos específicos relacionados con Geometría de
cada grado y año del bachillerato conjuntamente con sus
contenidos y escriba al lado de cada uno, una actividad de
enseñanza.

Solución:

Objetivo # 1:

Cuadro
comparativo entre contenidos de geometría de la una y los
de bachillerato

Actividad 2: Elabore un cuadro
comparativo entre los contenidos de la asignatura
Geometría de la carrera Educación Matemática
de la UNA y los contenidos de geometría del pensum vigente
de la III Etapa y media Diversificada y Profesional, emita una
conclusión al respecto.

CONCLUSIONES

Gran parte de los contenidos del programa
de geometría de la UNA, se encuentran en los programas de
geometría de 7º a 9º grado de EB y de 4º y
5º año de EMDP, sin embargo, el tratamiento de los
temas en la geometría euclidiana, que se enseña en
la UNA, es más profundo en el contenido y más
extenso en cuanto a los diferentes tópicos tratados. En
éste se estudian Proposiciones y su cálculo, Reglas
de Inferencia, Conectivos Lógicos, los cuales nos conducen
a realizar Demostraciones, las cuales no se enseñan en la
escuela básica ni en el bachillerato, salvo algunas
demostraciones que aparecen hechas en los libros y que el
profesor puede mostrar a sus estudiantes, los bachilleres no
egresan capacitados para realizarlas, esta es una de las mayores
dificultades que encuentran dichos estudiantes al ingresar al
programa de geometría de la UNA. Algunas construcciones
como la división de segmento en varias partes iguales, la
Fórmula de Herón y el Teorema de Hipócrates,
también están ausentes de los programas de la III
Etapa y EMDP.

La forma de responder a un examen de
geometría también varía en la UNA, en la que
se exige el razonamiento de cada respuesta y no solo los
cálculos para hallar determinada variable.

Aunque en la III Etapa y Media
Diversificada se estudian Teoremas y Axiomas en geometría,
su aplicación en la resolución de problemas se
reduce a los más conocidos, como el Teorema de
Pitágoras, el Teorema de Tales y el Teorema de Euclides,
pero la mayor parte de teoremas no se practican, solo se
mencionan.

Objetivo #2

Actividad 1

Explicacion del
teorema de Pitágoras utilizando contextos
extraescolares

La actividad consistiría en que los
estudiantes tomen una cinta métrica y midan la base (X) y
la altura (Y) de la pantalla protectora de su computadora, la
cual debe ser rectangular. Luego, medir una de las diagonales del
rectángulo, la cual dividiría la pantalla en dos
triángulos rectángulos, siendo X y Y los catetos,
los cuales forman el ángulo recto, y D la diagonal, la
cual sería la hipotenusa de los
triángulos.

Entonces se aplica la
fórmula:

Objetivo #2

Actividad 2

Demostración geométrica usando
el geoplano

Demostrar con un geoplano que uniendo los
puntos medios de los lados de un tra pezoide de manera
consecutiva, se forma un paralelogramo. (Esto pasa en cualquier
cuadrilátero).

TESIS:

EFGH es paralelogramo

Aplicando la PROPIEDAD DE LA
BASE

MEDIA, la cual dice que la medida de
la

Base media de un triángulo es igual
a la

Mitad del lado que NO une:

Definición de paralelogramo: un
paralelogramo es un cuadrilátero que posee sus dos pares
de lados opuestos congruentes, entonces EFGH es un
paralelogramo.

Para realizar esta demostración en
un GEOPLANO, se procedió de la siguiente manera: en una
hoja de papel bond se trazó una serie de líneas
horizontales paralelas entre sí, con una separación
de dos cm (Geoplano de 2 X 2), luego se trazaron líneas
verticales con la misma separación. Se colocó sobre
una tabla de madera y se colocaron clavos en cada uno de los
puntos de corte de las líneas. De inmediato se armó
el cuadrilátero ABCD con hilos de tejer. Se ubicaron los
puntos medios de los lados del cuadrilátero y se
identificaron con las letras E, F, G, y H, formando el
cuadrilátero EFGH al unir estos puntos con líneas
rectas con un marcador, se formaron las diagonales AC y DB,
atravesando hilos entre los puntos A y C y entre los puntos B y
D, después de realizar la demostración
analíticamente, se comprobó en la práctica,
midiendo los lados de éste último
cuadrilátero, que, efectivamente, los lados EF y HG son
iguales, y los lados EH y GF, también son iguales entre
sí. Lo cual demuestra en de hecho que EFGH es un
paralelogramo.

