1.
INTRODUCCIÓN
Desde hace mucho tiempo se ha tratado de tener a la
teoría de conjuntos como el pilar
fundamental de ese frondoso árbol que denominamos
matemática. Por ello se ha trabajado con
mucho afán en su completa elaboración. Fue
Georg Cantor quien sembró esta
teoría por allá en el siglo XIX y desde entonces un
gran número de muy buenos matemáticos han desfilado
por ella haciendo nuevos e interesantes aportes. Sin embargo, al
aplicar las leyes de la lógica junto a las del
álgebra, seguimos encontrando absurdos como los
siguientes:
a) 2 3 o 2 3
b) {0, 1} {0, 1, 2}; etc.
El siguiente trabajo pretende corregir o subsanar al
anterior, titulado "PROYECTO PARA MEJORAR LA TEORÍA DE
CONJUNTOS", publicado en la página web
"monografías.com". En éste de ahora se exhibe una
dúctil propuesta sobre cómo evitar los absurdos que
se presentan en tan bella teoría, y se acepta que los
conjuntos de conjuntos (conjuntos cuyos elementos son conjuntos)
pueden seguir llamándose conjuntos, pero adicionando
algunas definiciones que le atañen. Dicha propuesta no es
exhaustiva, pues, es imposible serlo en un trabajo de una
dimensión tan pequeña como el que acá se
exhibe. Pero queda abierta la posibilidad de seguirla expandiendo
hasta hacerla absoluta. Se supone conocido por el lector todo lo
referente a teoría de conjuntos.
2. DEVELANDO
DEBILIDADES EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Al estudiar la teoría de conjuntos
aprendemos que "para todo conjunto A, si existe una
función cualquiera f: A B, entonces
f(A) = {f(x) / x A}".
(I)
Como lo anterior es A y f aplicada a A, y,
además, se nos enseña que todo objeto es un
conjunto, entonces, si A y B son equipotentes, para una
función
f: A B, siendo A = y B =
Podemos suponer que
f()
= . (1)
Ahora tenemos que A1 = {0, 1}. f() = f(A1) = B1. Nuestra pregunta ahora
es: ¿Cómo evitar que alguien le aplique a
f(A1) la definición de (I)? No es posible
evitarlo, pues, en f(A1) se tiene una función
f aplicada al conjunto A1, que por (I) es
f(A1) = {f(x) / x
A1}.
(2) Ahora por (1) y (2) se tiene
{f(0), f(1)} = {1, 2, 3}.
(3)
Y en (3) tenemos un absurdo, pues, tenemos un conjunto
binario igual a uno ternario.
Ahora bien, meditemos un poco sobre el absurdo anterior.
Usted como matemático tal vez razonaría así:
No es posible ese absurdo porque la función f es
para el conjunto A, es decir, f es una función
f: A B, y no para ningún elemento A1 de A. Por su
parte, otro actor podría razonar así: La imagen del
conjunto A1, por medio de la función f, es el
conjunto B1, es decir, f(A1) = {1, 2, 3} = B1. Entonces
existe f: A1 B1. En consecuencia, es aplicable la
igualdad (I). Y de esta manera, nuestra formalidad es muy
débil para detener el absurdo anterior. Para evitar esto,
es necesaria una definición que nos obligue a ver al
conjunto A1 como a un objeto y no como a un conjunto; dicha
definición se expondrá más
adelante.
Otro absurdo que podemos obtener de nuestra
teoría se da por el hecho de aceptar que los
números naturales son conjuntos. Veamos.
Sabemos que
2 = {0, 1} (a) y 3 = {0, 1, 2} (b).
Pero
{0, 1} {0, 1, 2} (c) y 2 {0, 1, 2} (d).
Ahora, por (a), (b), (c), (d) y el principio de identidad, se
tiene
{0, 1} {0, 1, 2}; 2 3 y 2 3. (1) Y las tres
expresiones de (1) son incorrectas (un absurdo).
Ahora bien, el absurdo anterior sólo tiene una
manera de soslayarlo y es aceptando que cada número
natural es un objeto y no un conjunto. Por otra parte, al tomar a
cualquier objeto como un conjunto debemos especificar qué
cosas o elementos pertenecen a dicho conjunto. En consecuencia,
si un punto A, por poner un ejemplo, es un conjunto,
¿qué cosas pertenecen al punto A? Puesto que un
punto es nada, al ser un conjunto, sus elementos son nada. Por lo
tanto, un punto es un conjunto de puntos y esto es una
falsedad.
Todo lo anterior nos hace inferir que nuestra
teoría de conjuntos necesita algunas correcciones. Pero
estas correcciones no se deben cimentar en explicar que "lo
de tomar a un objeto cualquiera como conjunto es sólo una
forma de hablar". En una ciencia como la matemática,
en la cual siempre está implícita la lógica,
una cosa es "por lo que es" y no por una mera forma de
hablar.
3. DEFINICIONES
QUE PERMITIRÍAN MEJORAR LA TEORÍA DE
CONJUNTOS
3.1. Objetos bien determinados
(obds)
Se entenderá por objeto bien determinado (obd) a
cualquier elemento con una propiedad específica. Por
ejemplo, un punto A (que pertenece a una recta, a un plano,
etc.). Ahora bien, una vez que los puntos de una recta se
constituyen en dicha recta, ésta pasa a ser un obd. De
manera que una recta, al igual que un plano, se puede ver como un
conjunto de puntos o como un obd si se toma a dicha recta como
elemento de un plano o del espacio; o a dicho plano como elemento
del espacio. Un hombre es un conjunto de átomos, pero una
vez que los átomos se agrupan y forman al
hombre, éste se puede tomar como un obd. Otros obds son:
un plano, una letra de nuestro alfabeto, un libro, una silla,
etc.
De manera que la propuesta es: no tomar a toda
cosa como conjunto, sino como objeto. Al hacer esto, tal
vez se necesite un nuevo axioma que rece: "Para todo obd (objeto
bien determinado), existe al menos un conjunto que lo contiene".
Y de allí en adelante, los demás axiomas de la
teoría, ya sea ZF o NBG.
3.2. Conjuntos
En nuestra teoría de conjuntos los conceptos:
elemento, conjunto y
pertenencia no se definen. Sin embargo, es
necesario especificar lo que se entenderá como conjunto.
Se entenderá como conjunto a una
colección o reunión de obds. Ejemplo: el conjunto V
de las vocales V = {a, e, i, o, u}; el conjunto de integrantes de
un equipo de beisbol. Un par ordenado, (a, b),
es un obd y una colección de pares ordenados,
{(a, b), (a, c),…} es
un conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto
es un conjunto, etc. Así, existen cosas que son conjuntos
y cosas que no lo son.
Observe el lector, que a los conjuntos de conjuntos se
les puede seguir llamando conjuntos. Pero para evitar el primer
absurdo que vimos en la sección 2 debemos dar algunas
definiciones, en cuanto a las funciones, que no aparecen en
nuestra teoría de conjunto tradicional. Por otra parte, a
los conjuntos que son elementos de un conjunto se les
deberá tratar como si fueran obds. Veamos por qué.
Sean A y B dos conjuntos dados como sigue
A = y B = {0, 1}. Entonces
A B = C =.
Si ahora decimos que los elementos del conjunto C son
conjuntos, estaríamos aceptando que 0 y 1 son conjuntos y
ya vimos que no debe ser así. En consecuencia, a los
elementos de C se les debe ver, sencillamente, como
objetos.
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