El aprendizaje de la división de números naturales en los estudiantes de 4to grado en Nicaragua

Misión y
visión

Misión

La misión de la escuela Normal 08 de octubre de
la costa caribe nicaragüense es formar científicos
pedagógico social y culturalmente a los docentes de
primaria en la educación intercultural Bilingüe de
manera que responda a los planteamientos del sistema educativo
autónomo regional SEAR.

Visión

Las y los docentes formados en la escuela Normal 08 de
octubre poseen una sólida formación
científica, técnica pedagógica y honoristica
que les permite ser sujeto de cambio, comprometidos con el
fortalecimiento del proceso de autonomía.

La práctica de la interculturalidad, la equidad
social y la equidad de género que contribuye a la paz y el
proceso de unidad nacional en la diversidad, en autonomía
con el medio ambiente y el marco del sistema educativo
autonómico regional (SEAR).

Escuela Primeros
Pasos

Introducción

El presente trabajo de investigación
tiene por tema: Dificultad en el aprendizaje de la
división de números naturales en los estudiantes de
4to grado de la Escuela Primero Pasos, durante el primer semestre
del año escolar 2012.

El mayor problema que enfrentan los estudiantes de 4to grado
ha sido la división, quizás por el poco dominio de
las tablas y las otras operaciones aritméticas; como
docentes carecemos de diversas estrategias para que las y los
estudiantes se apropien de la que mejor dominen.

1.1 Contexto

a) Contexto histórico

La escuela Primeros Pasosubicada en la comunidad El Naranjo
Punta Gorda, territorio de Bluefields RAAS Nicaragua. Fue fundada
en el año 2006, gracias al apoyo de los habitantes y la
profesora Teodora Silva Vivas. Se inició a impartir clases
en la Iglesia de Dios con una matrícula de 25 estudiantes
de ambos sexos de 1er- 4t0 grado.

Se ocupaban las bancas de la iglesia, se elaboró una
pizarra de madera pintada en azul, en mayo de ese mismo
año se construyó un aula con techo de hojas,
paredes de madera, de suelo, en la finca del señor
Reinaldo Sáenz donde permaneció dos
años.

En el año 2008, el alcaldito Heberto Calero donó
un terreno de 12 manzana , en los cuatro extremos colinda con la
propiedad del señor Mauro Alvarado, se inicia con una
matrícula de 43 estudiantes en la modalidad multigrado,
también se impartía preescolar comunitario a 12
niños.

b) Contexto Áulico

La escuela Primeros Pasosubicada en la comunidad El
Naranjo Punta Gorda, consta de una matrícula inicial de 27
estudiantes en la modalidad multigrado, con 14 niños en
preescolar comunitario, 5 estudiantes en 1er grado, 5 en 2do, 6
en 3ero, 8 en 4to, 2 en 5to y 1 en 6to.Cuenta con 2 docentes en
donde uno se está profesionalizando en la Escuela Normal 8
de Octubre de Bluefields.

La escuela consta de un aula de clases construida de
madera, techo de zinc, piso de madera,2 pizarras
acrílica,30 pupitres, 3 banquitas para los niños de
preescolar, tiene 2 puertas, 4 ventanas, cerca de alambre de
púas, postes de madera, una letrina, consta con suficiente
material didáctico, el terreno es propio, tiene una
directiva escolar integrada por 5 Padres de Familia.

c) Contexto Curricular

La docente Teodora Silva Vivas imparte multigrado en la
Escuela Primeros Pasos desde hace 7 años, es Bachiller,
estudiante de la Escuela Normal 8 de Octubre de Bluefields, el
profesor Efrends González Jarquin atiende preescolar
comunitario desde hace cuatro años es bachiller yambos
maestros han participado en diferentes capacitaciones que ha
brindado el MINED, SERENA, Derechos Humanos y asisten
regularmente a los TEPCES que se realizan cada mes, realiza los
informes de estadísticas y rendimiento
académico.

d) Contexto escolar

La escuela tiene techo de zinc en buen estado paredes de
madera en regulares condiciones, piso de madera en buen estado y
el terreno está cercado con alambre de púas y
postes de madera. Cuenta además con el Programa Integral
de Nutrición Escolar (PINE), con el apoyo de algunas
instituciones gubernamentales SERENA ADECA y MARENA;
también hay apoyo de la alcaldía y de las
contribuciones voluntarias de los padres de familia.

