Influencia de la contracción en los parámetros geométricos de los engranajes plásticos asimétricos (página 2)

En la Tabla 12 se muestra la matriz ortogonal cerrada de
los experimentos. En ella, se sustituyen los valores de cada
corrida experimental con los dieciséis experimentos a
realizar, así como los parámetros
geométricos teóricos calculados y afectados por el
coeficiente de contracción según lo planteado por
el método tradicional. Estos valores numéricos
servirán de base para la modelación que se
realizará utilizando el Mechanical Desktop.

Tabla 12 Matriz ortogonal con los parámetros
geométricos utilizados en los experimentos según el
método tradicional.

La Tabla 13 brinda los desplazamientos resultantes
obtenidos mediante el MEF, para el diseño experimental
planteado. Estos valores se obtienen como resultado de la
medición realizada en el diámetro exterior del
diente después de simulado el proceso. Se tomó un
margen de error entre las corridas dentro de ±5%, para
indicar la convergencia entre estas.

Tabla 13 Desplazamientos obtenidos en cada
experimento para los diferentes parámetros
geométricos que se miden en las corridas.

Para el análisis estadístico de los
experimentos, se utilizarán software tales como el
Statgraphics Centurion XV y el SPS. Ello permitirá,
establecer la matriz experimental que servirá de base para
conocer las ecuaciones de regresión múltiples que
describen el comportamiento de cada variable.

• Análisis de los resultados de los
  experimentos. Ecuaciones de
  regresión.

Sobre la validez estadística de las ecuaciones de
regresión se deben tener en cuenta dos cuestiones
fundamentales:

• 1. Validez estadística.

• 2. Validez predictiva.

Para medir la validez estadística hay que atender
a las siguientes cuestiones:

• El valor de la F de Fisher en el Análisis de
  Varianza debe ser significativo.

• El valor de al menos un coeficiente de la
  ecuación debe ser significativo.

• Deben cumplirse los prerrequisitos de la
  regresión sobre los residuales, a saber:

• Los residuales deben distribuirse normalmente con
  media cero.

• Debe existir homogeneidad de las
  varianzas

• No deben depender de la variable
  dependiente

• No estar autocorrelacionados.

La validez predictiva se refiere a la medida en que la
ecuación de regresión proporciona la
precisión del pronóstico que el usuario requiere.
Una ecuación de regresión puede ser
estadísticamente válida y no tener validez
predictiva por las exigencias del usuario. Para el caso que se
analiza hay validez predictiva. De hecho, hay una
validación externa cuyos resultados se correspondieron con
la realidad.

Ahora bien, la ecuación de regresión que
ajusta los datos no es única. Incluso el modelo lineal no
es único y varias ecuaciones pueden ser significativas.
Entonces se usa el R cuadrado ajustado para compararlas entre
sí y determinar la mejor.

A continuación se muestran varios intentos de
encontrar las ecuaciones para cada una de las variables,
diámetro exterior, diámetro de fondo y el espesor
de la cabeza del diente.

Ecuaciones de regresión para el
diámetro exterior.

Ecuación que incluye las cuatro
variables.

En este caso se busca una ecuación de la
forma:

da= ß0 + ß1 m + ß2 Z + ß3 X +
ß4 C (18)

Se aplica el método de los mínimos
cuadrados para encontrar los coeficientes ßi i=1,2, 3,4 que
mejor aproximan a da. El resultado de la Tabla 14 muestra que la
F del análisis de varianza que correspondiente a la
regresión es significativa.

Tabla 14 Análisis de varianza para el
diámetro exterior para el modelo que incluye las cuatro
variables.

• a. Predictores:( constante), Coeficiente de
  asimetría, Coeficiente de corrección,
  Número de dientes, módulo.

La Tabla 15 muestra los coeficientes de la
ecuación y demuestra que el módulo y el
número de dientes son significativos es decir tienen una
influencia decisiva sobre el diámetro exterior.

Tabla 15 Coeficientes de la
ecuación de regresión que incluye las 4
variables.

En esta ecuación los residuales de esta
regresión no son buenos, pero al menos son
simétricos y no están autocorrelacionados: Los
resultados que aparecen en la Tabla 16, así como la Figura
21 y 22 dan fe de ello.

Tabla 16 Valor de R cuadrado para el
diámetro exterior que incluye las cuatro
variables.

Figura 21 Histograma de residuales
estandarizados de la regresión del diámetro
exterior para el modelo que incluye las cuatro
variables.

