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Matemática del séptimo grado




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Matemática del séptimo grado - Monografias.com

Matemática del séptimo grado

INTRODUCCION

El presente libro de matematica de septimo grado cubre los requisitos establecidos por el Ministerio de Educacion en el Diseño Curricular Basico (DCB). En cada parte del libro y a nivel del docente presentamos los objetivos generales y particulares de cada tema exigido por el DCB de la matematica de septimo grado. Asi en la parte B estudiamos los números naturales, su grafico en la recta numérica, propiedades de las operaciones y ejercicios resueltos y propuestos. En la parte C estudiamos los números enteros, su grafico en la recta numérica, las propiedades de cada operación incluyendo las leyes de los signos en esta estructura numérica e incluimos las propiedades del valor absoluto y las propiedades de los exponentes. Se incluyen ejercicios resueltos y propuestos.

En la parte D estudiamos los números racionales, la representación grafica de los racionales, las propiedades de sus operaciones de los números racionales, leyes de los signos. Se incluyen problemas resueltos y problemas propuestos. En la parte E presentamos los números racionales y su conversión a numeros decimales, cubriendo las operaciones con números decimales extendiéndose a la división de tales números, seguidamente cubrimos la conversión de los números decimales a números fraccionarios, prsentamos problemas propuestos y resueltos, finalmente presentamos los números decimales en notación científica en potencias de 10.

En la parte F presentamos los elementos básicos de la estadística en donde se pretende proporcionar y facilitar los conocimientos de las bases de datos con la utilización de paquetes estadísticos y el Excel de esta manera se fortalece la presentación y graficacion de la infomacion en datos estadisticos, incorporando los conceptos de conjuntos eventos en los espacios equiprobables hacia las aplicaciones de la toma de decisiones, en esta parte hacemos una introducción de los conceptos básicos de la teoría de conjuntos para un mejor entendimiento de los espacios equiprobables.

Respecto a las proporciones, presentamos el concepto, distinguiendo entre proporcionalidad directa e indirecta. Se resuelven problemas que involucran proporcionalidad aplicando la Regla de Tres. Se presentan aplicaciones de la proporcionalidad y se entiende ell concepto al interés que genera el dinero, esto es, el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, de esta manera la constante de proporcionalidad es la tasa de interés generándose aplicaciones a los mercados financieros. De la manera anterior pretendemos desarrollar el concepto de la razón dos números en aplicaciones de los números racionales.

Respecto a las bases de la geometria se facilitar los conocimientos básicos de la geometria analítica tales como los conceptos primitivos de puntos líneas y planos en sus extenciones a Segmentos y rayos, líneas rectas de longitud infinita, División de líneas, Rayos, Segmentos, Punto medio del segmento, Bisección de un segmento (Bisector), angulos, rectas paralelas y perpendiculares, Puntos colineales, Congruencia de segmentos (?)

Mis agradecimientos a Dios Padre nuestro creador, por haberme permitido escribir los 45 libros que conforman los aportes del IICES y del CIMES, al "Sistema Educativo Medio y Superior".

LOS NUMEROS NATURALES

I REPASO DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES [-inf y inf]

Definición de los números naturales

La Real Academia Española los define como "cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..."

Un número es un símbolo que indica una cantidad. Estos símbolos según datos históricos comienzan en el antiguo Egipto, la Mesopotamia alrededor del año 4.000 "Antes de Cristo" y en el nuevo mundo los Mayas 300 años AC. No se sabe dónde, cuándo, ni por quién, pero fueron inventados por el hombre, al observar la gran cantidad y variedad de elementos que hay en la naturaleza. Surgió entonces la necesidad e inquietud matemática.

Empezaron los antiguos a clasificar los elementos que tenían a su alrededor: árboles, frutas, animales, etcétera. Y luego los enumeraron: 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etcétera. Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.

Definición de natural: según el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar[1]

Formalmente, Los números naturales son una sucesión infinita de números partiendo del uno, dos, tres y asi sucesivamente hacia el infinito.

( = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} gráficamente formamos la recta numérica natural.