La escuela cuenta con las modalidades Preescolar
Comunitario, toda la primaria en la modalidad multigrado y todos
los niveles de educación de adulto. El personal docente
está integrado por dos maestros uno atiende preescolar
comunitario y educación de adulto y una maestra que
atiende multigrado. Actualmente consta de una matrícula de
32 estudiantes de primero a sexto grado, diez estudiantes de
preescolar y siete de educación de adulto.

Planteamiento del
problema

a) Descripción del
problema

La dificultad de aprendizaje de la división de
números naturales es un problema de mucha
preocupación porque afecta la calidad de la
educación y baja el rendimiento académico de los
estudiantes. Con la finalidad de lograr un aprendizaje
significativo en los educandos y poder encontrar alternativa de
solución, nos planteamos la siguiente
interrogante

b) Definición del
problema

¿Cuáles son los factores que dificultanel
aprendizaje de la división de números naturales en
los y las estudiantes de 4to grado de la escuela Primeros Pasos
durante el primer semestre del año escolar
2012?

1.3 OBJETIVOS:

Objetivo General

Analizar los factores que intervienenen el
aprendizaje de la división de números naturales en
los estudiantes del 4to grado de la escuela Primeros Pasos
ubicada en la comunidad El naranjo Punta Gorda municipio de
Bluefields durante el primer semestre del curso escolar
2012.

Objetivos Específicos.

Identificar los factores que dificultanel
aprendizaje de la división de números naturales en
los estudiantes de 4to, modalidad multigrado de la escuela
Primeros Pasos ubicada en la comunidad El Naranjo Punta Gorda,
municipio Bluefields durante el primer semestre del curso Escolar
2012.

Determinar las
estrategiasmetodológicas para ejercer el cálculo
mental y escrito en la división para los estudiantes de
4to grado de la modalidad multigrado de la escuela Primeros Pasos
ubicada en la comunidad Punta Gorda, municipio Bluefields durante
el primer semestre del año lectivo 2012.

• Proponer estrategias de aprendizaje que faciliten el
  proceso enseñanza de la división de
  números naturales de los estudiantes del cuarto grado
  de la modalidad multigrado de la escuela Primeros
  Pasos.

1.4 JUSTIFICACION.

El tema dificultad de aprendizaje en la división
de números naturales se ha considerado un problema que
necesita solución inmediata; porque deja como consecuencia
un bajo rendimiento académico por la mala calidad de la
enseñanza-aprendizaje y lo más lamentable un mal
trabajo en los futuros profesionales.

Se eligió la división porque nos parece
más interesante, ya que al comparar el algoritmo de esta
con el de la suma, resta y la multiplicación nos damos
cuenta de que el de la división presenta mayor dificultad;
primero porque para poder realizarlo utilizamos la
multiplicación y la resta. Además la
división puede ser exacta o inexacta con cociente entero o
decimal, pero lo más difícil e importante es el
sentido que el estudiante pueda darle al algoritmo.

Debido a que la comunidad, maestros, estudiantes y
padres de familia de la escuela Primeros Pasos de la comunidad El
Naranjo Punta Gorda están interesados en mejorar esta
situación se realizó esta investigación para
detectar las causas que originan esta dificultad y proponer
estrategias que darán solución a la
problemática que se plantea. Este trabajo investigativo
beneficiara a estudiantes docentes y padres de familia que
estén dispuestos a superar la calidad de la
educación poniendo en práctica las recomendaciones
que aquí describimos.

