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69 ejercicios resueltos de programación lineal




Partes: 1, 2



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-2- Í N D I C E (Pàgina 21) ¿ Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el estudio como en el juego.? EJERCICIO 1 : La tienda de comestible BK vende dos (Pàgina 36) tipos de bebidas: La marca sabor a cola A1 y la marca propia de la tienda, Bk de cola, más económica. El margen de utilidad en la bebida A1 es de 5 centavos de dólar por lata, mientras que la bebida de cola Bk suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aún cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de la marca Bk, porque es considerablemente más económica. Se calcula que las ventas de la marca Bk superan a las de la marca A1 en una razón 2:1 por lo menos. Sin embargo, BK vende, como mínimo, 100 latas de A1 al día. ¿ Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad ? EJERCICIO 4 : El banco de Elkin está asignando un máximo de $ 200.000,oo para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% por préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. Ambos tipo de préstamos se liquidan al final de un período de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y el 2% de los préstamos para automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos para automóviles. Determine la asignación óptima de fondo para los dos tipos de préstamos. EJERCICIO 2 : (Pàgina 29) BFC emplea a cuatro carpinteros (Pàgina 38) EJERCICIO 5 : Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000,oo libras de tomates maduros a 7 centavos de durante 10 días para ensamblar mesas y sillas. Se requieren 2 horas para ensamblar una mesa y 30 minutos para ensamblar una silla. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de $ 135 por mesa y $ 50 por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día. Determine gráficamente la mezcla de producción óptima de los 10 días. (Pàgina 33) dólar por libra, con los cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomate y una lata de pasta solo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de la compañía se limita a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares respectivamente. Desarrolle un programa de producción óptima para Popeye Canning. EJERCICIO 3 : Jack es un estudiante emprendedor de primer año de universidad. Jack quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el estudio y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el estudio. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL (Pàgina 40) EJERCICIO 6 : Una empresa produce dos tipos de sombrero. El sombrero tipo 1 requiere el doble de tiempo de trabajo que el del tipo 2. Si todos los sombreros producidos únicamente son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 400 sombreros al día. Los límites diarios del mercado son de Ing. José Luis Albornoz Salazar

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-3- 150 del tipo 1 y 200 del tipo 2. La utilidad del sombrero tipo 1 es de $ 8,oo y la del sombrero tipo 2 es de $ 5,oo. Determinar el número de sombreros de cada tipo que debe producir la empresa para obtener la máxima utilidad. (Pàgina 45) EJERCICIO 9 : BGC fabrica camisas para caballeros y blusas para damas al almacén WD. El proceso de producción incluye corte, costura y empacado. BGC emplea a 25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en el departamento de costura y a 5 en el departamento de EJERCICIO 7 : (Pàgina 41) Una Compañía que opera 10 horas al empacado. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y la utilidad por unidad para las dos prendas. día fabrica cada uno de dos productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema: ------------------------------------------------------------------------------------- Producto Producto 1 Minutos por unidad Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 10 6 8 Utilidad $ 2,00 Minutos por unidad x trabajador -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prenda Corte Costura Empacado Utilidad Camisas 20 70 12 $ 2,50 Producto 2 5 20 10 $ 3,00 Blusas 60 60 4 $ 3,20 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Determine la mezcla óptima de los dos productos: Determine el programa de producción semanal óptimo para BGC: (Pàgina 42) EJERCICIO 8 : Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energía con turbinas de vapor, debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón. Sin EJERCICIO 10 : (Pàgina 46) Una línea de ensamble que consta de embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Agencia de Protección Ambiental limitan la descarga de dióxido de azufre a 2000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la planta a 20 libras por hora. La cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón: Determine la producción óptima para mezclar los dos grados de carbón: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL tres estaciones consecutivas produce dos modelos de radio HF1 y HF2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamblaje para las tres estaciones de trabajo. Minutos por unidad Estación de trabajo HF1 HF2 1 6 4 2 5 5 3 4 6 El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%, 14% y 12%, respectivamente, del máximo de 480 minutos disponibles para cada estación, cada día. La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos que minimizará los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo. Ing. José Luis Albornoz Salazar

