Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la
solución de todo el problema, hay un cierto
descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto;
pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego
las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se
puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del
triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente,
pueden determinar una afición para el trabajo intelectual
e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el
carácter. Por ello, un profesor de matemáticas
tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los
alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el
interés, impedirá su desarrollo intelectual y
acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el
contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos
planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y
los ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes,
podrá despertarles el gusto por el pensamiento
independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello. Un
estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de
matemáticas tiene también una particular
oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro está, si
ve las matemáticas como una materia de la que tiene que
presentar un examen final y de la cual no volverá a
ocuparse una vez pasado éste. Puede descubrir, sin
embargo, que un problema de matemáticas puede ser tanto o
más divertido que un crucigrama. Habiendo degustado el
placer de las matemáticas, ya no las olvidará
fácilmente, presentándose entonces una buena
oportunidad para que las matemáticas adquieran un sentido
para él, ya sean como un pasatiempo o como herramienta de
su profesión, o su profesión misma o la
ambición de su vida. G. POLYA
-1- INTRODUCCIÓN 1) Escribir la suma de A y B. A+B
ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la
cantidad considerada del modo más general posible. El
concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más
amplio que en Aritmética. En Aritmética las
cantidades se representan por números y éstos
expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo
valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que
éste habrá que escribir un número distinto
de 20. En Álgebra, para lograr la generalización,
las cantidades se representan por medio de letras, las cuales
pueden representar todos los valores. Así, “a”
representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto
puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra
elección, aunque conviene advertir que cuando en un
problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no
puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del
que le hemos asignado. Los símbolos usados en
Álgebra para representar las cantidades son los
números y las letras. Los números se emplean para
representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se
emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean
conocidas o desconocidas. Una misma letra puede representar
distintos valores diferenciándolos por medio de comillas (
a’, a´´,a’’’) o
también por medio de subíndices ( X1, X2, X3 ). Con
las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden
hacer las mismas operaciones que con los números
aritméticos. Ejemplos: 2) Compro X libros por Bs m.
¿Cuánto me costó cada libro?. Bs (m / X ) 3)
Tenía Bs 9 y gasté Bs X. ¿Cuánto me
queda? Bs ( 9 – X ) 4) Escriba la diferencia entre m y n. m
– n 5) Debía X bolívares y pagué 6.
¿Cuánto debo? Bs ( X – 6 ) 6) De una jornada
de X kilómetros se han recorrido m kilómetros.
¿Cuánto falta por recorrer? ( X – m ) km. 7)
Siendo X un número entero, escriba los dos números
enteros consecutivos posteriores. X + 1, X+2 8) Siendo X un
número entero, escriba los dos números enteros
consecutivos anteriores. X – 1, X – 2 9) Siendo Y un
número entero par, escriba los tres números pares
consecutivos posteriores. Y + 2, Y + 4, Y + 6 10) Jaimito
tenía Bs A, cobró Bs X y le regalaron Bs m.
¿Cuánto tiene Jaimito? Bs ( A + X + m ) 11) Arturo
tenía Bs X, ganó Bs 9 y pagó Bs Y
¿Cuánto tiene Artturo? Bs ( X + 9 – Y ) 12)
Al vender un carro en Bs X gané Bs 300.000
¿Cuánto me costó el carro? Bs ( X –
300.000) 13) Si han transcurrido X días de un año.
¿Cuántos días faltan por transcurrir? ( 365
– X ) días. 14) Si un pantalón cuesta $ b
¿Cuánto costarán 8 pantalones; 15
pantalones; X pantalones.? $ 8b; $ 15b; $ Xb ING. JOSE L.
ALBORNOZ S, ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -2-
X 6 X X 7 5 X 2 6 12 7 2 Para que el alumno tenga una
visión mas profunda del Álgebra me permito
recomendar la lectura y análisis del capítulo
“PRELIMINARES” ( página 5 hasta página
39 ) del reconocido libro “ÁLGEBRA DE AURELIO
BALDOR”, de donde han sido extraídos los enunciados
de los problemas que se resuelven en esta guía para
estudiantes. EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES Para determinar
cuál es el capital inicial del comerciante no queda
más que resolver la última ecuación. (
Capital inicial X = £ 1.120 ,oo) LA VIDA DE DIOFANTO La
vida ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto,
notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se
conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que
figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de
ejercicio matemático. Reproducimos El idioma del
álgebra es la ecuación. “Para resolver un
problema referente a números o relaciones abstractas de
cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés
u otra lengua al idioma algebraico”, escribió el
gran Newton en su manual de álgebra titulado:
Aritmética Universal.. Isaac Newton mostró con
ejemplos cómo debía efectuarse la
traducción. He aquí uno de ellos: esta
inscripción: En la lengua vernácula:
¡CAMINANTE! AQUÍ FUERON SEPULTADOS LOS RESTOS DE
DIOFANTO. Y LOS NÚMEROS PUEDEN MOSTRAR, ¡OH,
MILAGRO!, CUÁN LARGA FUE SU VIDA. En el idioma del
álgebra: X En la lengua Vernácula En el idioma del
álgebra CUYA SEXTA PARTE CONSTITUYÓ SU HERMOSA
INFANCIA. Un comerciante tenía una determinada suma de
dinero HABÍA TRANSCURRIDO ADEMÁS UNA
DUODÉCIMA PARTE DE SU VIDA, CUANDO DE VELLO
CUBRIÓSE SU X 12 El primer año se gastó 100
libras Aumentó el resto con un tercio de éste Al
año siguiente volvió a gastar 100 libras Y
aumentó la suma restante en un tercio de ella Llegando
así su capital a tres medios del inicial X – 100
(X-100) + X-100 = 4X – 400 3 3 4X – 400 – 100 = 4X –
700 3 3 3 16X – 2.800 = 3X 9 2 4X – 700 + 4X – 700 =
16X – 2.800 3 3 9 BARBILLA Y LA SÉPTIMA PARTE DE SU
EXISTENCIA TRANSCURRIÓ EN UN MATRIMONIO ESTÉRIL.