Marco
teórico

Evaluación
individual

2.1Planteamientos teóricos de los
pensadores sobre la división de números
naturales

– Piaget

Divisibilidad

a) Decimos que un número entero b es
divisible por otro entero a (distinto de cero) si existe
un tercer entero c tal que b =
a·c. Se suele expresar de la forma a|b, que se
lee a divide a b (o a es divisor de
b, o también b es múltiplo de
a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 =
3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero
c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la
división elucídela (entera) de 6 entre 4 no es
cero.

b) Primos y compuestos: Todo número entero mayor
que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los
números que no admiten más que estos dos divisores
se denominan números primos. Los que admiten más de
dos divisores se llaman números compuestos

c) La formación del concepto de número
"…es el resultado de las operaciones lógicas como
la clasificación y la seriación…". Por
ejemplo: cuando agrupamos determinado número de objetos o
lo ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo
pueden tener lugar cuando se logra la noción de
conservación, de la cantidad y la equivalencia
término a término.

Repetir verbalmente la serie numérica: uno, dos,
tres, cuatro, etc., no garantiza la comprensión del
concepto de número. Para ayudar a los niños a la
construcción de la conservación del número
se debe planificar y desarrollar actividades que propicien el
canteo de colecciones reales de objetos.

Euclides

a) Teoría de
números

Rama de las matemáticas que se ocupa de las
propiedades y relaciones de los números. Según esta
amplia definición, la teoría de números
incluye gran parte de las matemáticas, en particular del
análisis matemático. Sin embargo, normalmente se
limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones,
a otros conjuntos de números con propiedades similares al
conjunto de los enteros.

b) Tipos de enteros

Si a, b y c son números enteros tales que a = b.
c, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son
submúltiplos o factores de a. Si c es distinto de
±1, entonces b se denomina submúltiplo propio de a.
Los enteros pares son los múltiplos de 2 incluyendo el 0,
como -4, 0, 2 y 10; un entero impar es aquél que no es
par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9. Un número perfecto es aquel
entero positivo que es igual a la suma de todos sus
submúltiplos propios positivos (partes alícuotas);
por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1
+ 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero
positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser
deficiente o superante según que la suma de sus
submúltiplos propios positivos sea menor o mayor que
él. Así, 9, cuyos submúltiplos son 1 y 3, es
deficiente; y 12, cuyos factores son 1, 2, 3, 4 y 6, es
superante.

c) Números primos

Gran parte de la teoría de números se
dedica al estudio de los números primos. Un número
p (p ¹ ±1) es primo si sus únicos factores son
±1 y ±p. Un número a se denomina compuesto o
plano si a = b.c, para b y c distintos de ±1. Los diez
primeros números primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos
positivos son 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Un
número compuesto se puede descomponer como producto de
factores primos de forma única (sin considerar el orden de
los factores). Por ejemplo, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5 y
12 = 2 × 2 × 3.

El libro IX de Elementos de geometría del
matemático griego Euclides contiene la demostración
de que la cantidad de números primos es infinita, es
decir, no existe un número primo máximo. La prueba
es sencilla: sea p un número primo y q el producto de
todos los enteros del 1 al p, más uno, es decir, q = (1
× 2 × 3 ×… × p) + 1. El entero q
es mayor que p y no es divisible por ningún entero del 2
al p, ambos inclusive. Cualquier submúltiplo de q distinto
de 1, y por tanto cualquier submúltiplo primo, debe ser
mayor que p, de donde se deduce que debe haber un número
primo mayor que p.

Aunque hay infinitos números de primos, estos son
cada vez más escasos a medida que se avanza hacia
números más grandes. Se sabe que la cantidad de
números primos entre 1 y n, para n bastante grande, es
aproximadamente n dividido por el logaritmo neperiano de n. Un
25% de los números entre 1 y 100, un 17% de los
números entre 1 y 1.000, y un 7% de los números
entre 1 y 1.000.000 son primos.

