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Matemática del noveno grado




Partes: 1, 2, 3, 4, 5

  1. Introducción
  2. Los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables
  3. Introducción a las relaciones lineales y cuadráticas
  4. Distancia entre dos puntos y problemas resueltos
  5. Las relaciones y funciones lineales: forma estándar
  6. Los sistemas de ecuaciones lineales
  7. Álgebra: solución de polinomios y ceros del polinomio
  8. El valor numérico y los ceros de un polinomio
  9. Geometría y trigonometría plana
  10. Las medidas de dispersión y los espacios equiprobables
  11. Medidas de dispersión
  12. El tanto por ciento, el interés simple y el interés compuesto
  13. El interés simple y el descuento bancario
  14. Bibliografía

 

Introducción

El presente libro de matematica de noveno grado agrupa varios temas de la matematica según lo requiere el MINISTERIO DE EDUCACION PÚBLICA. En el Diseño Curricular Básico de matematica para el tercer ciclo (DCB) se presentan los siguientes objetivos que:

  • Reconocen situaciones que se pueden describir mediante ecuaciones cuadráticas.

  • Resuelven ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado y mediante la fórmula cuadrática.

  • Reconocen ecuaciones lineales en dos variables en sus tres formas:

  • Grafican ecuaciones lineales en dos variables en el sistema de coordenadas cartesianas.

  • Resuelven gráfica y algebraicamente sistemas de dos ecuaciones lineales.

  • Resuelven gráfica y algebraicamente inecuaciones lineales en una variable.

  • Resuelven gráfica y algebraicamente inecuaciones cuadráticas en una variable.

  • Construyen con regla y compás un círculo que pasa por tres puntos no colineales.

  • Construyen tangentes a círculos.

  • Construyen polígonos regulares.

  • Calculan el perímetro y el área de polígonos regulares.

  • Calculan el perímetro y el área de círculos.

  • Calculan áreas laterales y volúmenes de poliedros, cilindros y esferas.

  • Reconocen la importancia de las medidas de dispersión para clasificar datos.

  • Desarrollan el concepto de la probabilidad de eventos iguales, más o menos probables, seguros e imposibles en situaciones del entorno.

  • Aplican el tanto por ciento en situaciones de la vida real y sus extensiones al interés simple y compuesto en el mercado financiero.

De esta manera en la primera parte presentamos el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos y su representación grafica, las tres maneras pupulares de presentar una ecuación de la lineal recta (forma pendiente punto, la forma pendiente intercepto y la forma estándar o general.

En la segunda parte presentamos las bases de la evaluación de polinomios, los ceros de un polinomio, repesentaciones graficas de polinomios, teoremas sobre los ceros de polinomios y de la división sintetica. Esta parte es una continuación al tema de polinomios que presentamos en el libro de matematica de octavo grado, en donde cubrimos las operaciones y propiedades de los polinomios, factorización y simplificación de polinomios y simplificación de expresiones racionales o simplicacion del caso particular de la división de polinomios, cuando el residuo de la división es cero.

En la tercera parte, estudiamos elementos mas avanzados de geometría y trigonometría plana a las estudiadas en los libros de matematica para el séptimo grado y octavo grado. En esta parte estudiamos el circulo, rectas tangentes, los angulos inscritos y circunscritos, areas y volúmenes de de figuras geométricas y trigonométricas planas.

En la cuarta parte estudiamos temas mas avanzados del análisis combinatorio y temas de estadística descriptiva como las medidas de tendencia centras y las medidas de dispersión y de posisionamiento.

En la quinta parte estudiamos temas del tanto por ciento y porcentaje hacia las aplicaciones, interés simple y del interés compuesto.

Agradezco a Dios Padre nuestro creador me haya permitido escribir en libros electrónicos los 36 archivos que conforman el CD " LOS LIBROS DEL IICES e CIMES que son la bases de información educativa de la enseñanza aprendizaje para la educación media y superior de Honduras y Centroamerica.

PRIMERA PARTE

Los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables

I OBJETIVO GENERAL

Proporcionar a los Estudiantes los elementos básicos de las ecuaciones lineales en sus diversas formas de solución y representación, con aplicaciones a situaciones de decisión de la vida real.