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-4- (Pàgina 48) EJERCICIO 11 : John debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas. En la tienda 1 John puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas semanales. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. De manera que John quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor de STRES en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, John calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2 respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, él supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿ Cuántas horas debe trabajar en cada Tienda.? (Pàgina 49) EJERCICIO 12 : Al realizar una inspección en una fábrica de calzados, obtuvimos la siguiente información: 1) Se fabrican zapatos para damas, caballeros y niños y son vendidos al siguiente PVP por par: - Zapatos para caballero a Bs 60.000,oo - Zapatos para dama a Bs 120.000,oo - Zapatos para niño a Bs 30.000,oo 2) El costo de fabricación de cada par de calzado es: - Zapatos para caballero Bs 30.000,oo - Zapatos para dama Bs 80.000,oo - Zapatos para niño Bs 15.000,oo 3) Para fabricar un par de zapatos para caballero se utilizan: 0,20 metros de cuero tratado; 0,10 metros de suela, un par de tacones para caballero y 5 horas-hombre de trabajo. 4) Para fabricar un par de zapatos para dama se utilizan: 0,15 - 250 pares de tacones para caballero. - 260 pares de tacones para dama. - 65 suelas para zapatos de niño. - 300 pares de trenza. - 400 cajas para calzados. - 800 bolsas para calzados. 6) La empresa vende menos zapatos de niño que de caballero. 7) Se venden menos zapatos de niño que de dama. 8) La empresa vende semanalmente más de 100 pares de zapatos. 9) Las ventas de zapatos para caballero no superan el 75% de los de dama. 10) La empresa dispone de 2.400 horas-hombre a la semana. 11) El Gerente de la compañía quiere saber cuantos zapatos para dama y caballero debe fabricar semanalmente para tres escenarios distintos, a saber: a) Maximizar la utilidad. b) Maximizar los ingresos por PVP. c) (Pàgina 53) EJERCICIO 13 : La empresa W.W tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total. metros de cuero tratado; 0,10 metros de suela, un par de tacones para dama y 8 horas-hombre de trabajo. 5) En el depósito se inventarió el siguiente material: EJERCICIO 14 : (Pàgina 55) La Apex Televisión Company debe - 120,oo metros de cuero tratado. - 70,oo metros de suela. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL decidir el número de televisores de 27 y 20 pulgadas producidos en una de sus fábricas. La investigación de Ing. José Luis Albornoz Salazar

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9 5 3 3 4 0 5 0 2 El fibra 0,02 0,06 -5- mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 pulgadas y 10 de 20 pulgadas cada mes. El número máximo de horas-hombres disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 Tiempo disponible Tipo de Máquina (en horas por semana) Fresadora 500 Torno 350 pulgadas requiere 20 horas hombres y uno de 20 requiere 10. Cada televisor de 27 pulgadas produce una ganancia de $120 y Rectificadora 150 cada uno de 20 produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el número no excede al máximo indicado por el estudio de mercado El número de horas-maquinas requeridas para cada unidad de los productos respectivos es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad) EJERCICIO 15 : (Pàgina 56) La compañía WL produce dos Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora Producto 1 Producto 2 Producto 3 dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos . Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 1,oo y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $ 2,oo. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración. Formule el modelo de PL, resuélvalo por el método departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria respectiva sería de $50, $20 y $25, para los productos 1,2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. (Pàgina 59) EJERCICIO 17 : Un agricultor posee 20 cerdos que consumen 90 kilogramos de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: gráfico y determine la ganancia total que resulta. (Pàgina 58) Kgs por Kg de alimento Alimento calcio proteína Maíz 0,01 0,09 Harina de soya 0,02 0,60 costo 200 300 EJERCICIO 16 : La Compañía manufacturera Omega Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son: descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados producto 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL 1.- Cuando menos 1 % de calcio. 2.- Por lo menos 30 % de proteínas. 3.- Máximo 5 % de fibra. Determine la mezcla con el mínimo de costo diario. Ing. José Luis Albornoz Salazar