Objetivo #2

Actividad 3

Análisis
de una lección de geometría según las pautas
del profesor Minguez

Escogí una lección de la
página 170 del libro de Matemática de 9º grado
de la Editorial Santillana de 1998

• 1- Título: Proporcionalidad y
  Semejanza.

Subtítulo: Razón y
Proporción.

• 2- Objetivos: se presentan en las
  primeras páginas del libro, donde se muestran todos
  los objetivos del mismo. Al comienzo de la lección no
  se manifiestan los objetivos.

• 3- Esquema Conceptual – Procedimental de la
  lección: la página donde se encuentra el
  tema se presenta dividida por una línea vertical en
  dos partes. En la parte derecha, que es el doble de ancho que
  la izquierda, se desarrolla la lección con ejemplos
  gráficos y detalles en tres colores. En la parte
  izquierda está colocada una definición que el
  estudiante debe recordar (vista en cursos anteriores), en
  este caso "Proporcionalidad", aquí aparece un ejemplo
  de aplicación de esta definición. En la parte
  inferior de la hoja aparece un recuadro con el título
  "aplica en tu cuaderno", donde hay ejercicios para que los
  educandos elaboren a manera de práctica.

• 4- Introducción, motivación
  y/o aplicación: la introducción que se hace
  al principio del capítulo se presenta como un problema
  sacado de la vida real, en donde se ve una jugada de
  béisbol mostrándose el esquema de
  triángulos formados por el recorrido de la pelota y el
  recorrido del bateador. La pregunta es: ¿existe
  proporcionalidad entre los dos triángulos?. Considero
  que esto fomenta la curiosidad y la motivación en el
  estudiante. También establece una conexión
  entre los conceptos previos que se requieren para asimilar
  los nuevos y ésta información nueva. No se
  hacen consideraciones de carácter histórico
  pero sí se acerca a la realidad.

• 5- Importancia del estudio del tópico
  particular. Contextualización según la carrera
  de estudios. Historia: solamente se observa el tema
  desarrollado como se explicó en el punto 3, pero no se
  habla de la importancia del tópico.

• 6- Definición, explicación de
  los conceptos y de los procedimientos: la
  explicación de conceptos es clara y está
  ilustrada con ejemplos en los cuales se indica con
  gráficas, números y operaciones, los diferentes
  elementos de una proporción, cuándo dos
  segmentos son proporcionales, cuál es la razón
  entre dos segmentos, la forma en que se representa la
  proporción y la manera como se lee y expresa en
  palabras dicha proporción. Al final se da la
  definición exacta de segmentos
  proporcionales.

• 7- Ejemplificaciones de los conceptos y
  procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados
  según la carrera de estudios: como se
  indicó en el punto 6, en la lección se
  presentan ejemplos gráficos, numéricos y
  expresados en palabras para una mejor comprensión
  conceptual y práctica.

• 8- Actividades orientadas con
  especificación para desarrollarlas en forma individual
  y en grupos: se observan actividades para ser
  desarrolladas en forma individual, aunque el profesor puede
  escoger varias de ellas para hacer que sean resueltas en
  grupo.

• 9- Ejercitación de los conceptos y
  procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados
  según la carrera de estudios: se presentan varios
  ejercicios propuestos que están al nivel de los
  estudiantes del 9º grado y relacionados con el tema, sin
  embargo, son pocos, en mi opinión.

• 10- Problemas clásicos y actuales en
  consideración de la historia y la carrera de
  estudios: este libro presenta problemas que son
  clásicos y algunas (pocas) demostraciones para este
  tema.

