FRACCIONES En matemáticas, una fracción,
número fraccionario, o quebrado, es la expresión de
una cantidad dividida entre otra; es decir que representa un
cociente no efectuado de números. Por razones
históricas En una fracción común, el
denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se
lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres
quintos»); Dos o más fracciones son equivalentes
cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto.
también se les llama fracción común,
fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto
matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de
los números racionales, denotado Q . Ejemplo: Las
fracciones son equivalentes, ya que todas Las fracciones se
componen de: numerador, denominador y línea divisoria
entre ambos (barra horizontal u oblícua). En una
fracción común el denominador “b”
representa la cantidad de partes en que se ha fraccionado la
unidad, y el numerador “a” es la cantidad de esas
partes consideradas. Suelen utilizarse círculos o
rectángulos (los cuales representan la unidad) divididos
en tantas partes como indique el denominador, y se colorean
tantas de estas partes como indique el numerador. Como se ha
quitado 1/4 de la torta, todavía le quedan 3/4. FRACCIONES
representan la cantidad “un medio” (divida el
numerador entre el denominador y en todas el resultado
será 0,5) Para reducir la dificultad en las operaciones
con fracciones, algunas veces es necesario utilizar la
Simplificación y Amplificación de Fracciones.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar (o reducir)
fracciones significa hacer la fracción lo más
simple posible. ¿Por qué decir cuatro octavos (4/8)
cuando en realidad quieres decir la mitad (1/2) ? Hay dos maneras
de simplificar una fracción: Método 1 : Se dividen
el numerador y el denominador (los números de arriba y
abajo de la fracción) a la vez hasta que no puedas seguir
más (prueba a dividirlos por 2,3,5,7,… etc). Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 1 –
es Ejemplo: Simplificar la fracción 24/108 :
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Amplificar una fracción
es el proceso inverso de la simplificación. Es aumentar el
numerador y el denominador de la fracción, sin cambiar la
porción que representa la unidad. Para amplificar una
fracción se procede a multiplicar el numerador y el
denominador por un mismo número que pertenezca al conjunto
de los enteros y sea distinto de cero. Ejemplo : Amplificar la
fracción 3/5 por 4 La fracción equivalente
más simple de Método 2 : Se dividen las dos partes
de la fracción (numerador y denominador) por el
Máximo Común Divisor (¡tienes que calcularlo
primero!). Ejemplo: Simplificar la fracción 8/12 : 1.- El
Máximo Común Divisor de 8 y 12 es 4 (mayor
número que divide exactamente a 8 y a 12). 2.- Se divide
arriba y abajo por 4: Luego vemos que 3/5 es la fracción
original y 12/20 es la fracción amplificada. La
fracción original y la fracción amplificada son
fracciones equivalentes ya que cumplen con la
característica de representar la misma porción de
la unidad, teniendo distintos numeradores y denominadores. ( 3 5
= 0,6 y 12 20 = 0,6 ). Representa la misma cantidad de pizza si
se pide un medio, dos cuartos o cuatro octavos. Las 3 fracciones
son equivalentes. FRACCIONES Ing. José Luis Albornoz
Salazar -2-
– SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
(Fracciones homogéneas) Para sumar dos o más
fracciones homogéneas, se coloca el denominador
común y se suman los numeradores. Ejemplo : Sumar Se
coloca el denominador común : Se suman los numeradores :
Ejemplo : Ejemplo : Ejemplo : SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON Para
restar dos o más fracciones homogéneas, se coloca
el denominador común y se restan los numeradores. Ejemplo
: DIFERENTES heterogéneas) Método 1 : DENOMINADORES
(Fracciones Este método solo puede ser aplicado para sumar
o restar dos fracciones con diferentes denominadores. Ejemplo :
Ejemplo : Sumar Para realizar operaciones combinadas de suma y
resta con fracciones homogéneas, se coloca el denominador
común y se suman o se restan los numeradores según
lo indique el signo de la fracción.. Se multiplican los
denominadores y el producto se coloca como denominador de la
fracción resultante : FRACCIONES Ing. José Luis
Albornoz Salazar -3-
Se multiplica el numerador de la fracción de la izquierda
por el denominador de la derecha y se coloca en el numerador de
la fracción resultante (se le coloca el signo de la
primera fracción). En este caso la resultante (se le
coloca el signo de la primera fracción). En este caso la
primera fracción no tiene signo, se sobre entiende que
tiene signo positivo: primera fracción no tiene signo, se
sobre entiende que tiene signo positivo: Se multiplica el
denominador de la fracción de la izquierda por el
numerador de la derecha y se coloca en el numerador de la
fracción Se multiplica el denominador de la
fracción de la izquierda por el resultante (se le coloca
el signo de la segunda fracción): numerador de la derecha
y se coloca en el numerador de la fracción resultante (se
le coloca el signo de la segunda fracción): Se realizan
las operaciones del nuevo numerador y se obtiene la
fracción resultante Se realizan las operaciones del nuevo
numerador y se obtiene la fracción resultante Ejemplo :
Ejemplo : Se multiplican los denominadores y se coloca como
denominador de la fracción resultante : Se multiplican los
denominadores y se coloca como denominador de la fracción
resultante : Se multiplica el numerador de la fracción de
la izquierda por el Se multiplica el numerador de la
fracción de la izquierda por el denominador de la derecha
y se coloca en el numerador de la fracción denominador de
la derecha y se coloca en el numerador de la fracción
resultante (se le coloca el signo de la primera fracción).