PASÓ UN QUINQUENIO MÁS Y LE HIZO DICHOSO EL
NACIMIENTO DE SU PRECIOSO PRIMOGÉNITO. QUE ENTREGÓ
SU CUERPO, SU HERMOSA EXISTENCIA, A LA TIERRA, QUE DURÓ
TAN SOLO LA MITAD DE LA DE SU PADRE Y EN PROFUNDA PENA
DESCENDIÓ A LA SEPULTURA, X=X+ X +X+5+X+4 HABIENDO
SOBREVIVIDO CUATRO AÑOS AL DECESO DE SU HIJO. Dime
cuántos años había vivido Diofanto cuando le
llegó la muerte. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -3- ING. JOSE L.
ALBORNOZ S, -4-
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la
incógnita, X = 84, conocemos los siguientes datos
biográficos de Diofanto: se casó a los 21
años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80
y murió a los 84. Para resolver cualquier problema con las
herramientas del Álgebra se recomienda seguir los
siguientes pasos: 1.- Identificar el problema ( Tener una idea
precisa de lo que debemos o queremos resolver ). 2.- Identificar
las incógnitas ( Asignar letras a las cantidades
desconocidas ). 3.- Expresar el problema en lenguaje algebraico (
Construir ecuaciones utilizando números para las
cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas.
Las letras serán las indicadas en el paso anterior ). 4.-
Resolver el problema ( Resolver la ecuación o sistema de
ecuaciones ). 5.- Comprobar los resultados ( introducir los
resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que
se cumplen). Partiendo de la premisa que el interés
primordial de este trabajo es el de ayudar
metodológicamente a los estudiantes, se hará
énfasis especial en el segundo y tercer paso (Identificar
las incógnitas y Expresar el problema en lenguaje
algebraico) y se indicarán los resultados, dejando la
posibilidad de que el usuario “practique” la
secuencia de resolución en algunos ejercicios. De la misma
forma, algunas veces, se dejarán en blanco los pasos 1 y 5
para que el estudiante se ejercite. Lo que se quiere transmitir
es que la “esencia” para resolver un problema en
Álgebra está representada en identificar las
incógnitas y saber expresarlo en lenguaje algebraico. La
herramienta para resolverlo puede ser manual o en computadora (el
resultado será el Se recomienda a los estudiantes que en
todos los ejercicios que se propongan resolver, sigan los cinco
(5) pasos indicados y de esa manera notarán lo útil
que resultan. Es bueno recordar que existen tres métodos
para resolver un sistema de ecuaciones, a saber, el método
de igualación, el método de sustitución
(utilizado en el ejercicio # 1 de este trabajo) y el
método de reducción (utilizado en el ejercicio #
2). Para aclarar cualquier duda sobre sistemas de ecuaciones
consulte las páginas 321, 322, 323, 340 y 341 del
“Álgebra de Baldor”. Con la hoja de
cálculo EXCEL podemos resolver cualquier sistema de
ecuaciones utilizando una de sus herramientas llamada SOLVER.
mismo) ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -5- ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
-6-
(1) (1) (2) (2) ; ; ; ; ; y ; ; EJERCICIO # 1 La suma de dos
números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los
números. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos
números conociendo el producto de su suma y la diferencia
de valor entre ambos. EJERCICIO # 2 La suma de dos números
es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números.
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos números conociendo
el producto de su suma y su diferencia. IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: X = Número menor. Y = Número
mayor. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número
mayor. Y = Número menor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE
ALGEBRAICO: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La suma
de dos números es 106: X + Y = 106 La suma de dos
números es 540: X + Y = 540 El número mayor excede
al menor en 8: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituyendo la
ecuación (2) en la ecuación (1) X + (X+8) = 106
Y=X+8 X + X + 8 = 106 La diferencia de estos mismos
números es 32: X – Y = 32 RESOLVER EL PROBLEMA:
Sumando estas dos ecuaciones: X + Y = 540 X – Y = 32 2X =
106 – 8 2X = 98 X = 98 / 2 X = 49 2X = 572 X = 572 / 2 X =
286 Si X = 49 y Y=X+8 Y = 49 + 8 Y = 57 Si X = 286 X + Y = 540
286 + Y = 540 Y = 540 – 286 Y = 254 Los dos números
buscados son 57 y 49 COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de dos
números es 106, (49+57=106). El número mayor excede
al menor en 8, (57=49+8). ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -7- Los
números buscados son 286 y 254 COMPROBAR LOS RESULTADOS:
La suma de dos números es 540, (286+254 = 540) y su
diferencia es 32, (286-254 = 32) ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
-8-
(1) (2) ; ; y : ; ; EJERCICIO # 3 Entre A y B tienen $ 1.154 y B
tiene 506 A + B = 1.154 – A + B = – 506 2B = 648 menos que A.