• 11- Preguntas que obliguen a la
  síntesis conceptual y procedimental, a la
  estructuración con conceptos y procedimientos
  previos: para este tema en particular, no se muestra
  ningún problema o ejercicio que cumpla con estas
  condiciones.

• 12- Preguntas para investigar y profundizar
  sobre aspectos estudiados con una referencia
  bibliográfica preestablecida y al alcance del
  estudiante: por lo menos para este tema no se observan
  preguntas de este tipo.

• 13- Actividades de
  autoevaluación: en este libro no se encuentran
  actividades de autoevaluación.

• 14- Esquema resumen de la lección: en
  este libro de texto no se observan esquemas resumen de las
  lecciones.

• 15- Respuestas y/o esquemas de
  resolución a todos los ejercicios, problemas,
  preguntas y actividades propuestas: al terminar cada
  capítulo se presentan una serie de ejercicios y
  problemas propuestos, al final del libro se muestra un
  solucionario de todos estos ejercicios de final de cada
  capítulo. Los ejercicios propuestos en la
  página donde se desarrolla la lección, no traen
  respuestas.

Objetivo # 4

Actividad 1

Cuestionario para
conocer las creencias de los estudiantes de bachillerato sobre
geometría, su enseñanza y
aprendizaje

Tipo de Cuestionario: Preguntas
abiertas.

• 1- ¿Qué es lo primero que viene a
  tu mente cuando escuchas la palabra
  GEOMETRÍA?

• 2- ¿Qué temas recuerdas
  más sobre Geometría?

• 3- ¿Te gustaba la forma en que tu
  profesor te explicaba Geometría?

• 4- ¿Recuerdas haber utilizado materiales
  tales como figuras de madera e instrumentos para
  dibujar?

• 5- ¿Crees que las actividades que se
  pueden realizar con estos materiales ayudan al
  aprendizaje?

• 6- ¿Le harías algunos cambios a
  la forma de explicar de tus profesores de
  Geometría?

• 7- ¿Cómo lo harías
  tú si fueras profesor de esta materia?

• 8- ¿Has aplicado tus conocimientos de
  Geometría en la resolución de problemas de tu
  vida diaria?

• 9- ¿Te resulta fácil aprender
  Geometría?

• 10- ¿Qué es lo más
  difícil para ti en Geometría?

• 11- ¿Consideras que la Geometría
  está ubicada dentro del campo
  numérico?

• 12- ¿Piensas que se estudian bastantes
  temas de Geometría en primaria y
  bachillerato?

• 13- Se entregan 8 palillos a cada estudiante y
  se les dice que con ellos hagan la figura con mayor
  área que puedan imaginar.

Objetivo # 4

Actividad 2

RESULTADO DE LA APLICACIÓN DEL
CUESTIONARIO

Este instrumento fue empleado en un grupo
de estudiantes de 4º año de bachillerato del Liceo
Josefina de Lizarzábal ubicado en la Parroquia Francisco
Eugenio Bustamante, en la Urbanización Raúl Leoni
de la ciudad de Maracaibo, Estado Zulia. Dos terceras partes de
los estudiantes que respondieron el cuestionario solamente
recuerdan algunas figuras planas, de las que no pueden precisar
la manera como calculaban su área, recuerdan que se
hacían cálculos y medidas. Las figuras que
más recuerdan son el cuadrado, el triángulo y la
circunferencia. La mayor parte de los educandos hubieran
preferido que su profesor utilizara otro método de
enseñanza de la Geometría que fuera más
práctico y entretenido, que utilizara diversos materiales
con las figuras objeto de estudio. Les hubiera gustado hacer
trabajos grupales. Ese sería el método que ellos
emplearían si fueran profesores de Geometría. Casi
la totalidad de los estudiantes a quienes se aplicó el
cuestionario, consideran difícil la Geometría,
siendo la realización de cálculos y la
aplicación de fórmulas lo más difícil
para ellos. Todos consideran que la Geometría está
ubicada dentro del campo numérico. También piensan
que no se dan suficientes temas de Geometría en primaria
ni en bachillerato. La mayor parte de ellos reconocen que han
aplicado la geometría alguna vez en su vida, aunque sin
darse cuenta, una minoría dice que no la ha utilizado
nunca y que esos conocimientos no le hacen falta.

