- Introducción
- Definición de transformada de
Laplace - Condiciones suficientes para la existencia de
la transformada de Laplace - Transformada de algunas
funciones - Propiedades
- Función Gamma
- Tabla
de transformadas de Laplace - Expresión de una función definida
por tramos en términos de la paso
unitario - Transformada de la función paso unitario
desplazada - Evaluación de integrales
impropias - Ejercicios Propuestos
Introducción
Una forma de evaluar integrales impropias es hacerlo por
comparación con una integral conocida cuyo valor se puede
calcular fácilmente. En este material se estudian dos
casos particulares de integrales impropias, a saber,
en ambos casos se evalúa la integral impropia por
medio de una de éstas y en algunos casos puede hacerse por
las dos.
El estudio de la transformada de Laplace es muy
importante, pues su uso convierte funciones habituales
trascendentes, como funciones, sinúsoidales amortiguadas y
exponenciales, en funciones algebraicas.
El método de la transformada de Laplace es una
vía para la solución de ecuaciones diferenciales
lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que
constituyen los modelos matemáticos más frecuentes
en la representación matemática de problemas de
circuitos
Definición
de transformada de Laplace
s, parámetro que puede ser un número real
o un número complejo. En este semestre lo usamos como
número real.
Así, f(t) se reemplaza por F(s). La ventaja de
esta operación radica en que bajo ciertas circunstancias
se pueden reemplazar funciones complicadas por otras más
simples.
Convenio: usar la misma letra
mayúscula y minúscula.
En la definición se expresa "siempre que la
integral converja" por lo que deben imponerse condiciones sobre f
que resulten suficientes para poder asegurar la convergencia de
la integral. Estas condiciones aunque no son necesarias,
serán suficientes para trabajar con funciones f(t) de la
variable t
Condiciones
suficientes para la existencia de la transformada de
Laplace
Cuando se estudió integración se tuvo en
cuenta que una razón por la cual puede diverger una
integral es porque la función tenga discontinuidades
infinitas en el intervalo de integración. Por este motivo
para asegurar la convergencia de la integral se
establece:
1. f(t) seccionalmente continua (continua a
trozos) para t0.
La mayoría de las funciones con las
que se trabaja en los problemas físicos satisfacen esta
condición
Definición:
Sea A la clase de las funciones que
satisfacen las siguientes condiciones:
1) f(t) = 0 para t < 0
2) f es seccionalmente continua para t
03) f es de orden exponencial p.
L puede considerarse como una operación que
transforma una clase de funciones en otra. El operador L es
lineal.
A las funciones f que satisfacen las tres condiciones
anteriores suelen llamárseles funciones objetos mientras
otros autores las denominan Laplace-transformables.
Puesto que la integral impropia que define la
transformada, si existe, puede converger a una función
solamente, es obvio que L [f(t)], si existe, es
única.
Teorema:
Es decir, todas las funciones que cumplen las
condiciones suficientes establecidas anteriormente poseen
transformada de Laplace. Además existen muchas funciones
que tienen transformada aunque no cumplen las condiciones 1, 2 y
3.
Transformada de
algunas funciones
1) La función paso unitario
desplazada
Propiedades
1. Linealidad.
Si f y g tienen transformada de Laplace L(f) y L(g) para
s> p respectivamente, entonces,
L (af + bg) = a L(f) + b L(g) para s > p y a y b
reales.
La demostración se basa en la linealidad de
integrales impropias convergentes.
2. Teorema del desplazamiento en s.
Observaciones:
Su utilidad radica en que se aplica con mucha frecuencia
a productos de exponenciales con sen at, cos at, polinomios,
etc.
Función
Gamma
En el estudio de las integrales impropias se presta
especial atención a cierta integral paramétrica,
por su relación con otras ramas del análisis
matemático, así como por su uso en la
resolución de diversos problemas físicos de gran
importancia.
Definición:
Tabla de
transformadas de Laplace
Usted debe comprobar cada una de estas fórmulas,
integrando.
Expresión
de una función definida por tramos en términos de
la paso unitario
Es decir, en cada subintervalo donde la función
es diferente de 0, basta multiplicar la función por la
diferencia entre las funciones paso unitario
correspondientes.
Generalización.
Sea la función definida
por:
Es decir cada función paso unitario queda
multiplicada por la diferencia de la función a la derecha
del punto de división menos la de la izquierda. Y f(t) es
la suma de esos productos.
Procedimiento práctico para expresar una
función definida por tramos en términos de la
función paso unitario:
1. Representar sobre un eje los puntos de
división del dominio de la función (en el
ejemplo son los puntos t1, t2,…,tn)). Proponer en cada
punto de división la función paso unitario
correspondiente y en cada subintervalo la expresión
analítica de f correspondiente
2. Proponer la expresión de f(t) como la
suma de los productos de las funciones paso unitario en cada
punto de división por la diferencia entre las
funciones definidas a la derecha y a la izquierda de dicho
punto.
a) Representar
gráficamente
b) Expresar en términos de la
función paso unitario.
Solución:
Solución:
En este caso se plantea que la
función es 2 para t < 1, se debe asumir que es 0 para t
< 0.
Transformada de
la función paso unitario desplazada
Idea de la demostración:
Se plantea la transformada usando la definición y
se realiza el cambio de variable x = t – c.
Ejemplos:
Evaluación
de integrales impropias
Las integrales impropias que sean
comparables con las correspondientes a la transformada de Laplace
o a la función gamma pueden ser evaluadas mediante las
mismas. Ese es el propósito de este caso: Evaluar
integrales impropias.
Ejemplo: Evaluar
Esta integral se puede comparar con ambas:
con la transformada de Laplace y con la función
gamma.
En este caso la función no es una potencia por lo
que no puede usarse la función gamma, pero comparando con
la transformada de Laplace se tiene que s = – 1 y f (t) = sen 2 t
luego:
b) Para usar gamma se hace necesario un
cambio de variable de modo que el exponente de la exponencial se
reduzca al opuesto de una variable:
Ejercicios
Propuestos
1. Obtener la transformada de Laplace de
las siguientes funciones:
2. Emplear la definición para
calcular la transformada de Laplace de:
3. Expresar en términos de la paso
unitario las funciones del ejercicio 2
4. Evaluar las integrales impropias
siguientes sin calcular:
5. Analizar la convergencia de:
Autor:
Gustavo Vicente Rojas
García
Angela Miyar
Chávez
María Milena Rodríguez
Fernández
(Cuba)