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Si al conjunto ( le unimos el conjunto que tiene como elemento el cero obtenemos el siguiente nuevo conjunto:

(* = ( ( { 0 }

(* = ( ( { 0 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ( { 0 }

(* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} gráficamente formamos la recta numérica siguiente:

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Los puntos suspensivos significan que los números continúan sucesivamente, esto es, el conjunto N* no tiene fin y por lo tanto es infinito.

II. EL ORDENAMIENTO EN LOS CONJUNTOS ( y (*

Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar. El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades: Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1. Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural. Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.

Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza. Algunos matemáticos no reconocer el cero como un número natural, Por esa razón existe (* .

Con los números naturales* se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo, como lo veremos mas adelante cuando estudiemos las propiedades de la operación suma.

1 . RELACION DE ORDEN EN [-inf y inf]

Es una característica bien importante que en un sistema de numeración como el decimal podamos comparar dos números. Dados dos números distintos podemos determinar cual es mayor o cual es menor según tenga más o menos unidades.

Definiciones

  • a) Diremos que el numero a es mayor que el numero b y lo denotamos por a > b si y solo si a – b > 0

  • b) Diremos que el numero natural a es menor que el numero natural b y lo denotamos por a < b si y solo si b – a > 0

En general la propiedad de tricotomia de (* podemos decir, que dados dos números naturales a y b puede ocurrir una de las 3 posibilidades.

  • Que a sea igual a b. a = b

  • Que a sea menor que b. a < b

3. Que a sea mayor que b a > b

En matemáticas existen signos para reemplazar las frases "es igual a"

Denotado por " = "

Ejemplo 1.

A continuación se le dan pares de números separados por un guión. Escriba en el guión los signos 련es mayor que); 련es menor que); = (igual a) según convenga.

45 > 30, 36 < 90, 60 = 60, 125 > 100

Ejemplo 2.

Escriba sobre el guión, los signos >, < o = según convenga.

121 < 360, 48 < 72, 1361 > 1360,

450 > 200, 321 > 300, 2364 > 1800,

75 = 75, 100 = 100, 931 = 931

EJERCICIOS PROPUESTOS

A Continuación se le dan pares de números separados por un guión. Escriba en el guión los signos > , < o = según convenga.

a) 46 ______32 75 _____50 100 _______100

b) 60 ______90 80 _____100 30 _______30

c) 70 ______95 60 _____32 45 _______72

2. LA RELACION MAYOR O IGUAL QUE =

Decimos que dos números naturales a y b satisface

a = b si y solo si a > b ( a = b (se cumple una de las dos condiciones)

El símbolo ( es un ó excluyente.

ejemplos

  • 5 = 3 porque satisface 5 > 3

  • 2 = 2 porque satisface 2 = 2

  • 100 = 100 porque satisface 100 = 100

  • 220 = 210 porque satisface 220 > 210

3. LA RELACION MENOR O IGUAL QUE =

Decimos que dos números naturales a y b satisface a = b

si y solo si a < b ( a = b (se cumple una de las dos condiciones)

El símbolo ( es un o excluyente.

ejemplos

  • 3 = 5 porque satisface 3 < 5

  • 2 = 2 porque satisface 2 = 2

  • 100 = 100 porque satisface 100 = 100

  • 210 = 200 porque satisface 200 < 210

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, x e y , o bien x=y, o bien y=x. (equivalente a la tricotomía comentada anteriormente)

Todo subconjunto Monografias.comno vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento x(A tal que ((y)(y(A se tiene x=y.

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo al numero 2.

4. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS NATURALES

La relación de igualdad cumple las propiedades siguientes:

a) (a(( a = a

b) ( a, b (( a = b entonces b = a propiedad simétrica

c) ( a, b, c (( a = b ^ b = c entonces a = c propiedad transitiva

5. PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN EN LOS NATURALES

La relación de orden = (mayor o igual que ) cumple las propiedades siguientes:

a) (a(( a = a

b) (a, b, c (( a = b ^ b = c entonces a = c propiedad transitiva

Ejemplos

  • 5 = 5 entonces 5 = 5

  • 75 = 50 ^ 50 = 10 entonces 75 = 10

III REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO ( y (*

Los números naturales, los podemos representar geométricamente en una semirrecta numérica orientada hacía la derecha.

( = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,6,.....} (* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,6,.....}

Observar que (* = ( ( { 0 }

Observar que la diferencia entre ( y (* es el elemento cero, 0((* 0((

La representación grafica de ( esta dada en la siguiente recta

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La representación grafica de (* esta dada en la siguiente recta

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  • a) Trazamos una semirrecta que parte de cero hacía la derecha

  • b) Escoge un segmento arbitrario (de cualquier medida) para representar la unidad sobre la semirrecta.

  • c) A partir del punto inicial cero, mide con el segmento unidad escogido, tantas veces como el número que quieras representar.

Ejemplo: El 6 se representará así:

Monografias.com ?

Monografias.com

?

NOTA: Debes observar que el tamaño del segmento unidad puede ser grande o pequeño dependiendo de los números que quieras representar gráficamente.

Representación gráfica del subconjunto de (*

Para poder representar gráficamente un subconjunto de (*, rellenaremos con círculos los puntos.

Ejemplo 1:

Representar gráficamente Monografias.com

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Ejemplo 2:

Grafique M = {x/x ( (* y x < 5 } Los números naturales menores que 5 son: M= Monografias.com

Sol:

Monografias.com

Ejemplo 3:

Grafica T= {x/x ( ( ( x > 7 } Los números naturales mayores que 7 son: T= Monografias.compor lo que marcaremos los números desde 8 en adelante.

Sol:

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Ejemplo 4:

Sea V= {x/x ( (* y x = 5 } grafíquelo

Sol:

Los números naturales menores o iguales que 5 son:

Monografias.comluego su gráfica es:

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Ejemplo 5:

Sea W= {x/x( ( 3 < x < 7 } haga la gráfica

Sol: 3 < x < 7 significa que no contiene los extremos 3 y 7 por consiguiente W = Monografias.comLuego su gráfica es:

Monografias.com

Ejemplo 6:

Sea E= {x/x ( ( 3 = x = 7 } grafique

Sol: 3 Monografias.comX Monografias.com6 significa que contiene los extremos 3 y 6 por tanto E = Monografias.comLuego su gráfica es:

Monografias.com

Ejemplo 7:

Sea A= {x/x ( ( 3 < x = 7 } Haga la gráfica

Sol: 3 < X Monografias.com7 significa que no contiene el extremo 3 pero si el extremo 7 luego

A = Monografias.comsu gráfica es:

Monografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.com

Monografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.com 弯b>

0 1 2 3 4 5 6 7

1. EJERCICIOS PROPUESTOS

Grafique en la recta los siguientes conjuntos:

  • Si A=

  • Sea B= Monografias.com

  • Sea V= {x/x( ( 1 < x < 10 }

  • Sea W= {x/x( ( ^ x < 6 }

  • Sea A = {x/x ( ( ^ x < 8 }

  • Sean A= {x/x ( ( 3 = x = 9 }

  • Sea E= {x/x ( ( 4 = x < 12 }

  • Sea F= {x/x( (* 6 < x = 10 }

  • Sea A = { x/x( (* 3 = x = 12 }

  • Sea E = { x/x ( ( 3 < x = 6 }

  • Sea F = { x/x ( (* x = 7 }

  • Sea V { x/x ( ( x = 7 }

  • Sea W = { x/x ( (* 2 < x < 6 }

  • Sea D = { x/x ( ( x > 4 }

EJERCICIOS PROPUESTOS

En las siguientes representaciones graficas construya el conjunto respectivo por comprensión en (*

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IV LAS OPERACIONES Y SUS PROPIEDADES EN LOS NUMEROS NATURALES

1 OBJETIVOS DE LA SECCION

Al terminar el estudio de esta unidad el alumno deberá ser capaz de:

  • Sumar números naturales

  • Restar números naturales

  • Multiplicar números naturales

  • Identificar y aplicar las propiedades de la suma y producto en N

  • Establecer la jerarquía de las operaciones básicas

  • Efectuar operaciones combinadas con signos de agrupación.

2 OPERATORIA EN LOS NUMEROS NATURALES ( Y (*

  • a)  ADICION O SUMA EN LOS NUMEROS NATURALES

La operación suma tiene por objeto dados dos o más sumandos obtener un total.