En la actividad con palillos, el 40% de los
estudiantes formaron la figura de mayor área, un
octágono, que es lo más cercano a un
círculo. El resto realizaron triángulos y
rectángulos usando varios palillos por lado.

Objetivo #6

Actividad 1

Propuesta para
enseñar un tópico de geometría con
aplicación tecnológica

Rectas notables de un triángulo:
MEDIATRIZ

Objetivos:

• Trazar un triángulo.

• Ubicar los puntos medios de cada lado.

• Trazar las mediatrices.

• Ubicar el Circuncentro.

Materiales:

• Computador.

• Software Geogebra.

Instrucciones:

• Abrir la aplicación de Geogebra.

• Elegir entre las figuras que aparecen en la barra
  superior, un triángulo.

• Colocar el cursor en la Vista Gráfica (parte
  derecha de la ventana).

• Trazar el triángulo como lo indica la barra.
  (Vértices uno a uno y finalmente, reelegir el
  primero).

• En la Vista Algebráica (parte izquierda de la
  ventana), aparecen las coordenadas de cada uno de los
  vértices identificados con letras
  mayúsculas.

• Si es necesario, cambiamos las coordenadas para
  facilitar el trabajo.

• El cambio de coordenadas se hace con clic secundario
  sobre el objeto (triángulo), eligiendo "propiedades
  del Objeto".

• Al trazar el triángulo las coordenadas de los
  vértices fueron:

D = (4,43; -1,05)

E = (1; -8)

F = (9; -8)

Cálculo de los puntos medios de los
lados del triángulo con la fórmula:

Sobre estos puntos se trazan las
mediatrices que son las perpendiculares al punto medio de cada
uno de los lados.

Por los puntos A,B y C, se trazan
perpendiculares utilizando la herramienta "recta que pasa por dos
puntos", elegida de la barra superior, cuando se terminan de
trazar, se encuentra el punto de corte entre las mediatrices, el
punto I(4,91 ; -5,81), el cual se denomina Circuncentro,
porque es el centro de la circunferencia circunscrita, la que
pasa por los tres vértices del triángulo. Se traza
la circunferencia con la herramienta "Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos".

El software GEOGEBRA nos permitió
trazar el triángulo, las mediatrices aproximadas, y el
círculo, con lo cual se puede explicar a los estudiantes
la definición de las rectas y el punto de corte entre
ellas. A medida que colocamos los puntos necesarios para el
trazado, se van mostrando en la parte izquierda de la ventana,
los "objetos libres", que son las coordenadas de los puntos que
sirvieron de vértices del triángulo y las
coordenadas de los puntos que sirvieron de apoyo para trazar las
rectas mediatrices. También se muestran los "objetos
dependientes", que son las coordenadas de los puntos medios de
los lados del triángulo, el punto de corte de las
mediatrices (circuncentro), las ecuaciones de estas rectas y la
ecuación de la circunferencia.

Este trabajo se puede evaluar
así:

Si el estudiante logra:

• 1- Trazar el triángulo
  correctamente.

• 2- Encontrar los puntos medios de los lados del
  triángulo.

• 3- Trazar las perpendiculares a los puntos
  medios.

• 4- Encontrar el circuncentro.

• 5- Trazar el circulo cuyo centro es el
  circuncentro.

La calificación es 5 si logra los
cinco puntos.