FRACCIONES Ing. José Luis Albornoz Salazar -4-
Se calcula el Mínimo Común Múltiplo de los
denominadores de todas las fracciones, en este caso el mcm de 5,
4 y 2 es 20. Se coloca el mcm como denominador de la
fracción resultante : Se multiplica el denominador de la
fracción de la izquierda por el numerador de la derecha y
se coloca en el numerador de la fracción resultante (se le
coloca el signo de la segunda fracción): Se divide el mcm
entre cada denominador y se multiplica por su respectivo
numerador y el resultado se coloca en el numerador de la Se
realizan las operaciones del nuevo numerador y se obtiene la
fracción resultante fracción resultante (se le
coloca el signo que tenga la fracción con la que se
esté trabajando) Trabajando con la primera fracción
tendremos : 20 entre 5 = 4…………4 por 2
= 8 y se colocará con signo positivo Esta fracción
se puede reducir dividiendo ambos componentes entre 3: Trabajando
con la segunda fracción tendremos : 20 entre 4 =
5…………5 por 3 = 15 y se
colocará con signo positivo Método 2 : Para la
aplicación de este método es necesario saber
calcular el Mínimo Común Múltiplo (mcm) de
números enteros . Trabajando con la tercera
fracción tendremos : Ejemplo : Calcular FRACCIONES Ing.
José Luis Albornoz Salazar -5-
20 entre 2 =
10…………..……10 por 1 = 10
y se colocará con signo negativo Se divide el mcm entre
cada denominador y se multiplica por su respectivo numerador y el
resultado se coloca en el numerador de la fracción
resultante (se le coloca el signo que tenga la fracción
con la que se esté trabajando) Trabajando con la primera
fracción tendremos : 24 entre 3 =
8…………8 por 6 = 48 y se
colocará con signo negativo Por último se realizan
las operaciones de suma y resta del numerador de la
fracción resultante: Trabajando con la segunda
fracción tendremos : 24 entre 1 = 24……24 por
5 = 120 y se colocará con signo positivo Ejemplo :
Calcular Como primer paso y con la finalidad de evitar errores en
los cálculos se recomienda representar a los
números enteros como una fracción con denominador
“1” (uno). Trabajando con la tercera fracción
tendremos : 24 entre 8 = 3………3 por 10 = 30 y
se colocará con signo negativo Se calcula el Mínimo
Común Múltiplo de los denominadores de todas las
fracciones, en este caso el mcm de 3, 1, 8 y 4 es 24. Se coloca
el mcm como denominador de la fracción resultante :
Trabajando con la cuarta fracción tendremos : FRACCIONES
Ing. José Luis Albornoz Salazar -6-
24 entre 4 = 6………6 por 7 = 42 y se
colocará con signo positivo Por último se realizan
las operaciones de suma y resta del numerador de la
fracción resultante: Esta fracción se puede reducir
dividiendo ambos componentes entre 12: Método 3 : Para la
aplicación de este método NO es necesario calcular
el Mínimo Común Múltiplo (mcm) de los
denominadores. Ejemplo : Calcular Se multiplican los
denominadores de todas las fracciones y el resultado se coloca
como denominador de la fracción resultante : 5 por 4 por 2
= 40 Se divide el denominador de la fracción resultante
entre cada denominador y se multiplica por su respectivo
numerador y el resultado se coloca en el numerador de la
fracción resultante (se le coloca el signo que tenga la
fracción con la que se esté trabajando) Trabajando
con la primera fracción tendremos : 40 entre 5 =
8…………8 por 2 = 16 y se
colocará con signo positivo Trabajando con la segunda
fracción tendremos : 40 entre 4 =
10…………10 por 3 = 30 y se
colocará con signo positivo Trabajando con la tercera
fracción tendremos : FRACCIONES Ing. José Luis
Albornoz Salazar -7-
40 entre 2 =
20…………..……20 por 1 = 20
y se colocará con signo negativo Por último se
realizan las operaciones de suma y resta del numerador de la
fracción resultante: MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Es una operación muy sencilla. Para multiplicar dos o
más fracciones, se multiplican "en línea" sus
numeradores y sus denominadores. Esto es, el numerador por el
numerador y el denominador por el denominador. En nuestras clases
de aritmética nos enseñaron que la
multiplicación se representaba a través del signo
“x” (por). En álgebra para evitar confusiones
(por utilizar la “x” como una variable o
incógnita) se ha convenido representarla de otras maneras
: Es así cómo la operación “ a por
b” puede ser indicada de alguna de las siguientes maneras :
1) a.b Esta fracción se puede reducir dividiendo ambos
componentes entre 2: 2) 3) 4) 5) ab a*b (a).(b) (a)(b) Nota :
Observe que con este método se llega al mismo resultado
que con el Método 2. (Ver ejercicio de la página 5
de esta guía). En álgebra para evitar confusiones
en la multiplicación de cantidades conocidas
(números) se acostumbra a encerrar los mismos entre
paréntesis. Así, la multiplicación “12