II OBJETIVOS ESPECIFICOS

Proporcionar al Estudiante los conceptos básicos del producto cartesiano y su representación grafica en el Plano Cartesiano.

  • 1) Proporcionar al Estudiante el concepto de la distancia entre dos puntos en (X( y su ampliación a la ecuación de la línea recta.

  • 2) El Estudiante deberá reconocer, construir y analizar ecuaciones lineales en dos variables en sus tres formas:

  • 3) ?El Estudiante debera graficar ecuaciones lineales en dos variables en el sistema de coordenadas cartesianas.

  • 4)  El Estudiante deberá resuelver gráfica y algebraicamente sistemas de dos ecuaciones lineales.

Introducción a las relaciones lineales y cuadráticas[1]

I EL PRODUCTO CARTESIANO

Definimos el producto cartesiano de A con B y lo denotamos por AXB.

Al elemento (x, y) se le llama pareja ordenada

De esta pareja (x, y) x es la primer componente, y es la segunda componente

Dados dos conjuntos A y B

Tenemos que la pareja ordenada que cumple con la condición es (x, y) = (0, 1)

Todas las relaciones de A en B son subconjuntos del producto cartesiano AXB

De este producto cartesiano podemos obtener subconjuntos de dicho producto cartesiano por ejemplo:

Establecer y trabajar con conjuntos de pares ordenados es un procedimiento comun en las aplicaciones de todos los campos de la ciencia pura o aplicada. Esta actividad de formar parejas es extensa y por tanto fundamental en las actividades del hombre y en su intento de entender y controlar su medio ambiente, en este proceso del desarrollo de la inteligencia humana, ha sido necesario crear el lenguaje preciso de la matemática, por medio de la lógica matemática. El resultado ha sido un extenso desarrollo de la teoría y aplicaciones de relaciones y funciones que se estudia en el libro del IICES e CIMES "FUNCIONES Y LIMITES (PRECALCULO) con el Equation Grapher y el MathCad. Sin embargo en la parte F de este libro se hace una introducción a las relaciones lineales y cuadráticas. El Lenguaje se extiende hacia el análisis matemático que presenta aportes mas razonables para las aplicaciones a la economía, finanzas, física y demás ciencias.

II LAS COORDENADAS CARTESIANAS

El modelo de coordenadas rectangulares divide el plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto cero. La horizontal se denomina eje de las equis o eje de abscisas el eje vertical se llama eje de las "y" o eje de ordenadas.

A este resultado Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes están numerados de 1 a IV en dirección contraria a la del movimiento de las agujas del reloj. Ver grafico de arriba.

Las abscisas son POSITIVAS cuando están situadas a la derecha del eje y. y negativas en caso contrario. Las ordenadas son POSITIVAS cuando el punto esta por encima del eje de las x; y NEGATIVAS en caso contrario.

A una de las rectas se llama eje x, y a la otra, eje y. El punto de intersección se llama el Origen del sistema de Coordenadas Cartesianas representado por (0, 0). Cero para el eje x y cero para el eje y.

III LAS RELACIONES Y LAS FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS.

1 RELACIONES Y FUNCIONES CON PROBLEMAS RESUELTOS

En esta sección nos encontramos con un tipo de conjuntos en particular, conjuntos cuyos elementos son parejas ordenadas de números. Si (a, b) es un par ordenado de números reales, entonces a se llama primera componente del par ordenado, y b la segunda componente.

Para poder discutir con precisión relaciones especificadas por conjuntos de parejas ordenadas, es útil introducir dos nuevos términos técnicos, relación y función. Comenzamos con la definición de una relación.

Una relación de un conjunto A hacia un conjunto B es cualquier conjunto de parejas ordenadas, y forman un subconjunto del producto cartesiano AXB

esta definición es bastante natural, ya que cualquier conjunto de parejas ordenadas de números establece una relación entre dos conjuntos de números, el conjunto de las primeras componentes con el conjunto de las segundas componentes. El conjunto de las primeras componentes de un conjunto de parejas ordenadas se llama el dominio de la relación y el conjunto de las segundas componentes se llama codominio o rango de la relación

Enfatizamos el hecho de que cualquier conjunto de pares ordenados de elementos es una relación, tenga o no significado físico. El concepto es de naturaleza puramente matemática y como tal es completamente libre aplicarlo a una gran variedad de problemas prácticos o teóricos.

