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Breve disertación sobre “teoría de conjuntos”




Enviado por Dimas Antonio Herrera



    1.
    INTRODUCCIÓN

    Desde hace mucho tiempo se ha tratado de tener a la
    teoría de conjuntos como el pilar
    fundamental de ese frondoso árbol que denominamos
    matemática. Por ello se ha trabajado con
    mucho afán en su completa elaboración. Fue
    Georg Cantor quien sembró esta
    teoría por allá en el siglo XIX y desde entonces un
    gran número de muy buenos matemáticos han desfilado
    por ella haciendo nuevos e interesantes aportes. Sin embargo, al
    aplicar las leyes de la lógica junto a las del
    álgebra, seguimos encontrando absurdos como los
    siguientes:

    a) 2 3 o 2 3

    b) {0, 1} {0, 1, 2}; etc.

    El siguiente trabajo pretende corregir o subsanar al
    anterior, titulado "PROYECTO PARA MEJORAR LA TEORÍA DE
    CONJUNTOS", publicado en la página web
    "monografías.com". En éste de ahora se exhibe una
    dúctil propuesta sobre cómo evitar los absurdos que
    se presentan en tan bella teoría, y se acepta que los
    conjuntos de conjuntos (conjuntos cuyos elementos son conjuntos)
    pueden seguir llamándose conjuntos, pero adicionando
    algunas definiciones que le atañen. Dicha propuesta no es
    exhaustiva, pues, es imposible serlo en un trabajo de una
    dimensión tan pequeña como el que acá se
    exhibe. Pero queda abierta la posibilidad de seguirla expandiendo
    hasta hacerla absoluta. Se supone conocido por el lector todo lo
    referente a teoría de conjuntos.

    2. DEVELANDO
    DEBILIDADES EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS

    Al estudiar la teoría de conjuntos
    aprendemos que "para todo conjunto A, si existe una
    función cualquiera f: A B, entonces

    f(A) = {f(x) / x A}".
    (I)

    Como lo anterior es A y f aplicada a A, y,
    además, se nos enseña que todo objeto es un
    conjunto, entonces, si A y B son equipotentes, para una
    función

    f: A B, siendo A = Monografias.com y B = Monografias.com

    Podemos suponer que

    f(Monografias.comMonografias.com)
    = Monografias.comMonografias.comMonografias.com. (1)

    Ahora tenemos que A1 = {0, 1}. f(Monografias.comMonografias.com) = f(A1) = B1. Nuestra pregunta ahora
    es: ¿Cómo evitar que alguien le aplique a
    f(A1) la definición de (I)? No es posible
    evitarlo, pues, en f(A1) se tiene una función
    f aplicada al conjunto A1, que por (I) es

    f(A1) = {f(x) / x
    A1}.

    (2) Ahora por (1) y (2) se tiene

    {f(0), f(1)} = {1, 2, 3}.
    (3)

    Y en (3) tenemos un absurdo, pues, tenemos un conjunto
    binario igual a uno ternario.

    Ahora bien, meditemos un poco sobre el absurdo anterior.
    Usted como matemático tal vez razonaría así:
    No es posible ese absurdo porque la función f es
    para el conjunto A, es decir, f es una función
    f: A B, y no para ningún elemento A1 de A. Por su
    parte, otro actor podría razonar así: La imagen del
    conjunto A1, por medio de la función f, es el
    conjunto B1, es decir, f(A1) = {1, 2, 3} = B1. Entonces
    existe f: A1 B1. En consecuencia, es aplicable la
    igualdad (I). Y de esta manera, nuestra formalidad es muy
    débil para detener el absurdo anterior. Para evitar esto,
    es necesaria una definición que nos obligue a ver al
    conjunto A1 como a un objeto y no como a un conjunto; dicha
    definición se expondrá más
    adelante.

    Otro absurdo que podemos obtener de nuestra
    teoría se da por el hecho de aceptar que los
    números naturales son conjuntos. Veamos.