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-6- (Pàgina 60) EJERCICIO 18 : Hoy es su día de suerte. Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará $4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5.000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso en cualquiera de los siguientes turnos: matutino (8am-4pm), vespertino (12am-8pm) y nocturno (4pm-12pm). Estos asesores ganan $14 por hora. Los asesores de tiempo parcial pueden trabajar en los cuatro turnos enumerados en la tabla anterior y ganan $12 por hora. Un requisito adicional es que durante todos los períodos debe haber al menos dos asesores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial. Larry desea determinar cuántos asesores de tiempo completo y cuántos de tiempo parcial debe haber en cada turno para cumplir con los requisitos a un costo mínimo. son $4.000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4.500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirán participar con cualquier fracción de participación que quiera. EJERCICIO 20 : (Pàgina 63) La Medequip Company produce Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación. equipos de precisión de diagnóstico médico en dos de sus fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La siguiente tabla muestra el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro. Además, muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por cada cliente: Costo unitario de envío Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Producción Fábrica 1 Fábrica 2 $600 $400 $800 $900 $700 $600 400 unid. 500 unid. (Pàgina 62) Orden 300 unid. 200 unid. 400 unid. EJERCICIO 19 : Larry Edison es el director del centro de cómputo de BC. Él debe programar las horas de trabajo del personal del centro. Abre de las 8 am a la media noche. Larry Ahora debe tomar la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente. estudió el uso del centro en las diferentes horas del día y determinó los siguientes números de asesores en computación necesarios: EJERCICIO 21 : (Pàgina 65) La WC tiene tres plantas con exceso ------------------------------------------------------------------------------------- HORARIO Mínimo de Asesores requeridos 8 am – 12 am 4 12 am – 4 pm 8 4 pm - 8 pm 10 8 pm – 12 pm 6 Puede contratar dos tipos de asesores: de tiempo completo y de tiempo parcial. Los primeros trabajan 8 horas consecutivas Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL en su capacidad de producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico; y darán una ganancia de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y Ing. José Luis Albornoz Salazar

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tabla: -7- 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también limitaciones en las tasas de Carga 1 2 3 4 Peso (ton) 20 16 25 13 Volumen (m3/ton) 500 700 600 400 Ganancia ($/ton) 320 400 360 290 producción del nuevo producto. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13.000, 12.000 y 5.000 pies cuadrados de espacio respectivo, para material en proceso de producción diaria. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de venta indican que, si están disponibles, se pueden vender 900, 1.200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande, mediano y chico. Se Puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar que cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. (Pàgina 69) Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a EJERCICIO 23 : Confortable Hands es una compañía menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo producto. Para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto. El gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño producir en cada planta para maximizar la ganancia. que produce una línea de guantes de invierno para toda la familia: caballeros, damas y niños. Desea decidir qué mezcla de estos tres tipos de guantes fabricar. La fuerza de trabajo es sindicalizada. Cada empleado de tiempo completo trabaja 40 horas a la semana. Por contrato, el número de empleados de tiempo completo no puede ser menos que 20. Se puede contratar trabajadores no sindicalizados con EJERCICIO 22 : (Pàgina 67) Un avión de carga tiene tres las siguientes restricciones; 1) cada uno trabaja 20 horas por semana y 2) debe haber al menos 2 de tiempo completo por cada uno de medio tiempo. compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en la siguiente Los tres tipos de guantes están hechos con el mismo porcentaje de piel de vaca. La compañía tiene un contrato a largo plazo con el proveedor de piel y recibe 5.000 ft2 de material por semana. Los requerimientos de material y mano de obra, y la ganancia bruta por guante vendido (sin considerar Compartimiento Delantero Central Trasero Capacidad de Peso (ton.) 12 18 10 Capacidad de espacio (m3) 7.000 9.000 5.000 costo de mano de obra) son: Material GUANTE req. (ft2) Caballero 2 Damas 1.5 Niños 1 Mano de obra req. (min) 30 45 40 Ganancia bruta(x par) $ 8 $ 10 $ 6 Más aún, para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Cada empleado de tiempo completo gana $ 13 por hora y cada uno de medio tiempo, $ 10 por hora. La gerencia desea saber qué mezcla de los tres tipo de guantes producir por semana, lo mismo que cuántos empleados de cada tipo Ing. José Luis Albornoz Salazar