Ejemplo.

Hacer la gráfica de cada relación y establecer su dominio y codominio (rango).

Ejemplo

Hacer el grafico de las siguientes relaciones y establecer el dominio y el codominio.

Los siguientes ejemplos sobre relaciones pueden verse como trasformaciones, esto es, la relación transforma los valores del dominio en valores del codominio.

ejemplo

  • 1. DEFINICIÓN DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION, CON EJEMPLOS

El dominio de una función se define como el conjunto de las primeras componentes de la relación establecida. Observar que la relación esta en AXB.

El Rango o codominio de la función se define como el conjunto de las segundas componentes de la relación establecida

Ejemplo 1

Supongamos que S representa las posibilidades de caída de un dado

En las relaciones antes definidas determine cuales son funciones, determine el dominio y el rango si la relación es función.

Solución

Observación:

Toda función es una relación pero no toda relación es función. En este sentido el concepto de función es mas restrictiva (ver definición de funcion)

Ejemplo 2

Podemos ver las funciones como transformaciones, esto es, podemos pensar que la función transforma los elementos del dominio en elementos del codominio o Rango de la función.

En el caso de que el dominio de esta función fuese los reales el rango seria los reales no negativos ( son los reales mayores o iguales que cero).

Ejemplo 3

Ejemplo 4

2. EJERCICIOS PROPUESTOS

Distancia entre dos puntos y problemas resueltos

Reemplazando valores por su igual, tenemos:

1. PROBLEMAS RESUELTOS

1. EJERCICIOS PROPUESTOS

Punto medio o punto de división

Es el que divide a un segmento dado en una relación dada.

Ejercicios propuestos

E) Encuentre la distancia entre los puntos y haga la gráfica.

Las relaciones y funciones lineales: forma estándar

Definición.

Teorema.

La gráfica de la ecuación Ax +By = C, donde A, B, C son constante (A y B no ambas cero), x, y variables[2]es una línea recta. Toda línea recta en el sistema de coordenadas cartesianas forma el grafico denotado por el conjunto:

Hay dos partes para demostrar en este teorema, en la primera parte requiere mostrar que la gráfica del conjunto solución de Ax + By = C es una línea recta de acuerdo a la definición. La segunda parte requiere mostrar que cualquier recta en un sistema de coordenadas cartesianas tiene una ecuación o formula de la forma A*x +B*y = C.

Demostraremos la primera parte. La segunda parte queda como ejercicio propuesto.

Por lo tanto P3 esta sobre la recta que pasa por P1 y P2 los demás casos se demuestran similarmente.

Si sabemos que la gráfica de A*x + B*y = C es una recta, entonces su gráfica se puede encontrar fácilmente fijando dos puntos del conjunto solución (un tercero se puede usar para verificar, si se desea) y luego usando una regla se unen estos dos puntos para determinar otros puntos del conjunto solución.

Ejemplos

Haga la grafica de x + 3*y = 6

Solucion: Despejamos la variable "y" obtenemos y = -(1/3)*x + (6/3) = -(1/3)*x + 2

Ejemplo:

Haga la grafica de 0*x + y = 4 solucion: obtenemos y = - 0*x + 4 = 4

Ejemplo

Haga la grafica de x + 0*y = -3. Solucion: De la ecuación obtenemos x = -3

Ejemplo

Haga la grafica de 2*x - 3*y = 6 solucion: despejando y obtenemos -3*y = 6 - 2*x

y = (6/-3) - (2/-3)*x por lo tanto, y = -2 + (2/3)*x implica y = (2/3)*x - 2

Ejemplo: haga la grafica de x = 5

Ejemplo. Haga la grafica de y = -3

Ya hemos visto que existen dos formas equivalentes de expresar una relación lineal.

a) La forma estandar A*x + B*y = C o a*x + B*y - C = 0

b) La forma pendiente intercepto y = m*x + b de las cuales estudiaremos con mayor detalle.