Dos números primos cuya diferencia es 2 (por
ejemplo, 5 y 7, 17 y 19, 101 y 103) se denominan primos gemelos.
No se sabe si la cantidad de primos gemelos es infinita. Aunque
todavía no se ha podido demostrar, se cree que todo
número mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos
números primos; por ejemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 +
5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17 y 100 = 3 + 97.

Bertrand Russell

a) Definición en teoría de
conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de
los números naturales como el mínimo conjunto que
es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una e)
Propiedades de la División de Números
Naturales.

La división es la operación que tenemos
que hacer para repartir un número de cosas entre un
número de personas.

Los términos de la división se llaman
dividendo (el número de cosas), divisor (el número
de personas), cociente (el número que le corresponde a
cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y
en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No
es lo mismo a/b que b/a. biyección desde un número
natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es
decir, para dar la definición de número 2,
se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga
precisamente dos elementos.

Polya

El profesor debe ayudar a sus estudiantes a aprender a
dividir, pero ¿cómo hacerlo? La heurística
de Polya sugiere cómo, a través de interrogantes
específicas y de acuerdo a las propias respuestas de los
estudiantes. A su vez, la heurística puede sustentarse en
las aplicaciones del enfoque del procesamiento de la
información y en la semiótica. Cuando los
estudiantes resuelven problemas matemáticos procesan
información y lo hacen centrados en los símbolos
matemáticos y sus significados. Van desde el problema
planteado hasta su resolución mediante una secuencia de
comportamientos que se explican mediante los esquemas utilizados
por ellos. Cuando el profesor comprende tales esquemas
está en mejores condiciones para conducirlos, para
colocarlos en situaciones de aprendizaje que faciliten la
construcción de conceptos cada vez más profundos y,
también, de procedimientos exitosos.

Existen dos clases de propósitos escolares en el
aprendizaje de la división, unos planteados a
priori, en términos curriculares, atendiendo al plan y
programas de educación primaria y otros planteados de
facto, en términos de los criterios de evaluación
de cada profesor y con cada alumno. En este sentido se distingue
un propósito planteado de un propósito logrado. Y
aunque entre estos últimos exista una diferencia muy leve
al fin sería una diferencia que los profesores deben
advertir para una mayor comprensión de su labor
docente.

Alicia Ávila
(1994)

Define estas estrategias de la siguiente
manera:

a) Estrategias descriptivas.

– En ellas, los niños utilizan
representaciones gráficas o repartos objetivos para
resolver los problemas.

b). Estrategias constructivas.

– En éstas, los niños ya no dibujan
para simular el acto de repartir uno a uno los objetos que indica
el problema, ni efectúan sumas donde cada uno de los
sumados corresponde al divisor. La longitud de los
cálculos motiva a los niños a buscar formas de
facilitarlos y algunos logran hacerlo, utilizando
múltiplos o duplicando.

C). Prueba del cociente hipotético. En esta
estrategia como su nombre lo dice, el niño va probando
Hipótesis que él mismo crea con base en sus
conocimientos de la multiplicación; centra su
atención en encontrar el factor que lo lleve a obtener en
la multiplicación un resultado igual al dividendo en el
caso de la división exacta.

Alejandro
RodríguezGarcía. Congreso
2006

Se identifican diferentes situaciones de aprendizaje
también se realiza detalladamente el significado del
algoritmo de la división en particular. La
enseñanza de la división se asume como un ejercicio
de vinculación entre concepto y procedimiento, y no
exclusivamente como una secuencia simple y típica de
conductas encadenadas de educación primaria, vinculando un
modelo pedagógico heurístico, con una teoría
semiótica.

Tienen un lugar privilegiado:

a) La simbolización, como actividad mental de
representación y de aplicación simbólica, y
b) la mediación del profesor, como medio para facilitar en
los estudiantes ese proceso de simbolización.

