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Matemática del octavo grado




  1. LOS NUMEROS IRRACIONALES: OPERACIONES CON SUS PROPIEDADES.

INTRODUCCION

El presente libro de matematica de octavo grado agrupa varios temas de la matematica según lo exige el MINISTERIO DE EDUCACION PUBLICA en el Diseño Curricular Básico de matematica para el tercer ciclo (DCB), de esta manera el Estudiante en esta parte B sobre los números irracionales deberá cubrir los siguientes:

  • Determinar la raíz cuadrada y cúbica de números

  • Operar con números de la forma a + b* con a, b números racionales.

  • Operar con números irracionales

  • Operar con numeros reales

  • Operar con polinomios.

  • Factorizar expresiones algebraicas y polinomios

  • Operar con expresiones racionales algebraicas

  • Resuelver problemas aplicando el teorema de Pitágoras

  • Aplicar el principio de conteo de eventos y análisis

  • Presentar datos en tablas y polígonos de frecuencia e histogramas.

  • Determinar las medidas de tendencia central[1]y de dispersión para clasificar datos y tomar decisiones.

  • Determinar si dos triángulos son congruentes.

  • Determinar si dos triangulos son semejantes.

Respecto a los triangulos presentamos los elementos de operación sobre la congruencia y semejanza de triangulos pero a nivel práctico es becesario que el estudiante pueda hacer construcciones de figuras geométricas y en el CD presentamos variedad de figuras geométricas[2]que al imprimirse el estudiante puede respaldarse en tales ejercicios practicos, en este sentido se pueden:

  • Construir bisectrices, medianas, mediatrices y alturas de un triángulo con regla y compás

  • Construir triángulos con tres elementos dados.

  • Construir triángulos semejantes.

  • Construir cuadriláteros: Cuadrados, rombos, rectángulos, paralelogramos, trapezoides isósceles, trapezoides.

En esta perspectiva en la parte B presentamos los números irracionales y sus propiedades. En la parte C presentamos las ampliaciones hacia los números reales[3]propiedades de las operaciones de los números reales, ordenamiento, intervalos, sistemas de desigualdades y el valor absoluto y sus propiedades.

En la parte D presentamos el algebra de los polinomios y las propiedades de las operaciones de la suma, resta, multiplicación. De esta manera cubrimos los productos notables con las propiedades de los polinomios en su extensión de la factorización, los ceros de un polinomio y su grafico en el plano cartesiano reforzado con graficos generados por el "Equation Grapher" En todos los libros de matematica del IICES y del CIMES se utiliza el simbolo * que representa a la multiplicación, este símbolo se utiliza en todos los programas de matematica. Por aspectos pedagógicos decidimos utilizar tal simbología. Ejemplo:

Monografias.com= Monografias.com es igual a Monografias.com que es igual a Monografias.com

En la parte E, estudiamos la simplificacion expresiones algebraicas racionales en sus diversas expresiones notables. En la parte F estudiamos elementos de la geometria plana: el punto, la línea, los segmentos y sus operaciones; los polígonos, la semejanza y congruencia de triangulos, los cuadriláteros y sus propiedades, ejercicios practicos de la geometria plana. Recordando que en el libro anterior estudiamos elementos básicos de geometría plan, estudiamos las aplicaciones de rectas paralelas, perpendiculares y conceptos axiomaticos de la geometría plana partiendo de los conceptos primitivos de punto, recta y plano. Las propiedades de los triangulos y otras figuras geométricas en la que se refuerzan los conceptos sobre la construcción de figuras geométricas con cartulina. Ver CD. El Profesor debera iniciar con los polígonos, sin embargo presentamos algunos elementos básicos de la geometría para el entendimiento de la geometría plana como lo exige el DCB del MEP, tales bases se presentan con la intención de reforzar los conceptos estudiados en el séptimo libro considerando que la memoria de corto plazo del Estudiante tiende a fallar.

En la parte G estudiamos las propiedades del conteo en el análisis combinatorio y temas de estadística descriptiva como las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión. Seguimos con los temas de estadística y probabilidad del libro de matematica para el séptimo grado. De ahí la importancia de hacer repasos rapidos de los temas que conforman la estadística descriptiva, bases de datos y graficos. Tambien en el libro séptimo de matematica introducimos elementos de los espacios equiprobables que se enlaza con el análisis combinatorio y estadística de este octavo libro.