    Sabemos que

    2 = {0, 1} (a) y 3 = {0, 1, 2} (b).
    Pero

    {0, 1} {0, 1, 2} (c) y 2 {0, 1, 2} (d).
    Ahora, por (a), (b), (c), (d) y el principio de identidad, se
    tiene

    {0, 1} {0, 1, 2}; 2 3 y 2 3. (1) Y las tres
    expresiones de (1) son incorrectas (un absurdo).

    Ahora bien, el absurdo anterior sólo tiene una
    manera de soslayarlo y es aceptando que cada número
    natural es un objeto y no un conjunto. Por otra parte, al tomar a
    cualquier objeto como un conjunto debemos especificar qué
    cosas o elementos pertenecen a dicho conjunto. En consecuencia,
    si un punto A, por poner un ejemplo, es un conjunto,
    ¿qué cosas pertenecen al punto A? Puesto que un
    punto es nada, al ser un conjunto, sus elementos son nada. Por lo
    tanto, un punto es un conjunto de puntos y esto es una
    falsedad.

    Todo lo anterior nos hace inferir que nuestra
    teoría de conjuntos necesita algunas correcciones. Pero
    estas correcciones no se deben cimentar en explicar que "lo
    de tomar a un objeto cualquiera como conjunto es sólo una
    forma de hablar
    ". En una ciencia como la matemática,
    en la cual siempre está implícita la lógica,
    una cosa es "por lo que es" y no por una mera forma de
    hablar.

    3. DEFINICIONES
    QUE PERMITIRÍAN MEJORAR LA TEORÍA DE
    CONJUNTOS

    3.1. Objetos bien determinados
    (obds)

    Se entenderá por objeto bien determinado (obd) a
    cualquier elemento con una propiedad específica. Por
    ejemplo, un punto A (que pertenece a una recta, a un plano,
    etc.). Ahora bien, una vez que los puntos de una recta se
    constituyen en dicha recta, ésta pasa a ser un obd. De
    manera que una recta, al igual que un plano, se puede ver como un
    conjunto de puntos o como un obd si se toma a dicha recta como
    elemento de un plano o del espacio; o a dicho plano como elemento
    del espacio. Un hombre es un conjunto de átomos, pero una
    vez que los átomos se agrupan y forman al
    hombre, éste se puede tomar como un obd. Otros obds son:
    un plano, una letra de nuestro alfabeto, un libro, una silla,
    etc.

    De manera que la propuesta es: no tomar a toda
    cosa como conjunto, sino como objeto
    . Al hacer esto, tal
    vez se necesite un nuevo axioma que rece: "Para todo obd (objeto
    bien determinado), existe al menos un conjunto que lo contiene".
    Y de allí en adelante, los demás axiomas de la
    teoría, ya sea ZF o NBG.

    3.2. Conjuntos

    En nuestra teoría de conjuntos los conceptos:
    elemento, conjunto y
    pertenencia no se definen. Sin embargo, es
    necesario especificar lo que se entenderá como conjunto.
    Se entenderá como conjunto a una
    colección o reunión de obds. Ejemplo: el conjunto V
    de las vocales V = {a, e, i, o, u}; el conjunto de integrantes de
    un equipo de beisbol. Un par ordenado, (a, b),
    es un obd y una colección de pares ordenados,
    {(a, b), (a, c),…} es
    un conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto
    es un conjunto, etc. Así, existen cosas que son conjuntos
    y cosas que no lo son.

    Observe el lector, que a los conjuntos de conjuntos se
    les puede seguir llamando conjuntos. Pero para evitar el primer
    absurdo que vimos en la sección 2 debemos dar algunas
    definiciones, en cuanto a las funciones, que no aparecen en
    nuestra teoría de conjunto tradicional. Por otra parte, a
    los conjuntos que son elementos de un conjunto se les
    deberá tratar como si fueran obds. Veamos por qué.
    Sean A y B dos conjuntos dados como sigue

    A = Monografias.comy B = {0, 1}. Entonces

    A B = C =Monografias.com.

    Si ahora decimos que los elementos del conjunto C son
    conjuntos, estaríamos aceptando que 0 y 1 son conjuntos y
    ya vimos que no debe ser así. En consecuencia, a los
    elementos de C se les debe ver, sencillamente, como
    objetos.

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