La organización de actividades curriculares de
apoyo sólo tiene dos estrategias o formas básicas
para su diseño:

1) Centradas fundamentalmente en el
contenido.

2) centradas en el estudiante.

La primera estrategia, centrada en el contenido,
establece a priori una secuencia de actividades
considerada idónea para lograr el dominio de tareas
específicas, sean éstas simples o
complejas.

Desde esta perspectiva eldenominado análisis de
tarea resulta un medio apropiado para trabajar con elestudiante.
La tarea del profesor consistirá, entre otras cosas, en
administrargradualmente las características de las
situaciones de aprendizaje y conducir alestudiante hacia el
dominio de la tarea solicitada, desde sus componentes
mássencillos hasta sus formas más
complejas.

La segunda estrategia, centrada en el estudiante,
establece a posterioriunasecuencia de actividades en
función del tipo de error observado en el desempeño
del estudiante. En este sentido el
análisiscognitivo–conductualesuno de los medios
apropiados para conducir al estudiante hacia el logro de un mejor
desempeño escolar.

Figura 1. Diversas representaciones
de una operación directa de
división.

____

a) 4 25 b) 25 — 4 = c) 25 / 4 =
d) 25 entre 4 =

No en todas estas variantes se acostumbra utilizar el
signo = (igual a). Porejemplo, en la variante
a no se utiliza tal signo. En muchos casos este
tipo dedivisión se entiende como una tarea de
búsqueda del número enterocorrespondiente al
cociente, sin obtener decimales. En este sentido un alumnopuede
responder que 25 entre 4 es igual a 6. Este procedimiento implica
unconcepto de división que identifica a esta
operación con un reparto de unidades.

Las variantes a y b
presentan una configuración horizontal pero el
ordenamiento del dividendo y del divisor son invertidos. En este
punto resulta indispensable que los estudiantes reconozcan una
cantidad de otra en términos de la palabra utilizada para
referirlas, una como dividendo y otra como divisor. Puede ocurrir
que coloquen los numerales en posiciones inapropiadas. Por
ejemplo, ala y b presentan una
configuración horizontal pero el ordenamiento del
dividendo y del divisor son invertidos. En este punto resulta
indispensable que los estudiantes reconozcan una cantidad de otra
en términos de la palabra utilizada para referirlas, una
como dividendo y otra como divisor. Puede ocurrir que coloquen
los numerales en posiciones inapropiadas.

I. Situaciones de aprendizaje

Por situaciones de aprendizaje entendemos estructuras
típicas en laorganización de actividades a realizar
y son importantes porque son partefundamental en la
enseñanza. Para el caso del aprendizaje de la
división nosreferiremos a dos situaciones de aprendizaje
relativamente exclusivas de laenseñanza de las
matemáticas:

1) Operaciones directas.

2) Problemas planteados verbalmente.

Operaciones directas

Como profesor uno puede diseñar o seleccionar un
conjunto de operaciones directas de división para observar
el desempeñorepresentar simbólicamente la
operación solicitada así:

Figura 2. Posición
inapropiada de dividendo y divisor.

Atendiendo a una configuración
horizontal de izquierda a derecha, en cierto sentido semejante al
orden en que escuchó las cantidades. Otras veces, los
alumnos antes de escribir, preguntan "¿cuál va
dentro de la casita?".

El detalle antes descrito destaca la importancia del
lenguaje referencialde los estudiantes para distinguir el
dividendo y el divisor, palabras fonéticamente
similares.