Agradezco a Dios Padre nuestro creador por haberme permitido escribir los 45 libros (cuarenta y cinco) del IICES y CIMES[4]para desarrollarse en la Educacion Media y Superior.

LOS NUMEROS IRRACIONALES: OPERACIONES CON SUS PROPIEDADES.

I OBJETIVOS.

Al finalizar esta parte B del libro de matematica de Octavo Grado de la Educación Básica los alumnos y alumnas aplicaran las propiedades numéricas de los números irracionales y las propiedades de las operaciones. lo anterior, en la perspectiva del mejorar sus procesos de toma de decisiones en la presentación y solución de problemas con números irracionales.

  • 2.  OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al finalizar el modulo los Estudiantes podrán conocer, aprender y aplicar actividades relacionadas a esta parte en lo siguiente:

  • Operan números reales y sus operaciones

  • Operan Raíces cuadradas

  • Operar Números irracionales y su equivalente sobre números con decimales no periódicos.

  • Efectuar ejercicios con los números reales.

  • Reconocer que la unión del conjunto de los números racionales con los irracionales genmeran al conjunto de los números reales.

  • Realizar operaciones con números reales

  • Construir intervalos reales

  • Operar con raíces cúbicas, cuadradas y de cualquier índice radical

  • Calcular el cuadrado y potencias en números enteros, racionales y reales.

  • Determinar la raíz cuadrada de números encontrados en el paso anterior.

  • Reconocer la raíz cuadrada como resultado de la operación inversa de la potencia al cuadrado.

  • Buscar sistemáticamente con una calculadora la raíz cuadrada de 2, usando solamente la tecla del cuadrado.

  • Estudiar la demostración de por qué la raíz cuadrada de 2 no puede ser un número racional.

  • Llamar a los números no racionales "irracionales".

  • Llamar al conjunto de números racionales e irracionales "números reales".

  • Aproximar números irracionales a números decimales.

  • Representar números irracionales en la recta numérica.

  • Usar la tecla Monografias.comde la calculadora para calcular raíces cuadradas.

  • Apropiar las propiedades de la radicación, entonces, Monografias.comy Monografias.com

  • Racionalizar fracciones que tienen una raíz cuadrada en el denominador:

Monografias.com

  • Calcular la raíz cúbica exacta de números enteros y racionales.

  • Usar la calculadora electrónica para sumar, restar, multiplicar, dividir números irracionales.

II. LOS RADICALES Y EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

  • 1.  CONCEPTOS GENERALES DE LOS RADICALES

Necesitamos repasar que

Monografias.compor ejemplo Monografias.com

Monografias.compor ejemplo Monografias.com

En general tenemos que

Monografias.compor ejemplo Monografias.com

Ejemplos

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Ejemplos

/ si y solo s 32 = 9

/ si y solo si 24 = 16

/ si y solo si 35 = 243

/ si y solo si (-1)3 = -1

/ si y solo si (-3)5 = -243

/ = -3 si y solo si (-3)3 = -27

/ = -2 si y solo si (-2)7 = -128

Los siguientes números pertenecen al conjunto de los números complejos que corresponden a un tema de la asignatura de de tercer año de plan basico. Obervar que no cumplen con la definición.

/ = b es un numero que no es real porque no es posible encontrar un numero

b2 = -1 porque todo numero elevado a una potencia par es positivo.

/ = b es un numero que no es real porque no es posible encontrar un numero

b4 = -16 porque todo numero elevado a una potencia par es positivo.

/ = b es un numero que no es real porque no es posible encontrar un numero

b6 = -64 porque todo numero elevado a una potencia par es positivo.

En el caso especial que el índice del radical es par tenemos que

Monografias.comsi n es par.

Monografias.com= ± a

Por ejemplo Monografias.com

Monografias.com± 2 porque (± 2 )4 = 16 es decir, 24 = 16 y (- 2 )4 = 16

Observacion: se debe de repasar antes las leyes de los exponentes enteros para generalizar el concepto de las leyes de los exponentes fraccionarios.