1. LA ECUACION LINEAL FORMA PENDIENTE INTERCEPTO Y FORMA PENDIENTE PUNTO.

La forma estandar A*x + B*y = C podemos escribirla e y = m*x + b donde m y b son constantes. Esta forma tiene varias propiedades interesantes y útiles. En particular, las constantes m y b tienen un significado geométrico especial. El significado de b se ve fácilmente al asignar a x el valor 0 y observar que y= b.

Para determinar el significado geométrico de "m" elegimos los punto (x1, y1) (x2 , y2) sobre la recta y = m*x + b . Como estos dos puntos están sobre la recta, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación y = m*x + b equivalente a y - m*x = b.

Ejemplo:

Encontrar la pendiente y el intercepto de y = 3*x + 2

Respuesta: la pendiente o grado de inclinación de la recta es m = 3 el intercepto en el eje "y" es b= 2.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta con pendiente m = -2 e intercepto b = 3

Solucion : y = -2*x + 3 la pendiente es negativa por lo tanto la grafica se inclina hacia la izquierda.

Cuando la pendiente de una recta es cero, la grafica es horizontal. Cuando la pendiente de la línea recta es infinita tenemos que la recta es vertical y por lo tanto la recta no es una función.

Ejemplo

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 3) (4, 1) seguidamente encuentre el intercepto, plantee la ecuación lineal y haga el grafico.

Solucion:

Si hubiéramos escogido el otro punto (x1 , y1) = (1,3) tendremos,

Problema con sus respuestas.

a) Encontrarla pendiente y el y-intercepto de la recta y = -(x/2) - 7.

(b) Encontrar la ecuación de la recta de pendiente - (1/3) y con el intercepto en el eje y en b =6

c) Encontrar la pendiente de la recta que pasa por ( - 3, 5) y ( -1, - 3).

RESPUESTA

a) m = -(1/2) , b = -7; (b) y = -(x/3) + 6; (c) m = -4.

La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa, cero o no estar definida. (¿Cuál es la pendiente de una recta vertical? ) Ahora será claro el ¿por qué? y = m*x + b se le llama forma pendiente-intercepto de la ecuación de una recta.

Ejercicios con sus respuestas :

(a) Encontrar la ecuación de la recta de pendiente m = 2/3 que pasa por (- 3, 4).

(b) Encontrarla ecuación de la recta que pasa por los puntos (6, - 1) y (- 2, 3).

Respuestas: (a) y = (3/2)*x + 6; (b) y = -(x/2) + 2.

2. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

El concepto de pendiente tiene muchos usos. Si Ud. pretende hacer un curso en cálculo, encontrará la idea de pendiente generalizada para aplicarla a curvas diferentes de las rectas. Ahora, con relativamente poco esfuerzo, podemos demostrar dos teoremas que nos permitirán decir cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares, con la sola observación de sus pendientes.

Teorema.

Teorema.

Conociendo la pendiente y el punto por donde pasa (-3 , 5) = (x1 , y1) tenemos:

Solucion parte (b)

La recta 3*x - 2*y = 5 despejando y obtenemos -2*y = -3*x + 5 implica

y = (-3*x + 5)/(-2) implica y = (-3/-2)*x + (5/-2) implica y = (3/2)*x - 5/2

La pendiente de esta recta es m1 = 3/2 la otra recta tendrá pendiente m2 = -2/3 por ser ambas perpendiculares (observe que m1 * m2 = (3/2)*(-2/3) = -1

Conociendo la pendiente m = -(2/3) y el punto por donde pasa (-3 , 5) = (x1 , y1) tenemos:

Problema con su respuesta

Dada la recta L: 4x + 2y = 3 y el punto P(2, -3), encontrar la ecuación de una recta que pase por P y que sea

(a) paralela a L y

(b) perpendicular a L

Respuestas:

a) y = -2*x + 1 observar que 4x + 2y = 3 implica y = -2*x + 3/2

La parte b) en la siguiente pagina

b) y = (1/2)*x - 4 observar que 4x + 2y = 3 implica y = -2*x + 3/2

  • 2 EJERCICIOS PROPUESTOS

Encontrarla distancia entre cada par de puntos

1. (-3, -2) y (1, 1)