Ejemplo:

  • 45 sumando

  • 176 sumando

9 sumando

230 Suma o total

Ejemplo 2:

10 + 12 = 22 10 y 12 se llaman sumandos, 22 se llama suma o total

Para sumar números naturales, se utiliza el valor de posición del sistema decimal. Colocamos unidades bajo unidades; decenas bajo decenas; centenas bajo centenas; millares bajo millares y así sucesivamente.

Ejemplo 3:

Efectúe 42 + 376 + 1940 + 12 + 3

Sol:

Monografias.com 42 sumando

376 sumando

1,940 sumando

12 sumando

3 sumando

2,373 Suma o total

Para efectuar ésta suma colocamos unidades bajo unidades: 6 bajo del dos, o bajo del 6; 2 bajo del cero, 3 bajo el 2.

Colocamos decenas bajo decenas, las cifras que representan las decenas son 4, 7, 4 y 1 por lo que colocamos bajo el primer 4 el 7, bajo el 7 el otro cuatro y bajo el 4 el uno.

Colocamos centenas bajo centenas; representa las centenas las cifras 3 y 9 por lo que colocamos bajo del 3 el 9.

Como el 1 representa los millares y no hay otra cifra con quien sumarla; sólo se baja.

  • b)  EJERCICIOS PROPUESTOS

Efectúe las siguientes sumas:

  • 4326 + 3797 + 173 + 93 + 6

  • + 16744 + 32644 + 19674 + 93 + 15

  • 10 + 34 + 964 + 1321 + 12864 + 412 + 15

  • 315 + 710 + 1940 + 1943 + 6001 + 33746

  • 13745 + 19694 + 315612 + 31446

Resuelva los siguientes problemas:

  • Juan vendió una casa por Lps. 750,000; un carro por Lps. 220,050 una estufa y un refrigerador por Lps. 22,375 ¿Cuánto dinero recibió Juan?

  • Un granjero tiene 220 vacas; 150 caballos; 2 asnos; 60 cabros y 1300 gallinas ponedoras ¿Cuántos animales tiene el granjero?

  • En el INTEC la rama de bachillerato presencial tiene 425 alumnos; la rama comercial tiene 450 alumnos, el ciclo común tiene 575 alumnos y la Jornada a distancia tiene 700 alumnos ¿Cuántos alumnos tiene INTEC?

3 PROPIEDADES DE LA SUMA DE NATURALES

La suma cumple con varias propiedades o axiomas de campo; los cuales son muy importantes en la solución de algunos cálculos. Estas propiedades son:

  • Propiedad 1

((a, b) (a, b ( (*) se cumple que (a + b) ( (* (propiedad de cierre o clausurativa)

La propiedad anterior nos dice que, la suma de dos o más naturales es igual a otro natural.

Ejemplo 1:

Sean 46, 32, 94 Monografias.comN efectúe la suma y manifieste la propiedad de cierre o clausura.

Sol: 46 + 32 + 94 = 172

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46 Monografias.com

32 Monografias.com 172Monografias.com

94 Monografias.com

Ejemplo 2:

Sean 180, 374, 1943, 65Monografias.comEfectúe la suma y manifieste la propiedad de cierre o clausura.

Monografias.com 180 + 180Monografias.com

Monografias.com 374 374Monografias.com

1943 1943Monografias.com

65 65Monografias.com

2562

  • Propiedad 2.

((a, b) (a, b ( (* ) se cumple que a + b = b + a (propiedad conmutativa)

La propiedad anterior nos indica que el orden de colocación de sumandos no altera la suma.

Ejemplo 1:

Sean 145, 155 ( (* Efectúe la suma aplicando la propiedad conmutativa.

Sol:

145 + 155 = 155 + 145

300 = 300

Ejemplo 2:

Sean 1376, 1524 (( Efectúe la suma aplicando la propiedad conmutativa.

Sol:

1376 + 1524 = 1524 + 1376

2900 = 2900

  • Propiedad 3:

((a, b, c) (a, b, c ( (* ) se cumple que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa)

La propiedad anterior consiste en reemplazar dos o mas sumandos por una suma efectuada.

Ejemplo 1:

Sean 142, 198, 100 ( (* Efectúe la suma aplicando la propiedad asociativa.