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contratar. Desea maximizar su ganancia neta, o sea, la ganancia bruta menos costo de mano de obra. (Pàgina 70) EJERCICIO 24 : Oxbridge University tiene una computadora grande para uso de académicos, estudiantes de doctorado y ayudantes de investigación. Durante las horas hábiles debe haber un trabajador para operar y dar mantenimiento a la computadora y realizar algunos servicios de programación. Beryl Ingram, directora del centro de cómputo coordina la operación. Al principio del semestre de otoño, Beryl se enfrenta al lunes a viernes con un operador de guardia en este horario. Sábados y domingo, otras personas lo operan. Debido al presupuesto reducido, Beryl tiene que minimizar el costo. Ella quiere determinar el número de horas que debe asignar a cada operador cada día. (Pàgina 73) EJERCICIO 25 : Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo producto. Los planes de promoción para el próximo mes están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimada por unidad de publicidad se muestran a continuación problema de asignar horas de trabajo distinta a sus operadores. Debido a que éstos son estudiantes de la universidad, están TELEVISION RADIO PRENSA disponibles para el trabajo sólo un número limitado de horas al día, como se muestra en la tabla. Máximo de horas disponibles Audiencia por unidad de publicidad Costo por unidad de publicidad 100.000 Bs. 2.000,00 18.000 Bs. 300,00 40.000 Bs. 600,00 Operador A B C D E F Salario/hora $ 10,00 $ 10,10 $ 9,90 $ 9,80 $ 10,80 $ 11,30 Lun Mar Mie Jue Vie 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 4 8 4 0 4 5 5 5 0 5 3 0 3 8 0 0 0 0 6 2 Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00. Se necesita determinar el plan óptimo para maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad. Hay seis operadores (cuatro de licenciatura y dos de postgrado). Todos tienen salarios diferentes según su experiencia con computadoras y su aptitud para programar. La tabla muestra estos salarios junto con el número máximo de horas al día que cada uno puede trabajar. Se garantiza a cada operador un número mínimo de horas de trabajo a la semana que lo mantendrán con un conocimiento adecuado de la operación. Este nivel se estableció de modo arbitrario en 8 horas por semana para licenciatura (A,B,C y D) y 7 horas por semana para postgrado (E y F). El centro de cómputo debe abrir de 8 am a 10 pm de Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL (Pàgina 79) EJERCICIO 26 : Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. Ing. José Luis Albornoz Salazar - 8 -

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-9- (Pàgina 80) (Pàgina 82) EJERCICIO 27 : Una persona para recuperarse de una EJERCICIO 30 : Disponemos de 210.000 euros para cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es: ? dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B ? dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál es la distribución óptima para el menor costo? invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? (Pàgina 83) EJERCICIO 31 : En una pastelería se hacen dos tipos de EJERCICIO 28 : (Pàgina 81) Se pretende cultivar en un terreno dos tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno y un Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una torta Real necesita medio Kg. de relleno tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 has. con olivos de tipo A, ni más de 10 has. con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite. b) Obtener la producción máxima. y un Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? (Pàgina 84) EJERCICIO 32 : Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. EJERCICIO 29 : (Pàgina 81) Una empresa fabrica dos modelos de La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este? Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. (Pàgina 85) EJERCICIO 33 : Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o Ing. José Luis Albornoz Salazar

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- 10 - igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cuál es este? (Pàgina 85) EJERCICIO 34 : La compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Determine él consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa. (Pàgina 86) EJERCICIO 35 : Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón requiere 1 m de algodón y 2 m de poliéster, cada chaqueta requiere 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? (Pàgina 87) EJERCICIO 36 : Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3.000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4.000 m3 de otro que no la necesita. El Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL costo por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? (Pàgina 88) EJERCICIO 37 : En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? (Pàgina 89) EJERCICIO 38 : Una escuela prepara una excursión para 320 alumnos. La empresa de transporte tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autobús grande cuesta 900 € y el de uno pequeño 400 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. (Pàgina 89) EJERCICIO 39 : Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo. Ing. José Luis Albornoz Salazar