¿Cuántos $ tiene cada uno?. B = 648 / 2 ; A + 324 =
1.154 B = 324 y como ; A = 1.154 – 324 A + B = 1.154 ; A =
830 IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar la cantidad de $ que
tienen dos personas conociendo la cantidad total y la diferencia
de las dos cantidades individuales. IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de
$ que tiene B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
COMPROBAR LOS RESULTADOS: Entre A y B tienen $ 1.154, (830 + 324
= 1.154) y B tiene 506 menos que A. (324 = 830 – 506). A
tiene $830 y B tiene $324 EJERCICIO # 4 Dividir el número
106 en dos partes, tales que la mayor exceda a la menor Entre A y
B tienen $ 1.154: B tiene $ 506 menos que A: RESOLVER EL
PROBLEMA: A + B = 1.154 B = A – 506 en 24. IDENTIFICAR EL
PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Parte mayor.
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) Y =
Parte menor. A + (A – 506) = 1.154 2A = 1.154 + 506 EXPRESAR EL
PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A = 1.660 / 2 A = 830 Dividir el
número 106 en dos partes: X + Y = 106 (1) Si A = 830 B = A
– 506 B = 830 – 506 B = 324 Tal que la mayor exceda a
la menor en 24: RESOLVER EL PROBLEMA: X = Y + 24 (2)
También se puede resolver con un enfoque similar al
ejercicio anterior, para lo cual podemos colocar en el lado
izquierdo de la igualdad de la segunda ecuación a la
variable “A” y después sumar las dos
ecuaciones. Note que al expresar el problema en lenguaje
algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la de los
ejercicios 1 y 2. Utilice cualquiera de los dos métodos
indicados en dichos ejercicios. Como B = A – 506 – A + B =
– 506 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -9- X = 65 Y = 41 ING. JOSE L.
ALBORNOZ S, -10-
(1) (2) (1) (2) -12- Los dos números que cumplen con las
condiciones del problema son 65 y 41 COMPROBAR LOS RESULTADOS:
Tome las dos ecuaciones de este problema y sustituya los valores
X=65 , Y=41 . Verifique que las igualdades se cumplen. EJERCICIO
# 5 A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56
años. ¿Qué edad tiene cada uno?. EJERCICIO #
6 Repartir $ 1.080 entre A y B de modo que A reciba 1.014
más que B. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que le “tocan” a
A. B = Cantidad de $ que le “tocan” a B. EXPRESAR EL
PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA:
Repartir $ 1.080 entre A y B: A + B = 1.080 IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: A = Edad de A. B = Edad de B. De modo que A
reciba 1.014 más que B: RESOLVER EL PROBL EMA: A = B +
1.014 EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A tiene 14
años menos que B: A = B – 14 Ambas edades suman 56
años: A + B = 56 RESOLVER EL PROBLEMA: Note que al
expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones
son muy parecidas a la de los ejercicios 1, 2 y 3. Utilice
cualquiera de los dos métodos indicados en dichos
ejercicios. A = 21 ; B = 35 A tiene 21 años y B tiene 35.
Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos
ecuaciones son muy parecidas a la del ejercicio 3. Utilice
cualquiera de los dos métodos indicados en dicho
ejercicio. A = 1.047 ; B = 33 “A” recibirá $
1.047 y “B” recibirá $33 COMPROBAR LOS
RESULTADOS: Lea el enunciado del ejercicio y verifique si con
estos valores se cumple lo indicado. EJERCICIO # 7 Hallar dos
números enteros conse- COMPROBAR LOS RESULTADOS: Tome las
dos ecuaciones de este cutivos cuya suma sea 103. problema y
sustituya los valores A=21 , B=35 . Verifique que las igualdades
se cumplen. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -11- IDENTIFICAR EL
PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
(1) ; (1) ; -13- (1) -14- IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X =
Cualquier número entero. (X+1) = Número consecutivo
a X. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Hallar dos
números enteros consecutivos cuya suma sea 103: X + (X+1)
= 103 RESOLVER EL PROBLEMA: X + X + 1 + X + 2= 204 ; 3X + 3= 204
; X= 201 / 3 X = 67 ; (X + 1) = 68 ; (X + 2) = 69 Los tres
números buscados son 67, 68 y 69 COMPROBAR LOS RESULTADOS:
67 + 68 + 69 = 204 RESOLVER EL PROBLEMA: X + X + 1 = 103 ; 2X =
103 – 1 X = 51 ; X = 102 / 2 (X + 1) = 52 EJERCICIO # 9
Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea
74. Los dos números buscados son 51 y 52 COMPROBAR LOS
RESULTADOS: 51 + 52 = 103. EJERCICIO # 8 IDENTIFICAR EL PROBLEMA:
IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Cualquier número
entero. (X+1) = Número consecutivo a X. (X+2) =
Número consecutivo a X + 1. Hallar tres números
enteros (X+3) = Número consecutivo a X + 2. consecutivos
cuya suma sea 204. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: X = Cualquier número entero. (X+1) =
Número consecutivo a X. (X+2) = Número consecutivo
a X + 1. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESAR EL
PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Hallar cuatro números
enteros consecutivos cuya suma sea 74: X + (X+1) + (X+2) + (X+3)
= 74 RESOLVER EL PROBLEMA: Trate de resolverlo atendiendo los
pasos de los tres ejercicios anteriores. X = 17 ; (X + 1) = 18
Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea
204: (X + 2) = 19 (X + 3) = 20 X + (X+1) + (X+2) = 204 ING. JOSE
L. ALBORNOZ S, Los cuatro números buscados son 17, 18, 19
y 20 ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
(1) (2) (3) ; ; ; ; ; ; -15- -16- COMPROBAR LOS RESULTADOS: 17 +
18 + 19 + 20 = 74 IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EJERCICIO # 10 Hallar
dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Costo del caballo. B =
Costo del coche. C = Costo de los arreos. EXPRESAR EL PROBLEMA EN
LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: X = Cualquier número entero par
Pagué $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos: A + B +
C = 325 (X+2) = Número par consecutivo a X. EXPRESAR EL
PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Hallar dos números
enteros pares consecutivos cuya suma sea 194: X + (X+2) = 194 (1)
RESOLVER EL PROBLEMA: El caballo costó $ 80 más que
el coche: Los arreos costaron $ 25 menos que el coche: RESOLVER
EL PROBLEMA: Sustituyendo (2) y (3) en (1) A = B + 80 C = B – 25
Utilice los mismos pasos de los tres ejercicios anteriores (B +
80) + B + (B – 25) = 325 3B + 80 -25 = 325 X = 96 (X + 2) =
98 3B = 270 B = 270 / 3 B = 90 Los números buscados son 96
y 98 COMPROBAR LOS RESULTADOS: 96 + 98 = 194. Como A = B + 80
Como C = B – 25 ; A = 90 + 80 ; C = 90 – 25 A = 170 C
= 65 EJERCICIO # 11 Pagué $ 325 por un caballo, un coche y
sus arreos. El caballo costó $80 más que el coche y
los arreos $25 menos que el coche. Hallar los El caballo
costó $170, el coche $90 y los arreos $65 Es bueno
recordar que existen dos métodos para resolver este
sistema de ecuaciones, a saber, el método de
sustitución (utilizado en el ejercicio # 1 de este
trabajo) y el método de reducción (utilizado en el
ejercicio # 2). Utilice el que a su criterio le parezca
más fácil atendiendo a la forma como esté
expresado algebraicamente el problema. precios respectivos. ING.
JOSE L. ALBORNOZ S, COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L.
ALBORNOZ S,
; (1) (2) (3) (2) (3) -A ; ; ; ; ; EJERCICIO # 12 Como C = B
– 20 24 = B – 20 ; B = 44 Pagué $ 87 por un
libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $ 5
más que el libro y $ 20 menos que el traje. Hallar los
precios respectivos. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: El libro
costó $19, el traje $44 y el sombrero $24 COMPROBAR LOS
RESULTADOS: EJERCICIO # 13 La suma de tres números es 200.
El IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Costo del libro. B =
Costo del traje. mayor excede al del medio en 32 y al menor en
65. Hallar los números. C = Costo del sombrero. EXPRESAR
EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Pagué $ 87 por un
libro, un traje y un sombrero: A + B + C = 87 El sombrero
costó $ 5 más que el libro: C=A+5 El sombrero
costó $ 20 menos que el traje: C = B – 20 RESOLVER EL
PROBLEMA: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: X = Número menor. Y = Número del
medio. Z = Número mayor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE
ALGEBRAICO: La suma de tres números es 200: X + Y + Z =
200 (1) Utilizando el método de la reducción;
sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado de que las
incógnitas estén ubicadas del mismo lado de la
igualdad: El mayor excede al del medio en 32: El mayor excede al
menor en 65: Z = Y + 32 Z = X + 65 A + B + C = 87 +C= 5 – B + C =
– 20 3C = 72 RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice el método de la
reducción; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado
de que las incógnitas estén ubicadas del mismo lado
de la igualdad: C = 72 / 3 C = 24 X = 34 Y = 67 Z = 99 Como C=A+5
24 = A + 5 A = 19 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -17- Los
números buscados son 34, 67 y 99 ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
-18-
(1) (1) (2) (2) (3) (3) ; ; COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO #
14 Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10
manzanas más que el segundo y 15 más que el
tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A =
Manzanas que contiene el 1er cesto. B = Manzanas que contiene el
2do cesto. C = Manzanas que contiene el 3er cesto. EXPRESAR EL
PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Los Cestos tienen 200, 190 y 185
manzanas respectivamente. COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO #
15 Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15
unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la mayor.