Sol: (142 + 198) + 100 = 142 + (198 + 100)

(340) + 100 = 142 +(298)

440 = 440

Ejemplo 2:

Efectúe la suma de 3946, 4640, 3000 ( ( aplicando la propiedad asociativa.

Sol: (3946 + 4640) + 3000 = 3946 + (4640 + 3000)

(8586) + 3000 = 3946 + (7640)

8586 + 3000 = 3946 + 7640

11586 = 11586

4 EJERCICIOS PROPUESTOS

  • A. Efectúe las siguientes sumas aplicando la propiedad asociativa.

a) 390 + 4672 + 31140 b) 4582 + 21315 + 900

c) 15742 + 13641 + 9872 d) 12400 + 13502 + 6941

e) 132 + 90 + 146 f) 30000 + 15001 + 3002

Sólo es necesario asociar los números de dos maneras.

  • Propiedad 4:

((a) (a ( (* ) ( (0 ( (* ) tales que ( a + 0 = 0 + a = a ) existencia del elemento neutro de la suma.

Esta propiedad no la posee el conjunto de los números naturales ( esta es una importante deiferencia entre los conjuntos ( y (*

EJEMPLOS

5 + 0 = 5 , 10 + 0 = 10, 0 + 2 = 2, 0 + 5 = 5 , 3 + 0 = 3

es decir todo numero x sumado con cero es el mismo numero natural del conjunto (*

5 MULTIPLICACION O PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES

Si queremos darnos cuenta cuanto dinero ganaremos por salario en 5 días, ganando Lps. 60 diarios podremos hacerlo de la siguiente manera 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 300 es decir sumamos lo que ganamos por día durante 5 días. Pero que sucede, si queremos saber cuanto ganaremos en 25 días; tendríamos que sumar 25 veces el 60 que es el salario diario. Existe un método práctico que es el de las tablas de multiplicar.

En el ejemplo de los salarios, como conocemos el valor de uno podemos conocer el valor de 5; multiplicando 60*5 = 300

  • TERMINOS DE LA MULTIPLICACION

Los términos de la multiplicación son: Multiplicando, Multiplicador y Producto. Utilizamos el símbolo * como multplicacion. 60 * 5 = 300

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60 * 5 = 300

a) FORMAS COMO MANIFESTAR UNA MULTIPLICACION

  • a) 60 x 5 b) 60.5 c) 60 (5)

d) (60)(5) e) 60*5

Pero en el transcurso de este libro utilizaremos el símbolo * como el de multiplicación.

b) EJERCICIOS RESUELTOS

1. Efectúe 42 * 6 2. Efectúe 36 (14)

Sol. 42 x 6 Sol. 36 x 14

252 144 .

504

  • 1. Efectúe 421 * 72

Sol. 421*72

842

2947.

30312

  • c) EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Efectúe 32*(22) 2. Efectúe 45*(31)

3. Efectúe 45 * 21 4. Efectúe (132)*(24)

5. Efectúe 321*46 6. Efectúe 173*75

6 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NUMEROS NATURALES

Las propiedades de las operación multiplicación en (* son las siguientes:

  • Propiedad 1:

((a,b) (a, b( (* ) se cumple que a*b ( (* (Propiedad de cierre o clausura)

La propiedad anterior nos dice que, si multiplicamos dos naturales el resultado es otro natural.

Ejemplo 1:

Sean 45, 70 ( (* Efectúe su producto y manifieste la propiedad de cierre.

Monografias.comSol:

Monografias.com 45 * 70 45 ( (*

70 ( (*

Ejemplo 2:

Sean 4372 , 274 ( (* Efectúe su producto y manifieste la propiedad de cierre.

Sol:

Monografias.com

Monografias.com 4372*274 4372 ( (*

274( (*

4372*274

17488

30604

8744

1,197,928

7 EJERCICIOS PROPUESTOS

Efectúe los siguientes productos y manifieste la propiedad de cierre

a) 432*(65) b) 72*(36) c) (321)*(601) d) 75 * 41

e) 160*39 f) 74 *(62) g) 94 * 31 h) 124 * (39)

Observe las diferentes maneras de expresar la multiplicacion de dos números, reconozca esas simbologías en los cursos de matematica.