2. (2, 3) y (5, 7)

3. (4, - 2) y (- 1, 3)

4. (-2, 5) y (-3, -4)

5. Hacer las graficas de las siguientes líneas rectas.

6 Encontrar la pendiente, el y-intercepto y hacer la gráfica dé cada ecuación.

7. Escribirla ecuación de la recta con pendiente y y-intercepto como se indica.

8. Hacer las gráficas de y = - 2x + b para b = - 5, b = 0, b = 5, sobre el mismo

sistema de coordenadas.

9 Hacer las gráficas de y = mx para m = 6, m = 1, m = 0, m = -1, m = -6, sobre

el mismo sistema de coordenadas.

10 Hacer las gráficas de y = - 2*x + b para b = -6, b = 0, b = 6, sobre el mismo

sistema de coordenadas.

11 Hacer la gráfica de y = m*x - 2 para m=2, m=3 ,m=0, m=-2 , m=-1,

sobre el mismo sistema de coordenadas.

12. Usarla fórmula de la distancia para determinar si el triángulo con vértices (-4, 5),

(5, 1) y (0, -2) es un triángulo recto.

(Nota: Un triángulo es recto si, y sólo si el cuadrado de su lado más largo es igual a

la suma de los cuadrados de sus lados más cortos.)

13. Repetir el problema 12 con los vértices (-5, 2), (5, 3) y (2, -2).

14 . Usar la definición de recta para determinar si los puntos (-6, -2), (-1, 1) y (4, 4)

Son colineales

15. Repetir el problema 14 usando los puntos (- 2, 2), (3, - 1) y (6, - 3).

  • 16  acer la gráfica de y= |x| . (Sugerencia: Hacer las gráficas de y= x Para x = 0

para y = -x para x < 0)

17 escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y con la pendiente que se indica.

18 Encontrarla pendiente de la recta que pasa por el par de puntos dados y hacer el grafico.

19. Encontrarla pendiente de la recta que pasa por el par de puntos dados. Y hacer el grafico

a) (1,3) y (3, 5) b) (2, 3) y (5, 3) c) (4, 1) y (5, 1) d) (0, 0) y (1, 1)

20. Para la recta L: 2y - 3x = 4 y el punto P(- 1, - 2), encontrar la ecuación de la

recta que pasa por P y que es

(a) paralela a L ----- (b) perpendicular a L.

21. Repetir el problema 20 para L: 8x + 3y = -6. y P(-6, 5).

22) Mostrar que L : 3x - 2y = 8 y L2: - 6x + 4y =-1 son paralelas, usando el concepto de pendiente.

23 Repetir el problema 22 para L : 3y = 9x + 7 y L2: 6x = 2y - 4.

23 Usar el concepto de pendiente para determinar si el triángulo con vértices (-5, 2),

(5, 3) y(2, - 2) es recto.

24.) El gerente de una compañía que fabrica bolígrafos estima que el costo de funcionamiento de la compañía es de $200 por día con producción cero y de $700 por día con una producción de 1000 bolígrafos.

(a) Suponiendo que el costo total por día c está relacionado linealmente con la producción total por día x, escribir una ecuación que relacione estas dos cantidades.

(b) Hacer la gráfica para 0< x< 200.

Un almacén de artículos para deportes vende un par de patines que le costaron $20 en $33 y un par que costó $60 en $93.

(a) Si la política para determinar el margen de ganancia de este almacén para artículos con un costo superior a$10 se supone es lineal y se refleja en el precio de estos dos artículos, escribir una ecuación que relacione el precio de venta R con el costo c,

(b) Hacer la gráfica de esta ecuación para 10"5 c~5 300,

© Usar la ecuación para encontrar el costo de un bote que se vende por $240.

26. Encontrar los x tales que (x, 8) está a 13 unidades de (2, -4).

27 Encontrar los y tales que (- 2,y) está a 5 unidades de (-6, 6).

28 Encontrar la ecuación de la recta perpendicular que bisecta el segmento de recta que une los puntos (- 6, - 2) y (4, 4) encontrando la ecuación del conjunto de puntos

equidistantes de los puntos dados.