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A =
Número que representa la parte mayor. B = Nro. que
representa la parte del medio. C = Número que representa
la parte menor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
Dividir 454 en tres partes ( la suma de tres partes debe ser
igual a Tres cestos contienen 575 manzanas : A + B + C = 575
454): A + B + C = 454 El primer cesto tiene 10 manzanas
más que el segundo: A = B + 10 El primer cesto tiene 15
manzanas más que el tercero: A = C + 15 RESOLVER EL
PROBLEMA: Utilice cualquiera de los tres métodos, observe
bien las tres ecuaciones y trate de determinar cuál es de
más fácil aplicación. En estos casos es
más recomendable el método de reducción. La
parte menor es 15 unidades menor que la del medio: C = B – 15 La
parte menor es 70 unidades menor que la mayor: C = A – 70
RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice cualquiera de los tres
métodos, observe bien las tres ecuaciones y trate de
determinar cuál es de más fácil
aplicación. En estos casos es más recomendable el
método de reducción. A = 200 B = 190 ; C = 185 ING.
JOSE L. ALBORNOZ S, -19- A = 193 B = 138 ; C = 123 ING. JOSE L.
ALBORNOZ S, -20-
(1) (1) (2) (2) (3) (3) ; ; -22- Las tres partes buscadas son
193, 138 y 123 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 16 Repartir
310 bolívares entre tres personas de modo que la segunda
reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X =
Bs que le “tocan” a la 1ra persona. Y = Bs que le
“tocan” a la 2da persona. Z = Bs que le
“tocan” a la 3ra persona. EXPRESAR EL PROBLEMA EN
LENGUAJE ALGEBRAICO: EJERCICIO # 17 La suma de las edades de tres
personas es 88 años. La mayor tiene 20 años
más que la menor y la del medio 18 años menos que
la mayor. Hallar las edades respectivas. IDENTIFICAR EL PROBLEMA:
IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Edad de la persona mayor.
Y = Edad de la persona del medio. Z = Edad de la persona menor.
EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La suma de las
edades de tres personas es 88 años: X + Y + Z = 88
Repartir 310 bolívares entre tres personas: X + Y + Z =
310 La mayor tiene 20 años más que la menor: X = Z
+ 20 La segunda persona recibe 20 menos que la primera: Y = X –
20 La segunda persona recibe 40 más que la tercera: Y = Z
+ 40 RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice el método de la
reducción; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado
de que las incógnitas estén ubicadas del mismo lado
de la igualdad: La del medio tiene 18 años menos que la
mayor: Y = X – 18 RESOLVER EL PROBLEMA: Este ejercicio se
resuelva en forma muy similar al ejercicio # 12. X = 42 ; Y = 24
; Z = 22 X = 130 Y = 110 Z = 70 Las tres edades son 42, 24 y 22
respectivamente Los Bs 310 se repartirán en 130, 110 y 70
bolívares respectivamente . ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -21-
COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
(1) (2) ; ; y ; EJERCICIO # 18 Dividir 642 en dos partes tales
que una exceda a la otra en 36. X = Edad de Francisco. Y = Edad
de Antonio. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: La edad de Francisco triplica la de
Antonio: X = 3Y IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Parte
mayor. Ambos suman 40 años: X + Y = 40 Y = Parte menor.
EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: RESOLVER EL
PROBLEMA: Sustituyendo (1) en (2) Dividir 642 en dos partes: X +
Y = 642 (1) 3Y + Y = 40 4Y = 40 Y = 40 / 4 Tales que una exceda a
la otra en 36: RESOLVER EL PROBLEMA: X = Y + 36 (2) Si Y = 10 X =
3Y Y = 10 X = 30 Este ejercicio se resuelva en forma muy similar
al ejercicio # 1. La edad de Francisco es 30 y la de Antonio 10 X
= 339 Y = 303 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Las dos partes son 339 y
303 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 19 La edad de Francisco
triplica la de Antonio y ambos suman 40 años. Encuentre
las edades de ambos. EJERCICIO # 20 Se compró un caballo y
sus arreos por $ 600. Si el caballo costó 4 veces el
precio de los arreos. ¿Cuánto costó el
caballo y cuánto los arreos?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA:
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X =
Costo del caballo. Y = Costo de los arreos. IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -23- ING. JOSE L.
ALBORNOZ S, -24-
(1) (2) (2) (1) (3) (2) (1) EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE
ALGEBRAICO: Se compró un caballo y sus arreos por $ 600: X
+ Y = 600 RESOLVER EL PROBLEMA Utilice el mismo procedimiento que
en el ejercicio anterior. X = 32 ; Y = 16 El caballo costó
4 veces lo de los arreos: X = 4Y En el 1er piso hay 32
habitaciones y 16 en el 2do RESOLVER EL PROBLEMA Utilice el mismo
procedimiento que en el ejercicio anterior. X = 480 ; Y = 120 El
caballo costó $ 480 y los arreos $ 120 COMPROBAR LOS
RESULTADOS: EJERCICIO # 21 En un hotel de 2 pisos hay 48
habitaciones. Si las del 2do piso son la mitad que las del 1ro.
¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?. COMPROBAR
LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 22 Repartir $ 300 entre A, B y C de
modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triple
que la de A. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que le “tocan” a
A. B = Cantidad de $ que le “tocan” a B. C = Cantidad
de $ que le “tocan” a C. EXPRESAR EL PROBLEMA EN
LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: X = Habitaciones del primer piso. Y =
Habitaciones del segundo piso. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE
ALGEBRAICO: Repartir $ 300 entre A, B y C: La parte de B sea
doble que la de A: La parte de C sea el triple de la de A: A + B
+ C = 300 B = 2A C = 3A En un hotel de dos pisos hay 48
habitaciones: Las del 2do piso son la mitad que las del 1ro: X +
Y = 48 Y = X/2 RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya las ecuaciones (2)
y (3) en la ecuación (1) y notará como se
simplifica el problema (A+2A+3A=300). A = 50 ; B = 100 ; C = 150
ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -25- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -26-
(1) (2) (1) (2) ; (3) ; ; COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO #
23 Repartir 133 manzanas entre A, B y C de modo que la parte de A
sea la mitad que la de B y la de C el doble EJERCICIO # 24 El
mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos
números suman 147. Hallar los números. IDENTIFICAR
EL PROBLEMA: que la de B. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X =
Número mayor. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: Y = Número menor. EXPRESAR EL PROBLEMA
EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A = Cantidad de manzanas que le
“tocan” a A B = Cantidad de manzanas que le
“tocan” a B C = Cantidad de manzanas que le
“tocan” a C El mayor de dos números es 6 veces
el menor: X = 6Y EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
Ambos números suman 147: X + Y = 147 Repartir 133 manzanas
entre A, B y C: A + B + C = 133 RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya
la ecuación (1) en la ecuación (2) y notará
como se La parte de A sea la mitad que la de B: La parte de C sea
el doble que la de B: A = B/2 C = 2B simplifica el problema: X =
126 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Y = 21 RESOLVER EL PROBLEMA:
Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) y
notará como se simplifica el problema: EJERCICIO # 25
Repartir $ 140 entre A, B y C de modo que la parte de B sea la
mitad que la A = 19 B = 38 C = 76 de A y un cuarto que la de C.
COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -27-
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -28-
(2) (1) (1) (3) (2) (3) 2X IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A =
Cantidad de $ que le “tocan” a A. B = Cantidad de $
que le “tocan” a B. C = Cantidad de $ que le
“tocan” a C. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE
ALGEBRAICO: Dividir el número 850 en tres partes: A + B +
C = 850 La primera parte sea el cuarto de la segunda: A = B/4
EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Repartir $ 140 entre
A, B y C: A + B + C = 140 La primera parte sea el quinto de la
tercera: RESOLVER EL PROBLEMA: A = C/5 La parte de B sea la mitad
que la de A: La parte de B sea un cuarto que la de C: B = A/2 B =
C/4 Despeje “B” y “C” en las ecuaciones
(2) y (3) respectivamente y después sustitúyalas en
la ecuación (1). A = 85 ; B = 340 ; C = 425 RESOLVER EL
PROBLEMA: Despeje “A” y “C” en las
ecuaciones (2) y (3) respectivamente y después
sustitúyalas en la ecuación (1). A = 40 ; B = 20 ;
C = 80 COMPROBAR LOS RESULTADOS: COMPROBAR LOS RESULTADOS:
EJERCICIO # 27 El doble de un número equivale al
número aumentado en 111. Hallar el número.
EJERCICIO # 26 Dividir el número 850 en tres partes de
modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la
tercera. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: X = Número buscado. IDENTIFICAR EL
PROBLEMA: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Primera parte. B = Segunda
parte. C = Tercera parte. El doble de un número: Equivale
al número aumentado en 111: 2X = X + 111 ING. JOSE L.
ALBORNOZ S, -29- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -30-
; 8X (1) (2) ; RESOLVER EL PROBLEMA: COMPROBAR LOS RESULTADOS: 2X
– X = 111 X = 111 EJERCICIO # 29 Si un número se
multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en
21. Hallar el número. EJERCICIO # 28 IDENTIFICAR EL
PROBLEMA: La edad de María es el triple de la de Rosa
más quince años y ambas edades IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: X = Número buscado. suman 59
años. Hallar ambas edades. IDENTIFICAR EL PROBLEMA:
EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Si un número
se multiplica por 8 : IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: M = Edad
de María. El resultado es el número aumentado en
21: 8X = X + 21 R = Edad de Rosa. EXPRESAR EL PROBLEMA EN
LENGUAJE ALGEBRAICO: La edad de María es el triple de la
de Rosa más quince años: M = 3R + 15 RESOLVER EL
PROBLEMA: Con un despeje sencillo de 8X= X + 21 se obtiene el
resultado siguiente: X=3 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Ambas edades
suman 59 años: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya la
ecuación (1) en la ecuación (2): M + R = 59
EJERCICIO # 30 Si al triple de mi edad añado 7
años, tendría 100 años. ¿Qué
edad tengo?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: M = 48 COMPROBAR LOS
RESULTADOS: R = 11 IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Mi
edad. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -31- EXPRESAR EL PROBLEMA EN
LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -32-
; ; ; ; (1) (2) (3) (4) Si al triple de mi edad añado 7
años: Tendría 100 años: 3X + 7 3X + 7 = 100
A = 36 COMPROBAR LOS RESULTADOS: B = 12 C = 48 RESOLVER EL
PROBLEMA: 3X = 100 – 7 COMPROBAR LOS RESULTADOS: X = 93 / 3
X = 31 EJERCICIO # 32 La edad de Enrique es la mitad de la de
Pedro, la de Juan el triple de la de Enrique y la de Gustavo el
doble de la EJERCICIO # 31 Dividir 96 en tres partes tales que la
de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años.