  • Propiedad 2:

((a,b) (a, b ( (* ) se cumple que a*b = b*a (propiedad conmutativa)

La propiedad anterior nos indica, el orden de colocación de factores no altera el producto.

Ejemplo 1:

Sean 42,5 ( (* efectúe su producto aplicando la propiedad conmutativa.

Sol:

42 (5) = 5 (42)

210 = 210

Ejemplo 2:

Sean 845 ,10 ( (* efectúe su producto aplicando la propiedad conmutativa.

Sol:

845 (10) = 10 (845)

8450 = 8450

8. EJERCICIOS PROPUESTOS

Efectúe los productos siguientes y verifique la conmutatividad.

a) 174*(69) b) 105*(121) c) 42*(38) d) (72)*(94)

e) 21 * 39 f) 64*36 g) 122*(99) h) 126 * 315

  • Propiedad 3:

La propiedad asociativa consiste en reemplazar dos o más factores por un producto efectuado.

Ejercicio 1:

Sean 4, 5, 12 ( (* efectúe su producto aplicando la propiedad asociativa.

Sol.

(4 * 5)*12 = 4 *(5 * 12)

( 20 )*12 = 4*(60)

  • 240 = 240

Ejercicio 2:

Sean 6, 90, 100 Monografias.comEfectúe su producto aplicando la propiedad asociativa.

Sol:

(6 *90) *100 = 6 * (90 * 100)

(540) * 100 = 6 * (9000)

54000 = 54000

. Efectúe los siguientes productos aplicando la propiedad asociativa.

a) (40) (36) (70) b) 65 * 32 * 90 c) 72 (5) (180)

d) 93 (42) (10) e) 94 x 3 x 62 f) 32 (41) (69)

  • Propiedad 4:

((a( (*)( (1 ( (* ) tal que a*1 = 1*a = a (propiedad del elemento neutro de la multiplicacion)

La propiedad anterior nos indica, que al multiplicar un número natural por 1 el resultado es el mismo natural.

Ejemplo 425 (1) = 425

Ejemplo 1376 (1) = 1376

  • Propiedad 5:

Monografias.coma, b, c( (* se cumple (a + b)*c = a*c + b*c (propiedad distributiva del producto con respecto a la suma).

Ejemplo. (3 + 5)*4 = 3*4 + 5*4

8*4 = 12 + 20

  • 32 = 32

La propiedad anterior se generaliza indicando que cada uno de los sumando se multiplican por el factor dado y al final se suman todos los productos parciales.

Ejemplo 1:

Sean 4, 9, 12, 15 ( (* sumandos y sea 10 ( (* un factor, efectúe su producto aplicando la propiedad distributiva.

Sol.

(4 + 9 + 12 + 15)*10 = 4*(10) + 9*(10) + 12*(10) + 15*(10)

40 * 10 = 40 + 90 + 120 + 150

400 = 400

Ejemplo 2:

Efectúe su producto aplicando la propiedad distributiva

Sol.

(15 + 18 + 20 + 30 + 55)* 20 = 15 *(20) + 18* (20) + 20 *(20) + 30* 20 + 55* 20

= 300 + 360 + 400 + 600 + 1100

= 2760

9 EJERCICIOS PROPUESTOS

E. Efectúe los siguientes productos aplicando la propiedad distributiva.

a) (46 + 32 + 54 + 9) *25 b) (72 + 94 + 121 + 90 + 15)* 30

c) (72 + 73 + 140 + 91)* 93 d) (108 + 46 + 194 + 12 + 47)* 77

e) (21 + 36 + 42 + 54)* 61 f) (71 + 83 + 94 + 101 + 205) *302

13. EJERCICIOS PROPUESTOS

Instrucciones: Encierre en un círculo la letra que corresponde a la respuesta correcta.