Los sistemas de ecuaciones lineales

I UN ENFOQUE INTUITIVO DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, a medida que se incrementan el número de variables y el número de ecuaciones prevalecen las soluciones por medio de matrices. En el caso de dos variables con dos ecuaciones los métodos son menos complicados. En el caso de que existan muchas variables y muchas ecuaciones es preferible utilizar los métodos matriciales si se disponen de hojas electrónicas, el MatCad u otros software aplicados.

  • 1. EJEMPLO 1

Si elaboramos una tabla de valores tenemos:

A continuación observamos que tales valores (x, y) que satisfacen la ecuación 3*x + 5*y = 7

Consideremos una segunda ecuación

Si elaboramos una tabla de valores tenemos:

Valores de x

Valores de y

valores de x

Valores de y

Valores de x

Valores de y

-5

-6

-1

2

3

10

-4

-4

0

4

4

12

-3

-2

1

6

5

14

-2

0

2

8

6

16

A continuación observamos que tales valores (x, y) que satisfacen la ecuación

Ambas ecuaciones

Ambas rectas se interceptan en

  • 2. EJEMPLO 2

Juan dispone en su granja una cantidad de conejos y gallinas y ambos animales tienen en un total de 50 cabezas. El número de patas entre ambos animales es de 140. Nos interesa determinar cuantas gallinas y cuantos conejos tiene Juan en su granja.

Primero tenemos que establecer ambas ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones de Juan. Sea x el número de gallinas y sea y el número de conejos de esta manera establecemos la primera ecuación x + y = 50.

Observar que existe una relación de dos a uno entre las patas de los conejos y las gallinas y establecemos la segunda relación: 2*x + 4*y = 140.

Encontrar cuantas gallinas y conejos dispone Juan en su granja, mediante el método gráfico.

3. EJEMPLO 3 RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si no se interceptan, en tal caso diremos que el sistema no tiene solución.

Consideremos el sistema formado por

Observar que ambas rectas tienen la misma pendiente.

Nunca se interceptan, las variables y nunca se igualan y si tratamos de llegas a la igualdad llegamos a una contradicción.

4. EJEMPLO 4 RECTAS COINCIDENTES

Cuando ambas rectas coinciden diremos que el sistema tiene infinitas soluciones

El sistema de dos ecuaciones y dos incognitas no tiene solución única.

II METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

  • 1. METODO DE SUSTITUCION

Ahora vamos a aplicar varios métodos que nos permiten llegar a la misma solución lograda por el método gráfico. Comenzaremos por el método de sustitución.

Tomamos la ecuación 2 2*x - y = -4 despejamos la variable y quedando: y = 2*x + 4 este valor lo sustituimos en la ecuación primera 3*x + 5*y = 7 quedando

Una vez encontrado el valor de una de las variables, podemos reemplazar el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, escogeremos la ecuación 2*x - y = -4 de los cuales tenemos que y = 2*x + 4 con x = -1 tenemos y = 2*(-1) + 4 ? y = -2 + 4 = 2 por lo tanto la solución se encuentra en el punto o vector de R2 (x, y) = (-1, 2)

Consideremos ahora el sistema formado por

  • 2. METODO DE IGUALACION

Dado el sistema anterior

Debido a que ambas rectas se cruzan, existe un punto (x, y) igual en ambas rectas en este sentido igualamos la variable y en ambas ecuaciones y obtenemos:

Tenemos

Ver el gráfico.

1. EJEMPLO 1

Del ejemplo 1 de la parte I cuya solución del sistema de ecuaciones es (x,y) = (-1, 2) repetimos el sistema

3*x + 5*y = 7

2*x - 1*y = -4

A este nivel es necesario plantear ambas ecuaciones en su forma matricial, en donde la matriz A recoge los coeficientes o parámetros de las dos líneas rectas.

