1) Reseña
histórica
Abrahan De Moivre (1733) fue el primero en obtener la
ecuación matemática de la curva normal. Kart
Friedrich Gauss y Márquez De Laplece (principios del
siglo diecinueve) desarrollaron más ampliamente los
conceptos de la curva. La curva normal también es llamada
curva de error, curva de campana, curva de Gauss,
distribución gaussiana o curva de De Moivre.
Su altura máxima se encuentra en la media
aritmética, es decir su ordenada máxima corresponde
a una abscisa igual a la media aritmética. La
asimetría de la curva normal es nula y por su grado de
apuntamiento o curtosis se clasifica en
mesocúrtica.
2)
Ecuación
Su ecuación matemática de la
función de densidad es:
Donde:
X = valor en el eje horizontal
Y = altura de la curva para cualquier valor
de x
Cuando se expresa la variable x en unidades
estándar (fórmula de
estandarización)
La ecuación anterior es reemplazada
por la llamada forma canónica, la cual es
Para calcular Y en Excel se procede de la siguiente
manera:
a) Se ubica valores para X del -3 hasta el 3. Se
insertar la función DISTR.NORM.ESTAND.N. En la ventana de
argumentos de función, en Z se seleccionada A2 que
representa al -3, y en Acumulado es escribe FALSO. Clic en
Aceptar. Se arrastra con el mouse para obtener los demás
valores.
b) Para obtener la gráfica se inserta
gráfico de dispersión.
Nota: No existe una única
distribución normal, sino una familia de distribuciones
con una forma común, diferenciadas por los valores de su
media y su varianza. De entre todas ellas, la más
utilizada es la distribución normal
estándar, que corresponde a una distribución
con una media aritmética de 0 y una desviación
típica de 1.
3) Área
bajo la curva
El área total limitada por la curva y el eje "X"
es 1, por lo tanto, el área bajo la curva entre X = a y X
= b, con a < b, representa la probabilidad de que
X esté entre a y b. Esta probabilidad se denota
por:
Esta probabilidad se ilustra en el
siguiente gráfico elaborado con el programa
Winstats.
Para elaborar el gráfico se procede
de la siguiente manera:
a) Se abre el programa. Clic en Window-
Probability
b) Clic en Normal
c) Para cambiar el color del fondo,
maximizar la ventana de la curva. Clic en Edit-Colors y luego
en
Window background. Seleccionar el color
blanco para el fondo.
d) Para escribir, clic en Btns y luego en
Text mode. Clic derecho en cualquier parte de la pantalla. Luego
escribir en la venta edit text. Clic en ok
e) Se obtiene el siguiente
gráfico
4) Empleo de la
distribución normal
La distribución normal suele
emplearse en:
4.1) Estimación del intervalo de
confianza para la media (? conocida)
Se emplea la siguiente
fórmula:
Donde:
Z = valor crítico de la distribución
normal estandarizada
Se llama valor crítico al valor de Z
necesario para construir un intervalo de confianza para la
distribución. El 95% de confianza corresponde a un valor a
de 0,05. El valor crítico Z correspondiente al área
acumulativa de 0,975 es 1,96 porque hay 0,025 en la cola superior
de la distribución y el área acumulativa menor a Z
= 1,96 es 0,975.
Un nivel de confianza del 95% lleva a un valor Z de
1,96. El 99% de confianza corresponde a un valor a
de 0,01. El valor de Z es aproximadamente 2,58 porque el
área de la cola alta es 0,005 y el área acumulativa
menor a Z = 2,58 es 0,995.
4.2) Estimación del intervalo de confianza
para una proporción
Sirve para calcular la estimación de la
proporción de elementos en una población que tiene
ciertas características de interés. La
proporción desconocida de la población, se
representa con la letra griega
La estimación puntual para es la
proporción de la muestra, , donde es el tamaño de
la muestra y es el número de elementos en la muestra que
tienen la característica de interés. La
siguiente ecuación define la estimación
del intervalo de confianza para la proporción de la
población.
Cuando la población es finita ( ) y
el tamaño de la muestra ( ) constituye más del 5%
de la población, se debe usar el factor finito de
corrección. Por lo tanto si cumple:
Se aplica la ecuación
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