¿Qué edad tiene cada uno?. primera sea el triple de
la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la
segunda. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR EL PROBLEMA:
IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: E = Edad de Enrique. P = Edad
de Pedro. J = Edad de Juan. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A
= Primera parte. B = Segunda parte. G = Edad de Gustavo. EXPRESAR
EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: C = Tercera parte. EXPRESAR
EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Dividir 96 en tres partes: A
+ B + C = 96 (1) La primera parte sea el triple de la segunda: A
= 3B (2) La tercera parte sea igual a la suma de la primera y la
segunda: C=A+B (3) RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya la
ecuación (3) en la ecuación (1) y en la
ecuación resultante introduzca la ecuación (2):
ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -33- La edad de Enrique es la mitad de
la de Pedro: E = P/2 La edad de Juan es el triple de la de
Enrique: J = 3E La edad de Gustavo es el doble de la de Juan: G =
2J Las cuatro edades suman 132 años: E + P + J + G = 132
RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice el método de
sustitución, para lo cual se recomienda que coloque todas
las ecuaciones con las incógnitas del lado izquierdo del
signo de igualdad y mantenga el orden de secuencia de las letras
(E,P,J,G): ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -34-
(2) ; ; ; ; ; ; ; E – P/2 = 0 – 3E + J = 0 – 2J + G = 0 E +
P + J + G = 132 Si multiplica la primera ecuación por
“2” y posteriormente se suman T = Costo del traje. B
= Costo del bastón. S = Costo del sombrero EXPRESAR EL
PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: las cuatro ecuaciones: 2E
– P = 0 Se ha comprado un traje, un bastón y un
sombrero por $259: T + B + S = 259 (1) – 3E + J = 0 – 2J + G = 0
E + P + J + G = 132 El traje costó 8 veces lo que el
sombrero: T = 8S 2G = 132 0 + 0 + 0 + 2G =132 G = 132 / 2 ; G =
66 El bastón costó $30 menos que el traje: B = T
– 30 (3) Como Como G = 2J J = 3E 66 = 2J 33 = 3E ; J = 33 E
= 11 RESOLVER EL PROBLEMA: Despeje “S” en (2) y
sustitúyala en (1) y posteriormente sustituya (3) en la
ecuación resultante. Como E = P/2 11 = P/2 ; P = 22 T =
136 B = 106 S = 17 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 33 Se ha
comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El
traje costó 8 veces lo que el sombrero y el bastón
$30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos.
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:
COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 34 Una estilográfica
y un lapicero han costado $18. Si la estilográfica hubiera
costado 6 dólares menos y el lapicero 4 dólares
más, habrían costado lo mismo cada uno.
¿Cuánto costó cada uno?. IDENTIFICAR EL
PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -35- IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -36-
(2) (1) ; ; (2) (1) (1) E = Costo de la estilográfica. L =
Costo del lapicero. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
Una estilográfica y un lapicero han costado $ 18: E+ L =
18 Hace 10 años la edad de A era el triple de la de B: A
– 10 = 3 (B-10) Tenga sumo cuidado cuando se expresen
problemas de este tipo, es muy frecuente cometer el error de
escribir : A – 10 = 3B – 10 . La edad de B hace diez
años es (B-10) y el triple de esa edad es 3(B-10).
RESOLVER EL PROBLEMA: Si la estilográfica hubiera costado
6 dólares menos (E – 6) y el lapicero 4
dólares más (L + 4), habrían costado lo
mismo: E-6=L+4 (2) RESOLVER EL PROBLEMA: Simplifique la
ecuación (2) y posteriormente use el método de
Sustituya (1) en (2): A = 40 COMPROBAR LOS RESULTADOS: B = 20
reducción: E = 14 COMPROBAR LOS RESULTADOS: L=4 EJERCICIO
# 36 La edad actual de A es el triple que la de B, y dentro de 5
años será el doble. EJERCICIO # 35 Hallar las
edades actuales. La edad actual de A es el doble que la de B, y
hace 10 años la edad de A era el triple de la de B. Hallar
las edades actuales. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: A = Edad de A. B = Edad de B. EXPRESAR EL
PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA:
IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Edad de A. B = Edad de B.
EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La edad actual de A
es el triple que la de B: A = 3B Dentro de 5 años la edad
de A será el doble de la de B: A + 5 = 2 (B + 5) La edad
actual de A es el doble que la de B: A = 2B Tenga sumo cuidado
cuando se expresen problemas de este tipo, es muy frecuente
cometer el error de escribir : A + 5 = 2B + 5 . La edad de B
dentro de 5 años será (B+5) y el doble de esa edad
es 2(B+5). ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -37- ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
-38-
; ; ; RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): EJERCICIO # 38
A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A A = 15 B=5 gana $66 y B
pierde $90, A tendrá el doble de lo que le quede a B.
¿Cuánto COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 37 A
tiene doble dinero que B. Si A pierde $10 y B pierde $5. A
tendrá $20 más que B.¿Cuánto tiene
cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de
$ que tiene B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: tiene
cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de
$ que tiene B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A
tiene la mitad de lo que tiene B: A = B/2 (1) Si A gana $66 y B
pierde $90, A tendrá el doble de lo que le quede a B: (A +
66) = 2 (B – 90) (2) RESOLVER EL PROBLEMA: A tiene doble de
dinero que B: A = 2B (1) Sustituya (1) en (2): COMPROBAR LOS
RESULTADOS: A = 82 B = 164 Si A pierde 10 dólares (A-10) y
B pierde cinco (B-5), A tendrá $20 más que B: (A
– 10) = (B – 5) + 20 (2) RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya
(1) en (2): EJERCICIO # 39 En una clase el número de
señoritas es 1/3 del número de varones. Si
ingresaran 20 señoritas y dejaran de asistir 10 varones,
habría 6 señoritas A = 50 B = 25 más que
varones.¿Cuántos varones hay COMPROBAR LOS
RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -39- y cuantas
señoritas?. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -40-
(1) ; ; ; ; ; ; ; -41- IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: V = Cantidad de varones. S = Cantidad de
señoritas. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
EJERCICIO # 40 La edad de un padre es el triple de la edad de su
hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el
doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10
años. Hallar las edades actuales. En una clase el
número de señoritas es 1/3 del número de
varones: S = V/3 (1) Si ingresaran 20 señoritas (S + 20) y
dejaran de asistir 10 varones (V – 10), habría 6
señoritas más que varones: (S + 20) = (V –
10) + 6 (2) IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: P = Edad actual del padre. H = Edad actual del
hijo. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: RESOLVER EL
PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): 1/3 V = V – 10 + 6 -20 1/3
V + 20 = V -10 + 6 1/3 V = V – 24 La edad de un padre es el
triple de la edad de su hijo: P = 3H La edad que tenía el
padre hace 5 años (P – 5) era el doble de la edad
que tendrá su hijo dentro de 10 años (H + 10): V =
3 ( V – 24 ) 72 = 2V V = 3V – 72 V = 72 / 2 72 = 3V
– V V = 36 RESOLVER EL PROBLEMA: (P – 5) = 2 (H + 10) (2)
Sustituya (1) en (2): Si V = 36 y S = V/3 P = 75 H = 25 S = 36 /
3 S = 12 Los resultados se leen: Actualmente el padre tiene 75
años y el Los resultados se leen: En la clase hay 36
varones y 12 señoritas. hijo 25. COMPROBAR LOS RESULTADOS:
ING. JOSE L. ALBORNOZ S, COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L.
ALBORNOZ S, -42-
(2) ; EJERCICIO # 41 Enrique tiene 5 veces lo que tiene su
hermano. Si Enrique le diera a su hermano $50, ambos
tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?.
EJERCICIO # 42 Un colono tiene $ 1.400 en dos bolsas. Si de la
bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otra
bolsa, ambas tendrían igual cantidad de
dinero.¿Cuánto tiene cada bolsa?. IDENTIFICAR EL
PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: E = Cantidad de $
que tiene Enrique. H = Cant. de $ que tiene el hermano de
Enrique. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Enrique
tiene 5 veces lo que tiene su hermano: E = 5H (1) Si Enrique le
diera a su hermano $50, ambos tendrían lo mismo (Enrique
tendrá 50 menos y su hermano tendrá 50 más
de lo que tienen actualmente): (E – 50) = (H + 50) (2)
IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A =
Cantidad de $ en la 1ra bolsa. B = Cantidad de $ en la 2da bolsa.
EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Un colono tiene $
1400 en dos bolsas: A + B = 1.400 (1) Si de la bolsa que tiene
más dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas
tendrían igual cantidad de dinero: (A – 200) = (B + 200)
RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): E = 125 H = 25
RESOLVER EL PROBLEMA: A = 900 ; B = 500 Enrique tiene $125 y su
hermano $25. COMPROBAR LOS RESULTADOS Una bolsa tiene $900 y la
otra $500 COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -43-
ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -44-
(2) ; ; EJERCICIO # 43 El número de días que ha
trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha
trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días
menos y Enrique 21 días más, ambos habrían
trabajado igual número de
días.¿Cuántos días trabajó
cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EJERCICIO # 44 Hace 14
años la edad de un padre era el triple de la edad de su
hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14
años. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS
INCÓGNITAS: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: P =
Días que trabajó Pedro. E = Días que
trabajó Enrique. P = Edad del padre hace 14 años. H
= Edad del hijo hace 14 años. EXPRESAR EL PROBLEMA EN
LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces
el número de días que ha trabajado Enriqu
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