2. EJEMPLO 2

Aplicando las operaciones elementales clase 1: intercambio de dos ecuaciones entre sí. Del sistema de ecuaciones anterior vamos a intercambiar las ecuaciones, es decir la ecuación primera del ejemplo anterior se convierte en la segunda ecuación.

3*x + 5*y = 7

2*x - 1*y = -4

Intercambiando las ecuaciones obtenemos

2*x - 1*y = -4

3*x + 5*y = 7

  • 3. EJEMPLO 4.

Aplicando las operaciones elementales clase 2 "Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo." y clase 3 "Sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada previamente por un escalar." El sistema de ecuaciones

3*x + 5*y = 7

2*x - 1*y = -4

Vamos a multiplicar la ecuación segunda por 5 y obtenemos la siguiente sistema

3*x + 5*y = 7

10*x - 5*y = -20

Seguidamente sumamos ambas ecuaciones

3*x + 5*y = 7

10*x - 5*y = -20

13*x + 0*y = -13

y la reemplazamos por la Segunda y obtenemos

3*x + 5*y = 7

13*x + 0*y = -13

De la Segunda ecuación del Nuevo sistema 13*x = -13 obtenemos x = -1 y al reemplazar este valor en la ecuación primera 3*x + 5*y = 7 obtenemos 3*(-1) + 5*y = 7 obtenemos 5*y = 10 y despejando y = 2 por lo tanto la solución al sistema es (x, y) = (-1, 2)

  • 4. EJEMPLO 5

Aplicando las operaciones elementales clase 2 "Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo." y clase 3 "Sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada previamente por un escalar." El sistema de ecuaciones tomada del ejemplo 3 de la parte I en la cual ambas rectas son paralelas:

2*x + 5*y = 10

2*x + 5*y = 20

Si calculamos el determinante de la matris de coeficientes obtenemos que det(A ) = 0 por lo tanto la inversa de la matriz A no existe, esto también significa que la matriz A es singular y el sistema no tiene solución, debido a que ambas rectas nunca se interceptan.

Si multiplicamos la ecuación primera por -1 y la sumamos a la ecuación Segunda y cuyo resultado genera la Segunda ecuación del nuevo sistema obtenemos:

III ACTIVIDADES Y SUGERENCIAS PARA EL PROFESOR

Resolver ecuaciones lineales en dos variables.

Ecuaciones lineales en dos variables: Antes estudiar sistema de coordenadas cartesianas, ?Grafica de ecuaciones lineales,

?Geometría de la línea recta: Intersección con los ejes, pendiente:

  • Forma pendiente - ordenada al origen de una ecuación lineal: Y = m*X + b

  • ?Forma punto - pendiente de una ecuación lineal: Y - Y1 = m*(X -X1)

Investigan ecuaciones del tipo Y = m*X + b.

Ejemplo Y = 2*X + 1.

Elaboran una tabla con valores para X y Y que son soluciones de la ecuación. Ejemplo:

Reconocen que las soluciones de la ecuación forman pares ordenados de valores para X y Y que se escriben como (X, Y).

Piensan en cómo representar los pares ordenados gráficamente.

Conocen el sistema de coordenadas cartesianas: eje X, eje Y, origen.

Llaman a la recta horizontal "eje X" o "abscisa"y a la recta vertical "eje Y" u "ordenada".

Llaman a los dos ejes "sistema de coordenadas cartesianas". Llaman al punto de intersección de los ejes "origen del sistema de coordinadas cartesianas".

Representan un par ordenado (X, Y) con X > 0 y Y> 0 en el plano de tal manera que queda X unidades del origen en la dirección horizontal y Y unidades del origen en dirección vertical.

Representan todos los pares ordenados de la tabla del ejemplo anterior como puntos en el sistema cartesiano.

Unen los puntos con segmentos lineales y reconocen que se forma una recta lineal.

Reconocen que cada punto de la recta representa una solución de la ecuación.

Reconocen y calculan la distancia entre dos puntos.

Descubren que es suficiente determinar dos soluciones de la ecuación lineal para poder dibujar la recta.

Investigan varios ejemplos de ecuaciones lineales derivadas de la vida real y los

representan en el sistema de coordenadas cartesianas.