Otro punto asociado a esta forma de presentar las
operaciones de división es el relativo a su complejidad.
Dividir 4628 entre 2 resulta en principio más fácil
que dividir la misma cantidad entre 7. Algunos profesores basan
su opinión en el reconocimiento de que la tabla de
multiplicar del 7 es más difícil de recordar que la
tabla del 2. Esta idea subyace al concepto de división
como operación inversa a la de multiplicación. En
mi opinión resulta más apropiado comprender la
relación entre estas dos operaciones aritméticas
como un ejemplo de transformación
simbólicamás que como un ejemplo de
operación inversa. Es decir, cuando se expresa una
división: "32 entre 8" como una
relación entre cantidades que puede expresarse
también mediante una multiplicación: "8 x ___=
32", se busca en ambos casos una tercera cantidad: el 4, en
la división como cociente y en la
multiplicación como factor.

Desde el punto de vista del procesamiento de la
información, la actividad mental necesaria al realizar una
división incrementará su carga cognitivaen tanto la
memoria de trabajo active mayores requerimientos. Dividir 4628
entre 2 implica la obtención de la mitad de la cantidad o
la cantidad de cada dígito, esto es2314, sin embargo
dividir la misma cantidad entre 9 obliga a reagrupar los
dígitos. Así, primeramente tendríamos que
seleccionar 46 como cantidad a dividir entre 9 y el primer
dígito del cociente será 5. Dado que 9×5 son 45
nos

"sobraría" 1. Posteriormente al "bajar el 2",
tendríamos que dividir ahora 12 entre 9 y así
sucesivamente, de acuerdo al procedimiento convencional de la
división de los dígitos. Así, primeramente
tendríamos que seleccionar 46 como cantidad a dividir
entre 9 y el primer dígito del cociente será 5.
Dado que 9×5 son 45 nos "sobraría" 1. Posteriormente al
"bajar el 2", tendríamos que dividir ahora 12 entre 9 y
así sucesivamente, de acuerdo al procedimiento
convencional de la división.En este sentido la cantidad y
la calidad de los dígitos que componen aldividendo y al
divisor se pueden utilizar como indicadores de cierto grado
dedificultad para cada operación de división
solicitada a los estudiantes. Otraestrategia es el registro de
aciertos y tiempo de respuesta, de acuerdo a si
unaoperación de división determinada fue resuelta
acertadamente en un altoporcentaje y en un tiempo de respuesta
menor.

La división 25/4, por su parte tiene una
configuración vertical, adopta la forma de un
quebrado. Esta representación semiótica
está más cercana a una concepción de
división como fragmentación, como
segmentación de un todo. El resultado de tal
división es igual a 6.25, esto es, a seis enteros
veinticinco centésimos. Para aquellos profesores que
consideran que los decimales aún no deben ser objeto de
enseñanza, esperarían como respuesta de sus alumnos
una expresión como: "25 entre 4 es igual a 6". En este
caso el residuo tiene una presencia efímera, es decir,
ahí está pero no parece tan importante.

En fin, ante esta variedad de situaciones de aprendizaje
la pregunta obligada es: ¿los profesores utilizan esta
diversidad de situaciones de aprendizaje deliberadamente con el
propósito de que sus estudiantes adquieran un concepto
más amplio de la operación de división? Muy
posiblemente los profesores no revisen en detalle esta
cuestión porque seguramente su pensamiento está
orientado hacia otras cuestiones.

Hacer esto último es entrar a la
resolución de diversas incógnitas de los alumnos de
acuerdo al camino que hayan elegido para intentar resolver la
división y ello incrementa la carga cognitiva de la labor
docente, haciendo más pesada la demanda de atención
hacia el desempeño de sus estudiantes.

¿Qué se requiere para afrontar
las situaciones de aprendizaje?

Saber conceptual (saber
qué)

La instrucción se identifica con la
adquisición de conocimientos por asignatura.

Ya sean horarios de clase o libros de
textos, se identifican grandes campos de conocimiento, uno de
ellos sin lugar a dudas ha sido el campo de las
matemáticas.

Desde esta perspectiva aprender matemáticas es
aprender un conocimiento que adopta la forma de proposiciones. Un
ejemplo simple de ello es afirmación: "dos más dos
son cuatro", este es un conocimiento que debenadquirir los
estudiantes de primer grado de primaria y así como este
conocimiento específico otros más relativos a los
números, sus operaciones y relaciones.