Figura 22 Residuales de la
regresión con todas las variables.

Ecuación que incluye las variables
significativas.

En esta segunda variante se busca una ecuación
similar a la (18), en la cual van a estar incluidas sólo
los coeficientes significativos. Ello se determina con un
método paso a paso (Stepwise). Véanse como se
alcanzan los resultados en dos iteraciones Tabla 17 y
Tabla18.

Tabla 17 Análisis de varianza para la
ecuación que incluye solamente las variables
significativas del diámetro exterior.

• a. Predictores en la primera iteración:
  (Constante), módulo.

• b. Predictores en la segunda iteración:
  (Constante), módulo, número de
  dientes.

Tabla 18 Coeficientes de la ecuación de
regresión que incluye sólo las variables
significativas.

Tabla 19 Valor de R cuadrado para el
diámetro exterior para el modelo que incluye sólo
las variables significativas.

• a. Predictores: (Constantes),
  Módulo.

• b. Predictores: (Constantes),
  Módulo, Número de dientes.

Figura 23 Histograma de los residuales estandarizados
de la regresión del diámetro exterior para el
modelo que incluye sólo las variables
significativas.

Figura 24 Residuales de la
regresión del diámetro exterior para el modelo que
incluye sólo las variables significativas.

El método no incluyó finalmente los
coeficientes de corrección y asimetría porque no
eran significativos. Resulta interesante que mejoró la
distribución de los residuales, como se puede observar en
las Figura 23 y 24. Además se mantiene un buen valor de
Durbin Watson (1.939) y mejora el R cuadrado ajustado
(0.927).

Ecuación que incluye las variables y las
interacciones significativas.

En esta tercera variante se busca la ecuación en
la forma:

da= ß0 + ß1 m + ß2 Z + ß3 X +
ß4 C + ß5 m * Z + ß6 m * X + ß7 m * C
+

ß8 Z * X + ß9 Z * C + ß10 X * C
(18)

Pero se utilizará de nuevo el método paso
a paso de manera que quedarán incluidos solo aquellos
términos cuyo coeficiente es significativo. Los resultados
del análisis se alcanzan en 4 iteraciones:

En la Tabla 20 se puede apreciar como la
interacción del módulo y el número de
dientes, así como la interacción del módulo
y el coeficiente de corrección fueron más
importantes que las variables individuales.

En esta ecuación mejora sustancialmente el
comportamiento de los residuales. En la Tabla 21 se puede
apreciar que se mantiene un buen valor de Durbin Watson (2.081) y
se alcanza un R cuadrado ajustado máximo
(1.000).

Tabla 20 Coeficientes de la ecuación de
regresión con interacciones significativas
(da).

Tabla 21 Valor de R cuadrado para el
diámetro exterior del modelo que incluye las variables y
las interacciones significativas

• a. Predictores: (Constantes),
  Interacción del módulo y el número de
  dientes.

• b. Predictores: (Constantes),
  Interacción del módulo y el número de
  dientes, Interacción del módulo y el
  coeficiente de corrección.

• c. Predictores: (Constantes),
  Interacción del módulo y el número de
  dientes, Interacción del módulo y el
  coeficiente de corrección, módulo.

• d. Predictores: (Constantes),
  Interacción del módulo y el número de
  dientes, Interacción del módulo y el
  coeficiente de corrección, módulo,
  Interacción del número de dientes y el
  coeficiente de corrección.

Figura 25 Histograma de los residuales
estandarizados de la regresión del diámetro
exterior para el modelo que incluye las variables y las
interacciones significativas

Figura 26 Residuales de la
regresión del diámetro exterior para el modelo que
incluye las variables y las interacciones
significativas.

Definitivamente las tres ecuaciones son
estadísticamente válidas pero la tercera es la
mejor.

da = -0.409 + 1.007m * Z + 1.808m * X + 2.087 m + 0.018
Z * X (20)

El procedimiento utilizado, en el análisis de la
variable dependiente del diámetro de fondo (da) fue
empleado tanto para diâmetro de fondo (df )como para el
espesor de la cabeza del diente (Sa ).

Ecuaciones de regresión para el
diámetro de fondo.