Investigan la ecuación del tipo aX + bY = c donde a y b no son ambos 0 ("forma canónica" de la ecuación lineal).

Descubren que la ecuación se puede escribir en la forma equivalente Y = -a/b X + c/b si b ??0 y se puede tratar como el caso anterior.

Descubren que para b = 0 la ecuación se reduce a

a*X = c

y tiene la solución X = c/a para cualquier Y.

Reconocen que la solución para b = 0 es una recta vertical que pasa por el punto (c/a, 0).

Descubren que para a = 0 la ecuación se reduce a bY = c y tiene la solución Y = c/b para cualquier X.

Reconocen que la solución para a = 0 es una recta horizontal que pasa por el punto (0, c/b).

Observan que las rectas cortan por lo menos un eje.

Reconocen que el punto de intersección con el eje Y tiene el valor X = 0.

Reconocen que el punto de intersección con el eje X tiene el valor Y = 0.

Encuentran la pendiente de una recta de la siguiente manera:

1. Observan dos puntos en la línea que representa la solución de una ecuación

lineal. Ejemplo: (1, 3), (2, 5).

  • 2.) Determinan el cambio horizontal necesario para llegar de (1, 3) a (2, 5) que es 2 - 1 = 1.

3. Determinan el cambio vertical necesario para llegar de (1, 3) a (2, 5)

que es 5 - 3 = 2.

4. Calculan la razón entre cambio vertical y horizontal, que es 2/1.

5. Determinan de esta manera la razón del cambio vertical y horizontal de otros

puntos de la línea y reconocen que tiene siempre el mismo valor.

Reconocen que este valor es una propiedad importante de la línea recta y la llaman "pendiente".

Determinan la pendiente de diferentes líneas en el sistema de coordenadas.

Reconocen que la pendiente puede ser también negativa y cero.

Reconocen que las líneas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.

Descubren que no se puede determinar la pendiente de una línea vertical por que el cambio en dirección X para cualquier par de puntos es siempre 0 y no se puede dividir entre 0.

Grafican la solución de ecuaciones del tipo Y = m*X + b, determinan la pendiente y descubren que la pendiente es siempre m y que b es el valor de Y para X = 0.

Llaman a "b" = "ordenada al origen" y dicen que la ecuación Y = m*X + b está en "forma pendiente - ordenada al origen".

Determinan las pendientes de líneas perpendiculares y descubren que son

"recíprocas negativas", es decir, cuando una línea tiene la pendiente 2, cualquier línea perpendicular tiene la pendiente -1/2.

Reconocen que el producto de las pendientes de dos líneas perpendiculares es siempre -1.

Determinan la pendiente m para un punto (X1, Y1) dado y cualquier otro punto (X, Y) diferente de (X1, Y1) en la línea recta:

m = (Y - Y1)/(X - X1) y multiplican ambos lados de la ecuación por

(X - X1): quedando m*(X - X1) = Y - Y1.

Dicen que la ecuación Y - Y1 = m(X - X1) está en "forma punto - pendiente".

Determinan la ecuación de la línea que pasa por dos puntos dados en forma punto pendiente.

Resuelven varios ejercicios de la vida real que implican puntos en líneas rectas.

Reconocen situaciones que se pueden expresar con un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables.

Resuelven sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables.

  • Sistemas de dos Ecuaciones lineales en dos variables

  • ?Solución por el método gráfico

  • ?Solución por el método algebraico

Investigan dos ecuaciones lineales en dos variables:

Dibujan líneas que representan las soluciones de cada ecuación en el Sistema de

Coordenadas cartesianas.

Descubren que las dos líneas se cortan en exactamente un punto que es una solución común de ambas ecuaciones.

Llaman a las dos ecuaciones "sistema de ecuaciones lineales" o "ecuaciones lineales simultáneas".

Investigan un sistema de ecuaciones lineales:

Dibujan líneas que representan las soluciones de cada ecuación en el sistema de coordenadas cartesianas.

Descubren que las dos líneas son paralelas que no se cortan en ningún punto y reconocen que aunque cada ecuación tiene soluciones, el sistema de las dos ecuaciones no tiene ninguna.

Partes: 1, 2, 3, 4, 5

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