De la visión antes descrita se desprenden
diversas formas de evaluación que se identifican con la
verificación de un dominio del conocimiento, ya sea
definiéndolo o aplicándolo correctamente. Otro
elemento presente en elaprendizaje de las matemáticas es
relativo a la transformación del objeto deestudio que
representa el número. Esto es, saber realizar
procedimientos paratransformarlo, ya sea aumentando o
disminuyendo su valor como respuesta auna regla identificada con
una operación aritmética. Muestra en la
figura 5:

Figura 3. Aplicación del
algoritmo de la suma al caso 23 + 18 + 24.

También la división tiene su algoritmo y
los estudiantes de tercer y cuarto grado de primaria tienen la
tarea de aprendérselo. A diferencia de otros algoritmos
que siguen un desarrollo de derecha a izquierda, el algoritmo de
la división sigue un curso de izquierda a derecha.
Más un residuo de 2 unidades: 16 = 7 x 2 + 2.

Cuando un procedimiento admite aplicaciones a una
variabilidad grande de situaciones, entonces se convierte en un
algoritmo. Sin embargo, desde otra perspectiva, se plantea como
estrategia distinta a la aplicación de un algoritmo la
búsqueda en cierta medida divergente de otros caminos
hacia la solución de los problemas matemáticos.
Dicha perspectiva la identificamos con Polya (1965), quien
desarrolla lo que es el planteamiento y la resolución de
problemas. Cuando ante un problema el individuo creativo
selecciona una demuchas vías posibles para resolverlo, se
coloca ante una tarea de indagación compleja y no se
limita al seguimiento de pasos de carácter
ortodoxo.

¿Qué desea el profesor aprendan
sus estudiantes y cómo entiende lo que ocurre en
clase?

Pero de todos los detalles implícitos y
explícitos en el trabajo al realizar divisiones
¿qué desea el profesor que los estudiantes
realmente aprendan? Y ¿qué verifica el profesor
hayan aprendido? La comprobación del logro en los
estudiantes resulta una tarea compleja para el profesor,
más aún si se trata de un grupo escolar
numeroso.

Entre la situación de los alumnos ocurre la
interacción pedagógica que pretende responder de
aprendizaje planteada por el profesor y las diversas formas de
conducir al estudiante de la situación inicial a otra
posterior que implique un conocimiento aprendido, ya sea referido
auna diferencia conceptual o a la realización de cierto
procedimiento.

Planteamientos
curriculares y expectativas de los docentes

El plan y los programas de estudio vigentes contienen,
en lo correspondiente a matemáticas, varios elementos
directamente vinculados con el aprendizaje delas divisiones. Se
sugieren actividades y propósitos específicos. Sin
embargo, por otra parte, también cada profesor hace su
propia interpretación del programa. Para algunos
profesores lo esencial es la disminución de errores en el
desempeño de sus alumnos al realizar éstos
operaciones de división.

Mientras los estudiantes construyen su conocimiento en
torno a las matemáticas, en la interacción entre
profesores y alumnos se construye realmente el
currículo.

Cuando un profesor al solicitar a sus estudiantes
dividir 223 entre 3 y plantea. Una pregunta, por ejemplo:
"¿cuánto es 3 x 7?", con el propósito de
verificar un contenido requerido para lograr la solución a
la operación planteada (un qué), al mismo
tiempo les modela la verificación de un paso previo a la
respuesta.