  • El sistema de numeración decimal utiliza.

a. 10 símbolos b. 5 símbolos

c. 8 símbolos d. 20 símbolos

  • En el numero 5,324, 3 representa

  • b.  3 centenas

  • c.  3*102 El símbolo* representa a la multiplicacion

  • d.  3*100

  • e.  Todas son correctas

  • 200,032 se lee

  • f. Dos millones treinta y dos

  • g. Dos mil treinta y dos

  • h. Veinte mil treinta y dos

  • i. Ninguna es correcta

  • En el numeral 7436 hay

a. __ unidades b. __decenas c. __centenas

d.__millares

  • Escriba el numero correspondiente a:

  • a. Trescientos setenta y cinco mil uno__________________

  • b. Cien mil cien _____________________

  • Escriba en forma de potencias de 10; los numerales siguientes

  • c. 342646 __________________

  • d. 1376942 __________________

  • e. 5005 __________________

  • Escriba en forma normal, los numerales siguientes

  • f. 5*105 + 3*104 + 0*103 + 0*102 + 4*101 + 6*10°

  • g. 3*103 + 0*102 + 0*101 + 1*10°

  • h. 2*104 + 3*103 + 6*102 + 3*101 + 4*10°

C. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

El estudiante conocera y aplicara los conjuntos de los números naturales y enteros junto con sus propiedades a través de ejercicios practicos y aplicaciones con la finalidad de fortalecerlo en los conceptos numéricos y sus propiedades hacia sus aplicaciones en la estadística, las proporciones y razones, geometría plana, conjuntos o eventos en espacios equiprobables.

II OBJETIVOS ESPECIFICOS A TRAVES DE ACTIVIDADES Y PROCESOS

  • 1. El estudiante reforzara el concepto de número natural y sus operaciones con sus propiedades.

  • 2.  El estudiante continuara extendiendo sus conocimientos a través del estudio de los números enteros como una ampliación de los números naturales al añadírsele los números negativos y el cero reforzando sus conocimientos en las operaciones y propiedades de los enteros con aplicaciones.

En consistencia con los dos objetivos anteriores el estudiante desarrollara un estudio profundo de tales números, en el sentido de fortalecer los conceptos de los naturales y los enteros con las propiedades de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división incluyendo las propiedades y aplicaciones. De esta manera se cubrirá un repaso de los naturales y su ampliación de los enteros por medio de los siguientes conceptos y actividades:

III. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS: GENERALIDADES

Los enteros en su extensión natural hacia los números negativos surgen como una necesidad de resolver algunos problemas donde se manejan los conceptos de pérdidas y ganancias, esto condujo al hombre a pensar en los números negativos, un numero entero negativo se interpreta como perdidas, y en otras situciones de proyectos se interpretan como salidas de dinero, de esta manera las entradas de dinero se consideran como números positivos y las salidas de dinero como numero negativo. De la otra manera las ganancias se consideran comno números positivos y las perdidas como un número negativos.

Cuando oímos hablar de temperaturas bajo y sobre cero, perdidas y ganancias; fechas antes y después de Cristo podemos pensar en los números negativos y positivos. Si vamos escribir una temperatura de 10º bajo cero; lo escribimos como –10º y si está sobre cero lo escribimos como +10º; si en su negocio ganamos un millón lo escribimos como +1,000,000 pero si lo perdemos lo escribimos como –1,000,000.

El conjunto de los números enteros consta de: cero, números positivos y números negativos. Un número entero positivo se representa por un número natural precedido del signo más (+). Un numero entero negativo se representa por un número natural precedido del signo menos (–)

El conjunto de los números enteros se simbolizan por la letra (

Si nos referimos a los enteros positivos, los simbolizaremos por (+ y si nos referimos a los enteros negativos, los simbolizamos por (-

(+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, .....} = ( (- = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, ....}

El conjunto de los números enteros esta formado por la unión del conjunto de los enteros positivos o números naturales con el conjunto de los números enteros negativos con la unión del conjunto que tiene como único elemento el cero. Esto es:

( = (+ ( (– ( { 0 } recordando que (* = ( ( { 0 } tenemos que

( = (* ( (– El símbolo ( expresa la operación unión de conjuntos.

IV. REPRESENTACION GRAFICA DE LOS ENTEROS

Sabemos que para representar un entero en la recta numérica se asocian con puntos que están a la derecha o a la izquierda de un punto asociado con el número cero; o bien con desplazamientos hacia la derecha o hacia la izquierda.

Ejemplo 1.

Representa en la recta numérica el numeral 4. Lo buscamos en el conjunto de los números positivos, lo marcamos con una cruz.

