Como graficar una desigualdad o inecuación (programación lineal)
100 80 60 40 20 100 80 60 40 -1- COMO GRAFICAR UNA DESIGUALDAD O
INECUACIÓN (PROGRAMACIÓN LINEAL) Para fijar mejor
la idea procederemos a mostrar varios ejemplos de menor a mayor
grado de dificultad. EJEMPLO 1: Determinar gráficamente el
área que cumple con la siguiente desigualdad: X + Y = 100
El primer paso consiste en graficar la recta X + Y = 100,
recordando que en Programación Lineal solo se estudia el
primer cuadrante ya que los valores que pueden tomar las
variables son positivos o iguales a cero ( X = O , Y = O). Una
expresión matemática del tipo “aX + bY >
c” ó “aX + bY < c” divide al plano
“ XY” en dos áreas, una que cumple con la
expresión y otra que no cumple, la separación de
dichas áreas está representada por la recta
“aX + bY = c”. Para determinar estas áreas
basta con escoger cualquier punto en el plano e introducir sus
valores en la desigualdad. Si se cumple para dicho punto se
cumplirá para todos los puntos que se encuentran de ese
mismo lado. Si no se cumple, tampoco se cumplirá para
ninguno de los otros puntos de ese mismo lado. En este caso
escogeremos el punto (40,20) para determinar si cumple o no con X
+ Y = 100 20 40 60 80 100 Sustituyendo estos valores (40,20) en
la desigualdad tendremos: 40 + 20 = 100 ; 60 = 100 Como si se
cumple la desigualdad (60 es menor que 100) quiere 20 X + Y = 100
decir que todos los puntos que se encuentran a la izquierda y
debajo de la recta cumplen con la desigualdad X+Y<100. Los
puntos que se encuentran a la derecha y por encima de la recta no
cumplirán. 20 40 60 80 100 Probemos con un punto que se
encuentre por encima de la recta para verificar que es cierto lo
que hemos dicho anteriormente: es decir NO DEBE CUMPLIR con
X+Y<100. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis
Albornoz Salazar
60 40 100 80 60 40 20 -2- Estudiando el punto (60,70): Recuerde:
Si se cumple para un punto se cumplirá para todos los que
estén de ese mismo lado. Si no se cumple para un punto no
se cumplirá para ninguno de los que estén de ese
mismo lado. 100 80 EJEMPLO 2: Determinar gráficamente el
área que cumple con la siguiente desigualdad: A –3 B
= 0 20 Graficamos la recta A – 3 B = 0 : 20 40 60 80 100
Sustituyendo estos valores (60,70) en la desigualdad tendremos:
60 + 70 = 100 ; 130 = 100 NO se cumple la desigualdad (130 NO es
menor que 100). El plano quedará dividido de la siguiente
manera: 60 A – 3B = 0 40 100 20 80 20 40 60 80 100
Estudiando el punto (100,10) tendremos: A – 3 B = 0 ; 100
– 3 (10) = 0 ; 100 – 30 = 0 ; 70 = 0 20 40 60 80 100
Como 70 NO es menor que cero, quiere decir que NO cumple con la
desigualdad y por consiguiente todos los puntos que están
debajo de La parte sombreada representará el área
del plano que cumple con la desigualdad “X + Y <
100” , y esta misma área más los puntos
contenidos en la recta cumplen con la desigualdad “X + Y =
100”. Para determinar las áreas que cumplen o no con
la desigualdad basta estudiar un solo punto. En el ejemplo
anterior trabajamos con dos puntos para fijar bien la idea. COMO
GRAFICAR LA DESIGUALDAD la recta “A – 3 B = 0”
tampoco cumplen. En atención a lo dicho anteriormente, la
zona que cumple con la expresión “A – 3 B =
0” será la que se encuentra ubicada por encima de la
recta graficada más los puntos contenidos en ella. El
área sombreada cumple con la desigualdad: “A –
3 B = 0”: ING. José Luis Albornoz Salazar
100 80 60 40 y -3- EJEMPLO 4: Determinar gráficamente el
área que cumple con la siguiente desigualdad : “Y =
60” Primero grafico la recta “Y = 60” y observo
que los valores menores a 60 se encontrarán por debajo de
esta recta.: 60 40 20 100 20 40 60 80 100 80 Y=60 Escoja
cualquier punto que esté en esta área sombreada y
verifique que si cumple con A – 3 B = 0. 20 20 40 60 80 100
EJEMPLO 3: Determinar gráficamente el área que
cumple con la siguiente desigualdad : “X = 40”
EJEMPLO 5: Determinar gráficamente el área que
cumple con las siguientes desigualdades : Primero grafico la
recta “X = 40” y observo que los valores mayores a 40
se encontrarán a la derecha de esta recta. Dicha
área sombreada es la que cumple con “X = 40”.