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- 11 - (Pàgina 90) EJERCICIO 40 : Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de 10 euros y está formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1.500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste. (Pàgina 91) EJERCICIO 41 : Se desea obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de distintas procedencias, cada uno de los cuales tienen distintas características. En la tabla adjunta se detallan los distintos crudos (4 en total) y sus características más importantes : el tanto por ciento de azufre, la densidad y el precio por TM en pesetas. Se exige que la mezcla tenga unas características concretas que se traducen en un porcentaje del 40% de contenido de azufre y una densidad igual al 91%. Se desea que el precio de la mezcla sea mínimo. (Pàgina 91) EJERCICIO 42 : Una perfumería produce el perfume “OXES”. Este perfume requiere de Esencia y Fijador para su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso “A” transforma 1 onza de fijador y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfume. El proceso “B” transforma 2 onzas de fijador y 3 onzas de esencia en 5 onzas de perfume. Cada onza de fijador Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL le cuesta a la perfumería Bs. 10.000,00 y cada onza de esencia Bs. 15.000,00. Se tiene una disponibilidad máxima de 200 onzas de fijador y un máximo de 350 onzas de esencia para este período de planificación. Para estimular la demanda la perfumería ha contratado una publicidad por un costo total de Bs. 4.000.000,00. El perfume se vende en embases de una onza a Bs. 40.000,00 c/u. Determine la producción óptima que permita obtener la máxima utilidad tomando en cuenta que se debe producir únicamente lo que se va a embasar. (Pàgina 93) EJERCICIO 43 : Un artesano fabrica y vende cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos : el pequeño, el mediano y el grande. El primero requiere triplay, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita triplay, 300 metros de estambre y 100 clavos; el tercero utiliza triplay, 400 metros de estambre y 125 clavos. De una hoja de triplay se pueden obtener 12 cuadros pequeños u 8 medianos ó 5 grandes. Cada mes se cuenta con 15 hojas de triplay, 68 rollos de estambre de 500 metros cada uno y 12.500 clavos. El cuadro pequeño requiere de 3 horas, el mediano de 5 horas y el grande de 6 horas para su elaboración. Mensualmente se dispone de 530 horas para la fabricación de los cuadros. La experiencia que se tiene de las ventas muestra que mínimo se venden 25 cuadros grandes por cada 60 cuadros pequeños. El margen de utilidad para los cuadros pequeños, medianos y grandes son $22, $35 y $45 respectivamente, ¿Cuántos cuadros de cada tipo deben hacerse para que la utilidad sea máxima? (Pàgina 94) EJERCICIO 44 : Debido a las fuertes lluvias de los últimos días en el sur, la empresa “Stop-lluvia” dedicada al rubro de los paraguas, ha visto un aumento en la demanda de sus productos. Los paraguas se arman en dos plantas, según la siguiente tabla: Ing. José Luis Albornoz Salazar

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- 12 - Cuatro cadenas de multitiendas están interesadas en adquirir los paraguas, con las siguientes características : El costo de traslado a cada tienda (fijo) se muestra en la siguiente tabla : Determinar la mejor decisión de entrega, para la empresa productora de paraguas. (Pàgina 97) EJERCICIO 45 : Fagersta Steelworks explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a la planta de acero de la compañía. El siguiente diagrama describe la red de distribución, donde M1 y M2 son las dos minas, S1 y S2, los dos almacenes y P es la planta de acero. También muestra las cantidades producidas en las minas. al igual que el costo de envío y la cantidad máxima que se puede enviar al mes por cada vía. La Planta (P) requiere 100 toneladas de mineral de hiero. La administración desea determinar el plan más económico de envío del mineral de las minas a la planta. Formule y resuelva con un modelo de programación lineal. (Pàgina 99) EJERCICIO 46 : Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios (Bs) : A 700; B 3.500; C 7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, más 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser vendida. Para este período de planificación están disponibles 40 horas de trabajo. Formule y Construya el modelo Lineal que maximice los ingresos de la empresa. (Pàgina 100) EJERCICIO 47 : Una refinería produce dos tipos de gasolina: Regular y Extra, las cuales vende en $12 y $14 por barril respectivamente. Ambos tipos de gasolina se preparan con una mezcla de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado y deben cumplir con las siguientes especificaciones : Presión Octanaje Demanda Entregas Máxima de Mínimo Máxima Mínimas Vapor (barri/sem) (barri/sem) Gasolina 23 88 100.000 50.000 Regular Gasolina Extra 23 93 20.000 5.000 Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing. José Luis Albornoz Salazar