Monografias.com

Ejemplo 2

Representa en la recta – 5. Lo buscamos en el conjunto de los números negativos y lo marcamos con una cruz.

Monografias.com

Cada punto de la recta numérica se llama la gráfica del número con el que está apareado y el número se llama la coordenada del punto.

1 EJERCICIOS PROPUESTOS

Haga un gráfico de los siguientes números enteros. Traza una recta para cada inciso.

a) 3, 6, –9, –2 b) 3, 5, 7, 0, –9, –6 c) –4, –3, –1, 5, 6, 7

d) 10, –3, 0, 4, 6 e) –5, –4, 0, 3, 1 f) 1, 3, 5, 0, –2, –6

V. ORDENAMIENTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

  • 1.  RELACION DE ORDEN EN (

Es una característica bien importante que en un sistema de numeración como el decimal podamos comparar dos números. Dados dos números distintos podemos determinar cual es mayor o cual es menor según tenga más o menos unidades.

Definiciones

  • Diremos que el numero a es mayor que el numero b y lo denotamos por a > b si y solo si a – b > 0

  • Diremos que el numero entero a es menor que el numero entero b y lo denotamos por a < b si y solo si b – a > 0

En general podemos decir, que dados dos números naturales a y b puede ocurrir una de las 3 posibilidades.

1. Que a sea igual a b. a = b

2. Que a sea menor que b. a < b

3. Que a sea mayor que b a > b

Llamamos a esas tres posibilidades propiedad de TRICOTOMIA.

En matemáticas existen signos para reemplazar las frases

Ejemplo 1.

A continuación se le dan pares de números separados por un guión. Escriba en el guión los signos > (es mayor que); < (es menor que); = (igual a) según convenga.

45 > 30, 36 < 90, 60 = 60, 125 > 100

Ejemplo 2.

Escriba sobre el guión, los signos >, < o = según convenga.

121 < 360, 48 < 72, 1361 > 1360,

450 > 200, 321 > 300, 2364 > 1800,

75 = 75, 100 = 100, 931 = 931

Como los números positivos entre más se alejan del punto cero, son mayores entonces tenemos que 10> 8> 4 > 2> 1

Como los números negativos entre más se alejan de cero, son menores entonces tenemos que –1> –2 > –3 > –4 >–5

Cuando los números enteros están ordenados de mayor a menor, el ordenamiento es DECRECIENTE.

Cuando los números enteros están ordenados de menor a mayor el ordenamiento es CRECIENTE.

Ejemplo: 1 -210

  • -2 = -3 porque satisface -2 > -3

  • -3 = -5 porque satisface -3 > -5

  • 3. LA RELACION MENOR O IGUAL QUE =

    Decimos que dos números naturales a y b satisface

    a = b si y solo si a < b ( a = b (se cumple una de las dos condiciones)

    El símbolo ( es un o excluyente.

    ejemplos

    • -5 = -3 porque satisface -5 < -3

    • 2 = 2 porque satisface 2 = 2

    • -99 = -99 porque satisface -99 = -99

    • -210 = -200 porque satisface -210 < -200

    4. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS ENTEROS

    La relación de igualdad cumple las propiedades siguientes:

    a) ( a, a (( a = a

    b) ( a, b (( a = b entonces b = a propiedad simétrica

    c) ( a, b, c (( a = b ^ b = c entonces a = c propiedad transitiva

    5. PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN = EN LOS ENTEROS

    La relación de orden = (mayor o igual que ) cumple las propiedades siguientes:

    a) ( a( ( a = a

    b) ( a, b, c (( a = b ^ b = c entonces a = c propiedad transitiva

    Ejemplos

    • -5 = -5 entonces -5 = -5

    • -40 = -50 ^ -50 = -60 entonces -40 = -60

    • 10 = 0 ^ 0 = -10 entonces 10 = -10

    VI OPERACIONES CON LOS ENTEROS

    Ahora que conocemos que son los números enteros positivos y negativos y que podemos representarlos gráficamente y ordenados. Trataremos de adaptarlos en la solución de problemas de la vida cotidiana, pero para ello tenemos que aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir.

    Partes: 1, 2, 3, 4, 5, 6

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