“X + Y = 100” y. “X – 3Y = 0”
Primero estudio la primera desigualdad ( “X + Y =
100”) determino el área que cumple con ella: 100 80
100 60 40 20 X=40 80 60 40 X + Y = 100 20 20 40 60 80 100 20 40
60 80 100 COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis
Albornoz Salazar
y ; ; ; ; -4- Sobre esta misma gráfica estudio la otra
desigualdad teniendo presente que el área a determinar
debe cumplir con las dos desigualdades al mismo tiempo. El
área que cumple las desigualdades “X + Y =
100” “X – 3Y = 0” será la que se
muestra sombreada a continuación : Graficando la recta
“X – 3Y = 0” tenemos: 100 100 80 80 60 X + Y =
100 X – 3Y = 0 60 40 X – 3Y = 0 40 20 20 20 40 60 80
100 20 40 60 80 100 Para comprobar que esta zona cumple con las
dos restricciones Cuando estudiamos la segunda desigualdad
“X – 3Y = 0” notamos que los puntos que cumplen
con ella están ubicados por encima de la recta “X
– 3Y = 0”. Quiere decir que el área sombreada
por debajo de la recta “X – 3Y utilice cualquier
punto que esté ubicado en la zona sombreada e
introdúzcalo en las dos desigualdades. Probemos con el
punto (20,40), que está resaltado en el gráfico
anterior dentro del área sombreada: = 0” cumple con
la primera desigualdad “X + Y = 100” pero no con la
segunda (entonces no forma parte del área buscada). X + Y
= 100 20 + 40 = 100 ; 60 = 100 De igual forma notamos que hay dos
áreas ubicadas por encima de la recta “X – 3Y
= 0”, una que está sombreada (cumple con la X
– 3Y = 0 20 – 3 (40) = 100 ; – 100 = 0 primera
desigualdad “X + Y = 100” ) y otra que está en
blanco (no cumple con la primera desigualdad pero cumple con la
segunda). Como debemos indicar el área que cumple con las
dos desigualdades no tomo en cuenta la que está ubicada
por encima de la Notamos que al sustituir los valores (20,40) en
las dos desigualdades ambas se cumplen. Probemos con el punto
(60,80), que está ubicado fuera del área sombreada:
recta “X – 3Y = 0” (cumple con la segunda
desigualdad “X – 3Y = 0” ) y que no cumple con
“X + Y = 100”. En otras palabras dejo la que
está sombreada y no tomo en cuenta la que está en
blanco. X + Y = 100 X – 3Y = 0 60 + 80 = 100 ; 140 = 100 60
– 3 (80) = 100 ; – 180 = 0 Quedará sombreada
únicamente el área que cumpla con las dos
desigualdades. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD Notamos que al
sustituir los valores (60,80) en las dos desigualdades, se cumple
en la segunda pero NO en la primera. ING. José Luis
Albornoz Salazar
500 – -5- EJEMPLO 6: Determinar gráficamente el
área que cumple con las siguientes desigualdades : A1 + A2
= 500 (1) – A1 + A2 = 0 (2) – 2 A1 + A2 = 0 (3) A1 = 100 (4) Y a
la condición de no negatividad que implica que todas las
variables de decisión sean positivas (valores mayores o
iguales a cero) A1 , A2 = 0 (5) Solución Gráfica:
El problema tiene solamente dos variables de decisión, A1
y A2, y por lo tanto sólo dos dimensiones, así que
podemos usar un procedimiento gráfico para resolverlo.
Dicho proceso consiste en dibujar un gráfico en dos
dimensiones, utilizando a A1 y A2 como los ejes. El primer paso
consiste en identificar los valores de A1 y A2 permitidos por las
restricciones, esto es, la región o área factible
de solución determinada por las restricciones. El
procedimiento más recomendado consiste en trazar la recta
(“generada por la restricción”) y sombrear el
lado factible y a medida que vayamos graficando nuevas rectas
“borramos” el área sombreada anteriormente que
no cumpla con esta nueva restricción. En el gráfico
anterior notamos que el punto (100,200) cumple con la
restricción (100 + 200 < 500) por lo que todos los que
están en el primer cuadrante y del lado izquierdo de la
recta también. – Estudiando la restricción 2: – A1
+ A2 = 0 (2) A2 El área sombreada representa el espacio de
solución factible de A1 + A2 = 500 y – A1 + A2 = 0 – A1 +
A2 = 0 A1 + A2 = 500 Recuerde que las restricciones de no
negatividad ( A1 = 0 ; A2 = 0) limitarán la región
factible a estar en el cuadrante positivo (conocido como primer
cuadrante). Estudiando la primera restricción A1 + A2 <
= 500 (1) 100 300 500 A1 A2 500 A1 + A2 = 500 El área
sombreada representa el espacio de solución factible de A1
+ A2 = 500 El punto (100,200) cumple con la restricción
dos (-100 +200 > 0) y ya vimos que cumple con la
restricción 1. Sin embargo el punto (200,100) cumple con
la restricción 1…. (200+100 < 500) pero NO
cumple con la restricción 2… (-200+100 no es mayor
que 0) por lo tanto no estará dentro del espacio de
solución. El estudiante debe recordar que para formar
parte del espacio de solución o área factible los
puntos deben cumplir con todas las restricciones que se vayan
estudiando. El último aspecto señalado permite
garantizar que la solución encontrada cumpla con todas las
restricciones o limitaciones que impone el Modelo
Matemático. 100 300 500 A1 Nótese también
que a medida que se van analizando las restricciones el espacio
factible (área sombreada) se hace menor. JAMAS
crecerá. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José
Luis Albornoz Salazar
-6- – A2 Estudiando la restricción 3: – 2A1 + A2 = 0 (3)
El área sombreada representa el espacio de solución
factible 500 – 2 A1 + A2 = 0 – A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 500 A1
de – 2 A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 – A1 + A2 = 0 – Estudiando la
restricción 4: A2 A1 = 100 (4) A1 = 100 – 2 A1 + A2 = 0 El
área sombreada representa el espacio TOTAL de
solución 500 – A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 A1 500 Definida
como ha sido el área total de factibilidad, el
último paso consiste en escoger el punto de dicha
región que maximiza o minimiza el valor de la
función objetivo. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING.
José Luis Albornoz Salazar