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aguas. - 13 - Presión de Vapor Octanaje Inventario (barri/sem) Costo por barril ($) Los dueños de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada parcela se sembrará el mismo Nacional Importado 25 15 87 98 40.000 60.000 8,00 15,00 porcentaje de su tierra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinación en cualquiera de las parcelas. La tarea que encara la OTCC es plantear cuántas ¿Qué cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar la refinería en ambas gasolinas a fín de maximizar la ganancia semanal? hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintas especies en cada parcela, de modo de maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas a cargo de la OTCC. EJERCICIO 48 : (Pàgina 102) La Oficina Técnica Coordinadora de EJERCICIO 49 : (Pàgina 104) Una fábrica de zapatos predice las Cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administración de tres (3) parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por la comisión de Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes: siguientes demandas por sus pares de zapatos para los próximos 6 meses : mes 1 = 200; mes 2 = 260; mes 3 = 240; mes 4 = 340; mes 5 = 190; mes 6 = 150. El costo de fabricar un par de zapatos es de US$ 7,00 con horas normales de trabajo y de US$ 11,00 con horas de sobretiempo. Durante cada mes, la producción en horario normal está limitada a 200 pares de zapatos y la producción con sobretiempo está limitada a 100 pares. Guardar un par de Zapatos en inventario cuesta US$ 1,00 por mes. Formule un modelo matemático que permita obtener una solución óptima. (Pàgina 107) EJERCICIO 50 : Formula y plantea mediante programación lineal el siguiente caso de una oficina de correos Las espacies disponibles para el cultivo son: arroz , trigo y maíz, pero el Ministerio de Agricultura y Tierras ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las tres (3) parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla : que desea minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar sabiendo que necesita un número diferente de empleados a tiempo completo, para cada día de la semana. Especie Arroz Trigo Maíz Consumo de agua (m3/ha) 3 2 1 Cuota máxima (ha) 600 500 325 Ganancia neta ($/ha) 400 300 200 Día Día 1 = Lunes Día 2 = Martes Día 3 = Miércoles Empleados Requeridos 17 13 15 Día 4 = Jueves 18 Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing. José Luis Albornoz Salazar

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14 8 4 - 14 - Día 5 = Viernes Mermelada de Fresa Mermelada de Manzana Día 6 = Sábado Día 7 = Domingo 16 11 Caldera A Caldera B 0,6 0,9 0,9 0,9 Los reglamentos sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo tiene que trabajar durante cinco días Envasadora A Envasadora B 0,01 0,04 0,02 0,03 consecutivos, y después descansar dos días. Por ejemplo, un empleado que trabaja de lunes a viernes, tiene que descansar el sábado y el domingo. El número total de horas disponibles así como el coste de su uso por hora son: La oficina de correos quiere cumplir con sus Horas disponibles Coste por hora (€) requerimientos diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo. Caldera A Caldera B 1.000 5.000 Envasadora A 100 90 (Pàgina 110) Envasadora B 50 40 EJERCICIO 51 : El Sheraton opera los 7 días de la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar 6 horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El Sheraton requiere como mínimo las siguientes horas de servicio: lunes 150, martes 200, miércoles 400, jueves 300, viernes 700, sábado 800 y domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. (Pàgina 113) EJERCICIO 52 : Una firma comercial fabrica dos tipos de mermelada. Para la mermelada de fresa utiliza la fruta y el azúcar en proporciones 2 a 3, y para la mermelada de manzana la proporción es de 1 a 1. Se dispone de 1000 kg de fresas, de 1500 kg de manzanas y de 3000 kg de azúcar. La mermelada se elabora en una caldera y posteriormente es envasada, disponiendo para ello de dos calderas y de dos envasadoras. Las horas necesarias para fabricar 1 kg de mermelada son: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Si el precio de venta es de 15€ por kg de mermelada de fresa y de 12€ por kg de mermelada de manzana, ¿qué cantidades de los dos tipos de mermelada se han de producir para que se maximice el beneficio de la firma?
Partes: 1, 2

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