La calificación es 1 si no logra los
puntos 2, 3, 4 y 5

La calificación es 2 si no logra los
puntos 3, 4 y 5

La calificación es 3 si no logra los
puntos 4 y 5

La calificación es 4 si no logra el
punto 5

Objetos libres

D = (4,43 ; -1,05)

E = (1; -8)

F = (9, -8)

G = (6,15 ; -6,52)

H = (4,89 ; -4,35)

Objetos Dependientes:

A = (2.7 ; -4,55)

B = (6,7 ; -4,5)

C = (4,94 ; -8)

I = (4,91 ; -5,81)

a: 1,97X + 3,45Y = -10,4

b: -3,65X – 0,05Y = -17,65

c: 1,31X – 1,79Y = 16,83

g: (X-4,91)² + (Y – 5,81)² =
21,51

polígono2 = 27,79

Las herramientas informáticas con
que se cuenta en la actualidad son una excelente ayuda para los
docentes, tanto en centros de enseñanza media como en las
universidades. Por ejemplo, permiten realizar esos
cálculos directos pero tediosos que nunca se ven en las
clases ni en los libros, o ilustrar grá?camente la
variación del comportamiento de algún objeto
geométrico cuando se recorren los valores de cierto
parámetro.

Existen numerosos paquetes de
cálculo simbólico (o CAS, por Computer
Algebra

System) de tipo profesional, con un
desempeño excelente, como Mathematica, Maple o Matlab,
pero en este trabajo preferí una herramienta de software
libre: GeoGebra, orientado a la geometría dinámica.
Uno de los motivos para esta selección es que se trata de
Software Libre, ya que la situación en los países
en vías de desarrollo, no permite que se disponga de las
licencias de campus, por su alto costo, en un instituto de
enseñanza media no se dispone de los mismos recursos que
una universidad. Entonces, una alternativa a esta
situación consiste en el uso de programas como GeoGebra y
Maxima (sin perjuicio de los grandes paquetes como Mathematica,
nada impide usarlos enparalelo).

GeoGebra es un sistema de geometría
dinámica orientado a la enseñanza de la

Matemática a nivel preuniversitario.
Sus desarrolladores son Markus Hohenwarter, Michael Borcherds e
Yves Kreis. GeoGebra es un software libre, multilingüe y
multiplataforma. El programa y las instrucciones para su
instalación se encuentran en
http://www.geogebra.org/cms/es. En GeoGebra, a cada objeto
algebraico le corresponde un objeto geométrico y
viceversa, con la excepción de algunos objetos algebraicos
auxiliares. Los primeros se despliegan en la ventana algebraica y
los segundos en la ventana geométrica. Puntos, vectores,
rectas, secciones cónicas, etc., se pueden construir
pulsando en los respectivos iconos que se encuentran en los
cajones de herramientas, o bien tecleando la orden apropiada en
la ventana de texto. Vale la pena hacer notar que la
versión actual de GeoGebra incorpora una hoja de
cálculo.

Componentes principales de GeoGebra: el
comportamiento global del programa (unidad angular, posiciones
decimales, tamaño de letra, idioma, etc.) se puede
modi?car seleccionando en la barra superior el menú
Options (el idioma por defecto es el inglés).

Cada objeto construido tiene atributos
(nombre, color, estilo, etc.) que pueden modi?carse mediante un
menú contextual, que se despliega al pulsar sobre el
objeto en cuestión con el botón derecho del
ratón.

Las construcciones hechas se pueden
modi?car de forma dinámica seleccionando

la herramienta Desplaza (primera
herramienta en el extremo izquierdo) y arrastrando luego con el
ratón los objetos que queremos modi?car. Las
construcciones hechas pueden exportarse a una plantilla
dinámica en formato html, la cual puede verse y modi?carse
de forma interactiva con la mayor parte de navegadores web. Para
tal se selecciona en la barra de menús la opción
Archivo/Exporta/Plantilla Dinámica como Página Web
(html).

Autor:

Nubia Esther Gómez de
Velásquez

TRABAJO PRÁCTICO

ASIGNATURA: DIDÁCTICA DE LA
GEOMETRÍA

FECHA DE ENTREGA AL ESTUDIANTE:
21/03/2012

LAPSO ACADÉMICO: 2011-2

CENTRO LOCAL: ZULIA

CARRERA: EDUCACIÓN
MATEMÁTICA