por 20” suele indicarse como (12)*(20) o como (12).(20) o
como (12)(20) La mayor fuente de errores en la
multiplicación tiene su origen principalmente en la mala
utilización de la ley de los signos en la
multiplicación. Ley de los signos : 1) 2) 3) 4) (+ a).(+
b) (– a).(– b) (+ a).(– b) (– a).(+ b) =
+ ab = + ab = – ab = – ab Lo anterior podemos
resumirlo diciendo que : FRACCIONES Ing. José Luis
Albornoz Salazar -8-
1) 2) + por + da + – por – da + 3) + por – da
– 4) – por + da – El signo del producto de
varios factores es positivo cuando tiene un número par de
factores negativos o ninguno : (– a).(– b).(–
c).(– d) = abcd Ejemplo : Multiplicar Más por menos
da menos…y…menos por menos da más (+ a).(+
b).(+ c).(+ d) = abcd El signo del producto de varios factores es
negativo cuando tiene un número impar de factores
negativos : (– a).(– b).(– c) = – abc
Esta fracción se puede reducir dividiendo ambos
componentes entre 2: Ejemplo : Multiplicar (+ por + da +) Ejemplo
: Multiplicar Cuando se multiplica una o varias fracciones por un
número entero es Ejemplo : Multiplicar Ejemplo :
Multiplicar (+ por – da –) (– por – da +)
recomendable expresar el entero como una fracción con
denominador “1” (uno). (Más por más da
más…y…más por menos da menos)
FRACCIONES Ing. José Luis Albornoz Salazar -9-
2) 3) 4) DIVISIÓN DE FRACCIONES Método 1 : Es muy
sencillo. Para dividir dos fracciones, se multiplican "en cruz".
Esto es, el numerador de la primera fracción por el
denominador de la segunda fracción (ya tenemos el
numerador de la fracción resultante) y el denominador de
la primera fracción por el numerador de la segunda
fracción (este es el denominador de la fracción
resultante). Se debe aplicar la ley de signos en la
división (la misma de la multiplicación): Esta
fracción se puede reducir dividiendo ambos componentes
entre 2: 1) + entre + da + – entre – da + + entre
– da – – entre + da – Ejemplo : Dividir
(– entre – da +) Ejemplo : Dividir (– entre +
da –) Se multiplica el numerador de la primera
fracción por el denominador de la segunda fracción
(ya tenemos el numerador de la fracción resultante) Y el
denominador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción (este es el denominador de la
fracción resultante). Cuando se divide una fracción
por un número entero o viceversa, es recomendable indicar
el entero como una fracción con denominador
“1” (uno). Se multiplica el numerador de la primera
fracción por el denominador de la segunda fracción
(ya tenemos el numerador de la fracción resultante) Y el
denominador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción (este es el denominador de la
fracción resultante). FRACCIONES Ing. José Luis
Albornoz Salazar – 10 –
1) 2) Método 2 : Este método es conocido en algunos
países de Latinoamérica como “el
método de la doble C”. Consiste en colocar la
fracción dividendo como numerador y la fracción
divisor como denominador. Posteriormente se multiplican los
extremos ( el numerador de la fracción que está
arriba por el denominador de la fracción que está
debajo) y se coloca como numerador de la fracción
resultante; luego se multiplican los internos ( el denominador de
la fracción que está arriba por el numerador de la
fracción que está debajo) y se coloca como
denominador de la fracción resultante. Se debe aplicar la
ley de signos en la división (la misma de la
multiplicación): + entre + da + – entre – da +
Luego se multiplican los internos ( el denominador de la
fracción que está arriba por el numerador de la
fracción que está debajo) y se coloca como
denominador de la fracción resultante. Esta
fracción se puede reducir dividiendo ambos componentes
entre 2: 3) 4) + entre – da – – entre + da
– Ejemplo : Dividir (– entre + da –) Colocar la
fracción dividendo como numerador y la fracción
divisor como denominador Ejemplo : Dividir Internos ? ?extremos
(– entre – da +) Cuando se divide una fracción
por un número entero o viceversa, es Se multiplican los
extremos ( el numerador de la fracción que está
arriba por el denominador de la fracción que está
debajo) y se coloca como numerador de la fracción
resultante recomendable indicar el entero como una
fracción con denominador “1” (uno). Colocar la
fracción dividendo como numerador y la fracción
divisor como denominador FRACCIONES Ing. José Luis
Albornoz Salazar – 11 –
Internos ? ?extremos Se multiplican los extremos ( el numerador
de la fracción que está arriba por el denominador
de la fracción que está debajo) y se coloca como
numerador de la fracción resultante Luego se multiplican
los internos ( el denominador de la fracción que
está arriba por el numerador de la fracción que
está debajo) y se coloca como denominador de la
fracción resultante. FRACCIONES Ing. José Luis
Albornoz Salazar – 12 –