Interpretaciones de enseñar
la división a través de la resolución de
problemas

Leticia Téllez
Hernández

Por la investigación documental realizada por
AliciaÁvila (Ávila 1998) podemos conocer
cómo ha sido laenseñanza oficial de las
matemáticas en educación primariaa partir de 1944 a
1986. En dicha investigación se enseña cómo
a través de todas las reformas que ha habido. En
México, se ha tenido el propósito de ir innovando
la enseñanza de las matemáticas. En 1993, se inicia
una nueva reforma en educación primaria. En
relación a matemáticas se tiene como principal
cambio el enfoque didáctico "Este enfoque coloca en primer
término el planteamiento y resolución de problemas
como forma de construcción de los conocimientos
matemáticos" (SEP, 1993: 52), también en los libros
de texto de matemáticas encontramos un nuevo concepto de
aprendizaje en México, se ha tenido el propósito de
ir innovando la enseñanza de las matemáticas. En
1993, se inicia una nueva reforma en educación primaria.
En relación a matemáticas se tiene como principal
cambio el enfoque didáctico "Este enfoque coloca en primer
término el planteamiento y resolución de problemas
como forma deconstrucción de los conocimientos
matemáticos".

(SEP, 1993: 52), también en los libros de texto
de matemáticas encontramos un nuevo concepto de
aprendizaje con el que se pretende superar la memorización
de definiciones, reglas y fórmulas, que muchas veces no
significaban nada para el alumno. Hoy se preconiza el aprendizaje
significativo.

Y continúa señalando que la
construcción de la significación de un conocimiento
debe ser pensada en dos niveles:

• Un nivel "externo": ¿cuál es el
campo de utilización de este conocimiento, y cuáles
son los límites de este campo?

• Un nivel "interno": ¿cómo y por
qué funciona tal herramienta? (por ejemplo,
¿cómo funciona un algoritmo y por qué
conduce al resultado buscado?) (Charnay, 1944).

Los problemas en los que se utiliza una división
zonal menos de dos tipos: aquellos en los que se reparte una
cantidad en partes iguales, sobrando lo menos posible y aquellos
en los que se necesita saber cuántas veces cabe una
cantidad en otra.

Se ha encontrado que los niños utilizan
estrategias propias antes de manejar el algoritmo de la
división. Se han reportado entre otras las siguientes:
descriptivas, constructivas y prueba del cociente
hipotético, hasta llegar a la división
convencional.

Análisis
comparativo de los planteamientos teóricos de los
diferentes autores

2.1 Según los aportes de los pensadores,
Piaget, Euclides, la investigación realizada por
una organización de maestros (IREM.PUCV) y el
estudio realizado por Leticia Téllez para que un
número sea divisible entre otro debe haber un tercer
numero entre el cual también sea divisible cuyos divisores
pueden ser primos o compuestos; primos si tienen solo dos
divisores y compuestos si tienen más de dos divisores. La
cantidad de primos es infinita, pero son cada vez más
escasos y también se dice que los números primos
cuya diferencia es 2 ej.: 5, 7 se denominan primos gemelos, estos
son conocimientos que el alumno necesita tener muy claro para
enfrentar los problemas de aprendizaje de la división de
números naturales.

2.2 Analizando los aportes de los pensadores Alicia
Ávila, Polya y Bertrand Russell nos damos cuenta que
el concepto de número es el resultado de las operaciones
lógicas y se conoce cuando se relaciona la cantidad en
series numéricas tanto simbólicas como literales;
es decir que para dar a conocer un conjunto numérico a los
niños se debe planificar y desarrollar actividades que
propicien el conteo de colecciones de objetos reales.

2.3 En la teoría de Piaget y Euclides se nos dice
que los números se menciona la clasificación de los
enteros: si a, b y c son números enteros tales que a = b.
c, a es múltiplo de b o de c y b mientras que b y c son
submúltiplos de a o factores de a. Los enteros positivos
se denominan números perfectos cuando es igual a la suma
de todos sus submúltiplos.

Ej.28 = 1+2+4+7+14. Un entero es imperfecto cuando no es
igual a la suma de los submúltiplos y pueden ser
deficiente si la suma es menor que él. Ej. 9 (1, 3). O
superante si la suma de los submúltiplos es mayor al
entero. Ej. 12 (1,2, 3,4,6).