Monografias.com además Monografias.com para la base Monografias.com

Se debe de resaltar la importancia de que las expresiones Monografias.comno existen o son formas indeterminadas de las cuales en los cursos siguientes de matemática por ejemplo en cálculo se pueden evaluar algunas formas indeterminadas mediante técnicas superiores de simplificación.

Monografias.com además Monografias.com siendo Monografias.com y Monografias.com

Resaltando de que Monografias.comno existen o son formas indeterminadas. Lo anterior debe de considerar que n?0 simultaneamente con a?0 con b?0.

Monografias.comesto es todo numero elevado al exponente cero genera la potencia 1

Nuevamente recalcar que Monografias.comporque Monografias.comes una forma indeterminada.

Monografias.comconsiderando n?0 ( m?0 simultaneamente con a?0.

Nuevamente recalcar que Monografias.comes una forma indeterminada.

Monografias.comcon Monografias.comrecalcando que la división por cero no existe, es decir

Monografias.comno existe

Y finalmente

Monografias.comcon Monografias.comy n?0 con las sugerencias anteriores esto es considerando Monografias.comno existe y que Monografias.comes una forma indeterminada.

Una vez hecho el repaso anterior, repaso con ejemplos numéricos, estaremos listos para extender las leyes de los exponentes enteros a exponentes fraccionarios. De esta manera damos el siguiente resumen.

  • Cuando n es par y a > 0, / > 0, llamada raíz principal

  • cuando n es par y a < 0, / no es número real, es imaginario.

  • Cuando n es impar y a > 0; / > 0

  • Cuando n es impar y a < 0; / < 0

Observación:

/ si y solo si 0n = 0 el cero elevado a cualquier potencia n>0 es cero ejemplos:

/ / /

También La raiz enesima de un numero a denotado por Monografias.compuede expresarse con exponente fraccionario. Monografias.comtambién se define como Monografias.comejemplos:

Monografias.com, Monografias.com, Monografias.com

El número natural n presenten en el radical / se llama índice u orden del radical y a se denomina radicando o cantidad sub radical. Cuando no se escribe ningún índice, como en / se sobreentiende que el índice es 2 y se lee "raíz cuadrada de x", si el índice es 3 como en / se lee "raíz cúbica de x"

Los radicales con índice 2 son de segundo orden y los radicales con índice 3 son de tercer orden.

Nota: El índice de un radical siempre es un número natural mayor que uno.

  • 2.  LEYES DE LOS RADICALES

De las leyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales.

La siguiente lista de leyes para radicales son consecuencia inmediata de las leyes de los exponentes, que aparecen.

  • a)  Si n es impar Monografias.comsi n es par y Monografias.com

  • b)  Monografias.comequivalente Monografias.com

  • c)  Monografias.comde manera equivalente Monografias.comcon b?0

  • d)  Monografias.comde manera equivalente Monografias.com

  • e)  Monografias.com

  • f)  Monografias.comMonografias.com

  • g)  Monografias.com

  • 3.  RADICALES SEMEJANTES

Un radical es semejante a otro u otros, si tiene mismo índice, mismo radicando.

Ejemplos: 4*, 10*, 0.89*, 25*, 5 Monografias.com

Ejemplos: 3*, 10*, -7*, -9*, 0.3*, 100 Monografias.com

Observar que Monografias.comMonografias.com0.5 *, Monografias.comson semejantes porque tienen como índice n y como radicando a2

Otros ejemplos:

4* y 6* son semejantes, tiene como índice 2 y radicando 2

Monografias.comy 8* Son semejantes, tiene como índice 3 y radicando 7

  • a.  OPERACIONES CON RADICALES

Simplificación de radicales

Simplificar un radical, significa expresarlo en forma ESTANDAR para lo cual debe cumplir las condiciones siguientes:

El radicando debe ser positivo.

El índice del radical es el menor posible.

El exponente de cada factor del radicando es un número natural menor que el índice del radical.

No hay fracciones en el radicando.

No hay radicales en el denominador de ninguna fracción.