También en este caso se buscaron tres modelos
para el diámetro de fondo. Los resultados, en esencia,
fueron los siguientes:

Modelo lineal con todas las variables:

df= -95.81 + 24.826 m + 3.546 Z + 7.058 X – 0.031 C
(21)

(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.902,
Durbin-Watson=2.012)

Modelo lineal con las variables
significativas:

df= -92.307 + 24.826 m + 3.546 Z (22)

(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.911,
Durbin-Watson=1.933)

Modelo con variables e interacciones
significativas:

df= -4,453 + 0.967 m * Z + 0.251 Z * X (23)

(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.998,
Durbin-Watson=1.855)

Nuevamente el tercer modelo tiene el mayor valor de R
cuadrado y es el escogido.

Ecuaciones de regresión para el
espesor de la cabeza del diente.

También en este caso se buscaron tres modelos
para el diámetro de fondo. Los resultados, en esencia,
fueron los siguientes:

Modelo lineal con todas las variables:

Sa= -1768 + 0.558 m + 0.016 Z – 0.747 X + 1.339 C
(24)

(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.849,
Durbin-Watson=2.448)

Modelo lineal con las variables
significativas:

Sa = -1.362 + 0.558 m – 0.747 X + 1.339 C
(25)

(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.838,
Durbin-Watson=2.028).

Modelo con variables e interacciones
significativas:

Sa = -0.125 + 0.440 m * C – 0.206 m * X+ 0.005 m *
Z (26)

(Significación del ANOVA=0.000, R2=0.899,
Durbin-Watson=2.816)

Nuevamente el tercer modelo tiene el mayor valor de R
cuadrado y es el escogido.

8.
Conclusiones

• 1. Se diseñó y fabricó un
  molde para engranajes plásticos de dientes rectos con
  perfiles asimétricos, que permitió medir la
  contracción real después del moldeado y
  realizar el análisis estadístico de las
  mismas.

• 2. Se simuló y modeló utilizando
  software de avanzada el proceso de contracción en los
  modelos obtenidos mediante un diseño experimental de
  tipo factorial. Con la utilización de la
  simulación utilizando el MEF no fue necesario fabricar
  16 moldes según plantea el diseño de
  experimentos, permitiendo además eliminar el
  método de prueba y error trayendo consigo el ahorro
  por concepto de fabricación de herramental.

• 3. Se obtuvieron ecuaciones de regresión
  con valor estadístico y predictivo que permiten tener
  en cuenta el comportamiento de la contracción dentro
  de los parámetros geométricos diámetro
  exterior, diámetro de fondo y espesor de la cabeza del
  diente para un rango de:

• Módulo (m) entre 2 y 5.

• Número de dientes (Z) entre 17 y
  35.

• Coeficiente de corrección (x) entre 0 y
  1.

• Coeficiente de asimetría (c) entre 1y
  1.25.

• Material PA tipo 6.

Estas ecuaciones cuentan con una validez predictiva del
99,788% para el diámetro exterior, de 99.96% para el
diámetro de fondo y de un 95.659% para el espesor de la
cabeza de diente.

Las expresiones obtenidas son:

Diámetro exterior.

da = -0.409 + 1.007 m * Z + 1.808 m * X + 2.087 m +
0.018 Z * X

Diámetro de fondo.

df= -4,453 + 0.967 m * Z + 0.251 Z * X

Espesor de la cabeza del diente.

Sa = -0.125 + 0.440 m * C – 0.206 m * X+ 0.005 m *
Z

Las expresiones anteriores solamente son válidas
para engranajes normales así como para los que se le puede
aplicar la corrección de altura.

• 4.  El diseño experimental utilizado de
  conjunto con el MEF para conocer la influencia de la
  contracción en el diámetro exterior, el
  diámetro de fondo y el espesor de la cabeza del diente
  en los engranajes plásticos de perfil
  asimétrico constituye un procedimiento que puede ser
  extendido para otros intervalos de módulos,
  números de dientes, coeficientes de asimetrías,
  coeficientes de corrección. Además, pueden ser
  estudiados otros parámetros geométricos que
  describen la forma del diente utilizando otros materiales
  tales como el Acetal, demás resinas que componen las
  series Amidas y el Acetato de Celulosa.

• 5. El modelo empleado se calibró y
  corroboró con la realidad, debido a que se obtuvieron
  márgenes de errores entre las mediciones realizadas de
  la rueda moldeada y lo simulado por el MEF de 0.034% para el
  diámetro exterior, 0.0096% para el diámetro de
  fondo y de 1,56% para el espesor de la cabeza del
  diente.

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Autor:

Dr. Ing. Ángel Rafael
García Martínez

Dr. Ing. Jorge L. Moya
Rodríguez