Nota: Si n es par y a < 0, / no es número real

Si n es impar y a> 0, / = /

Ejemplos:

/

Cuando el índice del radical y el exponente de todos los factores del radicando poseen un factor común, tanto el índice del radical como los exponentes de los factores del radicando se divide entre su factor común para obtener el mínimo índice del radical posible.

Ejemplo 1.

Monografias.comaplicando las leyes de los exponentes

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.compor lo tanto:

Monografias.com

Ejemplo 2.

Monografias.com

Monografias.compor lo tanto

Monografias.com

Cuando los exponentes de algunos factores del radicando son mayores que el índice del radical, pero no múltiplos enteros de éste, cada uno de dichos factores se escriben como producto de dos factores o más: uno con exponente múltiplo entero del índice del radical y el otro con exponente menor que el índice del radical.

Ejemplo

Monografias.com

Monografias.com

Por lo tanto, Monografias.com

  • 4.  EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

Descomponemos el radicando en sus factores primos.

Monografias.comComo el radical es de índice 2 formamos grupos de dos factores iguales así: entonces Monografias.comlo podemos expresar Monografias.comtodos los factores del radicando que tengan exponente igual al índice, salen del radical como factores así:

  • b.  Exprese en forma estándar Monografias.com

Solución

Expresamos el radicando como producto con exponente que sea múltiplo entero del índice del radicable o bien con exponentes que sean iguales al índice radical. Así:

Monografias.com

Ahora dividimos los exponentes del radicando que sean múltiplos del índice entre el índice del radical.

Monografias.com= Monografias.com

Ejemplo: simplifique Monografias.com

Solución

Monografias.com

Todos los factores que tengan exponente igual al índice salen del radical.

Monografias.com= Monografias.com

Por lo tanto:

Monografias.comMonografias.com

  • c.  Exprese en forma estándar Monografias.com

Solución

Monografias.com

Descomponemos en factores primos el coeficiente del radicando 512*a5*b2 *c4

Luego descomponemos en factores múltiplos o iguales, al índice del radical la parte literal.

Monografias.com

Monografias.com

Todos los factores del radicando que tengan exponente 2 salen del radical.

Así Monografias.com

También Monografias.compuede expresarse Monografias.com

Se extrae la raíz cuadrada a los factores que tienen un exponente que es múltiplo del índice del radical.

  • d.  Exprese en forma estándar Monografias.com

Solución

Monografias.comDescomponemos en factores el radicando

Monografias.comn3 tiene exponente igual al índice. x6 = x3 * x3

Luego

Monografias.com

Monografias.compor lo tanto:

Monografias.com

  • e.  Expresen en forma estándar Monografias.com

Solución

Descomponemos el radicando en sus factores, que tengan exponente igual al índice del radical o que sea múltiplo del mismo.

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.comLuego Monografias.com

Los factores que tienen exponente igual al índice, salen del radical

5*m*m*n*n*x*x*

También puede solucionarse así:

Monografias.comMonografias.com

Se extrae la raíz cúbica de todos los factores que tenga exponente igual o que sea múltiplo del índice; para lo cual se divide entre 3.

Quedando la respuesta:

Monografias.com

  • 5.  EJERCICIOS PROPUESTOS

  • A- Exprese en forma estándar.

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Nota: EL PRESENTE TEXTO ES SOLO UNA SELECCION DEL TRABAJO ORIGINAL. PARA CONSULTAR LA MONOGRAFIA COMPLETA SELECCIONAR LA OPCION DESCARGAR DEL MENU SUPERIOR.

[1] Al respecto introducimos la simbología de la sumatoria en los polinomios con la intención de utilizarlos en las medidas de tendencia central y dispersión.

[2] Consultar el libro: “GEOMETRIA PLANA Y ANALITICA” y las figuras geométricas. Trabajos eleborados por Jose Salomon Perdomo Mejia. Librros del IICES y CIMES.

[3] recordando que en el séptimo grado en donde se cubren los números naturales, enteros y números racionales con todas sus propiedades en las operaciones.

[4] 45 Libros electrónicos disponibles en el CD “HONDURAS RESTICCION EXTERNA, MERCADOS FINANCIEROS Y EMPLEO”. Libros disponibles para todas las instituciones de Educacion Media y Superior.


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